陳 琪， 杜敬濤， 楊武龍

(哈爾濱工程大學動力與能源工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

引 言

彈性梁結構作為一種基本的工程單元廣泛應用于船舶結構、航空航天和建筑工程等領域。在外部載荷作用下，梁結構將產(chǎn)生一定振動，尤其是在共振狀態(tài)下，將會導致結構疲勞甚至破壞失效。在多數(shù)情況下，外界激勵變化具有寬帶變頻特征，傳統(tǒng)的被動控制難以取得令人滿意的振動抑制效果。振動主動控制技術能夠有效控制低頻振動，同時通過算法調節(jié)可以實現(xiàn)對外部激勵頻率的跟蹤，受到各國學者廣泛關注。

根據(jù)控制策略的不同，彈性結構振動控制可分為振動主動控制(AVC)和結構聲有源控制(ASAC)[1-2]，其中誤差信息傳感是主動控制中目標函數(shù)有效降低的重要環(huán)節(jié)。對于彈性梁等輕薄結構，離散式振動傳感器如傳統(tǒng)的加速度傳感器的大量布設會增加結構的附加質量，進而影響結構動力學特性，同時布設成本加大，也給信號處理帶來一定困難。隨著材料科學與工程的快速發(fā)展，PVDF壓電薄膜以其優(yōu)異的傳感性能和積分濾波特性，在振動噪聲控制領域引起學者的眾多研究興趣[3-9]。分布式PVDF傳感器，具有模態(tài)過濾特性，實現(xiàn)信號積分，可以有效避免觀察溢出和控制溢出。

邊界約束剛度對PVDF 模態(tài)傳感器的設計有重要影響?，F(xiàn)有文獻多為經(jīng)典邊界條件(簡支，固支、自由等)，對彈性邊界下模態(tài)傳感器的設計較少。Tanaka等將經(jīng)典邊界條件PVDF模態(tài)傳感器應用在模態(tài)濾波和主動模態(tài)控制[10-11]；Friswell[12]利用有限元方法設計任意邊界條件下模態(tài)傳感器；Donoso和Bellido[13]使用拓撲優(yōu)化PVDF壓電薄膜電極，復雜電極圖形增加了后期信號處理難度。本文提出一種新的設計方法，設計連續(xù)分布式PVDF 模態(tài)傳感器。采用Li[14]和Du[15]提出的改進傅里葉級數(shù)法，將彈性梁橫向位移展開為傅里葉余弦級數(shù)和四項補充項以克服位移函數(shù)導數(shù)可能出現(xiàn)的不連續(xù)問題，結合Rayleigh-Ritz法和模態(tài)正交性求解PVDF模態(tài)傳感器壓電方程的模態(tài)傳感器形狀函數(shù)以及二次導數(shù)。通過調節(jié)邊界剛度值可以實現(xiàn)經(jīng)典邊界和任意彈性邊界約束條件模態(tài)傳感器設計，數(shù)值算例驗證本文方法的準確性和有效性。

1 理論模型

考慮任意彈性約束邊界條件下Euler-Bernoulli梁結構振動模型，如圖1所示。采用橫向線位移彈簧和旋轉彈簧來模擬梁結構兩端彈性邊界條件，其中K0(K1)和k0(k1)分別表示左(右)端旋轉彈簧和線位移彈簧剛度系數(shù)值。通過設置兩端彈簧剛度系數(shù)可以實現(xiàn)各種邊界及其組合，例如經(jīng)典邊界條件簡支、固支、自由，可以將相應的邊界剛度設置為零或無窮大。此外，通過改變邊界彈簧剛度系數(shù)來研究PVDF模態(tài)傳感器形狀變化對邊界約束的敏感區(qū)，進而為PVDF壓電薄膜模態(tài)傳感器的設計與剪裁提供理論依據(jù)。

圖1 彈性邊界支撐條件下梁結構振動模型Fig.1 A beam structural vibration model with elastic boundary supports

粘貼在梁結構表面上PVDF壓電薄膜輸出電荷Q(t)[16]為

(1)

式中h和hp分別為彈性梁厚度和PVDF壓電薄膜厚度；e31為x方向壓電常數(shù)；w(x,t)為彈性梁橫向位移；F(x)為PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)。

利用模態(tài)疊加理論，簡諧激勵力作用下彈性梁橫向位移可寫為

(2)

式中am和φm(x)分別為第m階復模態(tài)幅值和振型函數(shù)；M為模態(tài)截斷數(shù)；ejωt為簡諧振動時間因子。

為了克服任意彈性邊界條件下傳統(tǒng)傅里葉級數(shù)在邊界處的微分跳躍問題，將梁結構彎曲振動位移函數(shù)采用改進傅里葉級數(shù)進行構建，即[15]

B3ξ3(x)+B4ξ4(x)

(3)

式中A0,A1，…，An,B1,B2,B3,B4為未知傅里葉級數(shù)系數(shù)和相應補充項函數(shù)系數(shù);ξ1(x), ξ2(x),ξ3(x),ξ4(x)為克服邊界不連續(xù)的四項邊界光滑輔助函數(shù)，詳細求解可見參考文獻[14-15]。

彈性梁結構振動Lagrangian函數(shù)為

L=V-T

(4)

式中V表示系統(tǒng)總勢能，包含彈性梁應變勢能Vbeam和邊界彈簧勢能Vspring；T表示梁結構總動能。

(5)

(6)

將所構建的改進傅里葉級數(shù)位移展開帶入至彈性邊界約束梁結構Lagrangian函數(shù)，結合Rayleigh-Ritz方法，對所有未知系數(shù)求駐值，可以得到系統(tǒng)矩陣方程如下

(K-ω2ρSM)E=0

(7)

式中K為剛度矩陣，M為質量矩陣，E為改進傅里葉級數(shù)未知系數(shù)向量

(8)

求解式(7)可得彈性梁結構振型函數(shù)以及固有頻率。

將式(2)代入式(1)得

(9)

將上式改寫成矩陣形式

Q(t)=γejωtaP

(10)

PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)

(11)

式中b是未知系數(shù)向量，φ是振型函數(shù)的二次導數(shù)矩陣。

將式(11)代入式(9)，同時結合式(10),可得

Q(t)=γejωtaP=γejωtaRbT

(12)

式中R為積分矩陣，

(13)

在傳感器設計過程中，模態(tài)靈敏度向量P為預先設定，目標階模態(tài)元素取值為1，其他元素設為0，即

(14)

由此，可以求解得到PVDF模態(tài)傳感器未知系數(shù)

b=(R-1P)T

(15)

將式(15)代入至PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)表達式(11)，同時結合振型函數(shù)二次導數(shù)，即可得到所需要的模態(tài)傳感器。

2 數(shù)值計算與分析

2.1 經(jīng)典邊界

本節(jié)數(shù)值計算采用MATLAB語言編程仿真。算例中模型材料為鋼，楊氏模量E=200 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，梁長0.64 m，寬0.056 m，厚度為0.008 m。經(jīng)典邊界以固支邊界為例。固支梁彈性邊界剛度K0=K1=k0=k1=1×1012, 模態(tài)截斷數(shù)M=45。計算結果與微分方程數(shù)值求解對比，以驗證模型的準確性。固支梁前6階固有頻率如表1所示，采用本文模型和數(shù)值計算結果吻合良好，說明本文提出的模型具有很高的準確性。通過圖2和3固支邊界條件下前4階振型函數(shù)和PVDF模態(tài)傳感器的對比發(fā)現(xiàn)，采用本文提出的模型設計PVDF模態(tài)傳感器是可行的，并且相比復雜方程求解方法，本文方法不需要重新求解方程和程序編寫，極大的簡化傳感器設計流程，降低設計難度。

表1 固支梁前6階固有頻率結果對比

Tab.1 Comparison of the first six natural frequencies for beam with clamped-clamped boundary condition

階數(shù)數(shù)值計算本文方法偏差/%1101.3373101.337302279.3403279.34081.7899×10-43547.6786547.62022.9217×10-44905.2414905.24574.7501×10-451352.27541352.28447.3210×10-461888.71391888.73259.8480×10-4

2.2 彈性邊界

現(xiàn)有的研究大多針對經(jīng)典邊界條件，然而在實際工程應用領域，完全滿足經(jīng)典邊界約束情況并不常見，實際工程結構的邊界條件往往是彈性邊界條件約束。無量綱線性位移彈簧剛度取k0L3=k1L3=1，取3組不同旋轉彈簧剛度，彈性梁前5階無量綱固有頻率與文獻[17]對比結果如表2所示。由表2可知，采用本文模型計算結果與文獻結果基本吻合，說明設計任意彈性邊界條件下PVDF模態(tài)傳感器是可行的，并且具有很高的準確性。

表2 不同旋轉彈簧剛度下無量綱固有頻率

圖2 固支梁前4階模態(tài)振型Fig.2 The first four mode shapes for the clamped beam

圖3 固支梁前4階PVDF模態(tài)傳感器Fig.3 The first four PVDF modal sensor shapes for the clamped beam

圖4所示為彈性梁一端固支，另一端邊界約束彈簧剛度同時變化下前4階PVDF模態(tài)傳感器形狀變化曲線圖。即邊界剛度由固支-固支狀態(tài)連續(xù)變化至固支-自由邊界約束。從圖中可以明顯看出，邊界約束剛度的變化對PVDF模態(tài)傳感器的形狀設計產(chǎn)生很大影響。隨著邊界彈簧剛度的變化，模態(tài)傳感器形狀存在敏感區(qū)，在該區(qū)域模態(tài)形狀變化明顯。因此，在設計傳感器時需要仔細剪裁，以免形狀偏差造成模態(tài)信息傳感誤差的增大。實際應用中邊界條件較為復雜，很難做到絕對的簡支或固支，可以通過模態(tài)測試、參數(shù)識別等方法獲得邊界剛度值，設計符合實際情況的模態(tài)傳感器，進而提高主動控制中誤差傳感精度。

圖4 一端固支，另一端旋轉彈簧和位移彈簧剛度同時變化下前4階模態(tài)傳感器形狀變化Fig.4 Variation of the first four modal sensor shapes for a clamped beam with the change of the rotation and translation spring stiffness k1=K1

3 結 論

本文通過將位移函數(shù)展開為傅里葉余弦級數(shù)和四項補充項，并采用Rayleigh-Ritz方法求解PVDF模態(tài)傳感器形狀函數(shù)中的二次導數(shù)，首次提出并建立了統(tǒng)一的彈性梁結構PVDF模態(tài)傳感器設計模型，解決了任意邊界條件下模態(tài)傳感器設計問題。與其他方法不同的是，邊界約束剛度發(fā)生變化時，本文構建的模型不需要重新求解方程和編寫程序。計算結果表明，以固支邊界條件為例的經(jīng)典邊界約束，PVDF模態(tài)傳感器設計吻合良好；邊界約束剛度影響分析表明，隨著剛度值的變化，存在模態(tài)傳感器形狀變化敏感區(qū)，在該區(qū)域微小的數(shù)值變化將會造成模態(tài)信息傳感過程中誤差的增大。

[1] Fuller C R, Elliott S J, Nelson P A. Active Control of Vibration [M]. London: Academic Press, 1996.

[2] Elliott S J, Johnson M E. Radiation modes and the active control of sound power [J]. Journal of the Acoustic Society of America, 1993, 94(4): 2194—2204.

[3] Hsu C Y, Lin C, Gaul L. Vibration and sound radiation controls of beams using layered modal sensors and actuators [J]. Smart Materials and Structures, 1998, 7(7):446—455.

[4] Friswell M I. On the design of modal actuators and sensors [J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 241(3): 361—372.

[5] 杜敬濤, 靳國永, 楊鐵軍,等. 基于分布式壓電傳感器的結構表面體積速度測量實驗研究[J]. 振動工程學報, 2008, 21(3):235—240.

Du Jingtao, Jin Guoyong, Yang Tiejun，et al. Experimental study on measurement of structural surface volume velocity based on distributed piezoelectric sensor [J]. Journal of Vibration Engineering, 2008, 21(3):235—240.

[6] 陳克安,尹雪飛.基于近場聲壓傳感的結構聲輻射有源控制[J].聲學學報, 2005, 30(1): 63—68.

Chen Ke′an, Yin Xuefei. Active control of radiated sound using near field pressure sensing [J]. Acta Acustica, 2005, 30(1):63—68.

[7] Mao Q, Pietrzko S. Design of shaped piezoelectric modal sensor for beam with arbitrary boundary conditions by using Adomian decomposition method [J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(11):2068—2082.

[8] 朱 嶠, 毛崎波. PVDF壓電傳感器在實驗模態(tài)分析中的應用[J]. 壓電與聲光, 2014(3):393—396.

Zhu Qiao, Mao Qibo. Application of PVDF piezoelectric sensor for the experimental modal analysis [J]. Piezoelectrics and Acoustooptics, 2014，(3):393—396.

[9] 鐘海彬, 毛崎波. 通過PVDF陣列設計階梯梁的模態(tài)傳感器[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(9):129—134.

Zhong Haibin, Mao Qibo. Design of modal sensors for a stepped beam based on PVDF array[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(9):129—134.

[10] Tanaka N, Snyder S D, Hansen C H. Distributed parameter modal filtering using smart sensors[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1996, 118(4):630—640.

[11] Tanaka N, Kikushima Y, Fergusson N J. One-dimensional distributed modal sensors and the active modal control for planar structures [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1998, 104(1):217—225.

[12] Friswell M I. On the design of modal actuators and sensors [J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 241(3): 361—372.

[13] Donoso A, Bellido J C. Distributed piezoelectric modal sensors for circular plates [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 319(1-2):50—57.

[14] Li W L. Free vibrations of beams with general boundary conditions [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 237(4):709—725.

[15] Du J T, Li W L, Jin G Y, et al. An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306(3-5):908—927.

[16] Lee C K, Moon F C, Modal sensors/actuators [J]. Journal of Applied Mechanics, 1990, 57(2): 434—441.

[17] Rao C K, Mirza S. A note on vibrations of generally restrained beams [J]. Journal of Sound and Vibration, 1989, 130(3): 453—465.