丁 一，羅貴火，王 飛

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院 江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件，在現(xiàn)代工業(yè)尤其是航空、能源、電力等領(lǐng)域有著舉足輕重的作用[1]。模型試驗(yàn)法是當(dāng)前研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的最重要的方法之一，旨在通過與原型相似的模型試驗(yàn)進(jìn)行研究，從而得到原型的工作性能和規(guī)律特點(diǎn)[2]。根據(jù)不同的比例尺性質(zhì)，模型試驗(yàn)法所采取的試驗(yàn)器可以分為2種，即正態(tài)模型和變態(tài)模型。對(duì)于與原型相同材料的正態(tài)模型，其固有頻率需要比原型大很多才能滿足動(dòng)力學(xué)相似，其要求轉(zhuǎn)速在現(xiàn)有的試驗(yàn)條件下往往無法達(dá)到，另外其所需的激勵(lì)頻率也比原型大很多。因此，采用變態(tài)模型轉(zhuǎn)子進(jìn)行試驗(yàn)不僅可以拓寬試驗(yàn)的應(yīng)用范圍，還可以減少模型制作的材料用量，從而降低試驗(yàn)成本。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)變態(tài)模型相似性問題進(jìn)行了研究并取得了豐碩成果，但對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相似問題的研究不夠全面，尤其是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面的相似性問題研究極少。另外，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力相似尤其是變態(tài)動(dòng)力相似方面的研究只停留在起步階段。因此，深入研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力模型變態(tài)相似問題和發(fā)展轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是十分有必要的，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷南嗨圃O(shè)計(jì)具有重要意義。

本文在深入分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型、原型相似準(zhǔn)則和動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了基于數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)子變態(tài)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)思路和算法，并對(duì)實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)相似設(shè)計(jì)。本文所采用的思路、分析方法和結(jié)論對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖儜B(tài)相似優(yōu)化設(shè)計(jì)具有參考意義。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力變態(tài)相似準(zhǔn)則關(guān)系

1.1 變態(tài)模型相似理論

變態(tài)模型不同維度的幾何尺寸不是按照相同比例縮小，即模型與原型分別對(duì)應(yīng)的尺寸比例并不完全相同，變態(tài)相似也稱差似[3]。

如圖1所示，變態(tài)模型與原型的各個(gè)維度尺寸比例分別為l′/l=Cl、w′/w=Cw、h′/h=Ch，且Cl、Ch和Cw不全相等。三者全部都不相等時(shí)，稱為二維變態(tài)相似，某一對(duì)相等時(shí)，稱為一維變態(tài)相似[4]。變態(tài)率η表示的是2個(gè)不同維度的比例尺的比例，比如Cl和Ch：

(1)

對(duì)于任何變態(tài)模型，雖然3個(gè)不同維度方向上的幾何比例尺不同，但是時(shí)間比例尺均相等，即Ctl=Ctw=Cth，則變態(tài)模型的各個(gè)維度方向的關(guān)于速度v和加速度a的相似比關(guān)系為[5]：

(2)

圖1 變態(tài)模型與原型示意圖

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似關(guān)系

本文研究對(duì)象軸向和徑向比例尺的基本量綱均為長度，無法用量綱分析或定律分析法推導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，因此采用方程分析法來推導(dǎo)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型的相似準(zhǔn)則。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的數(shù)值分析方法主要有有限元法和傳遞矩陣法[6]。傳遞矩陣法應(yīng)用最廣泛，但在求解高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)問題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到數(shù)值極不穩(wěn)定的情況[7]，并且與有限元法建立的模型相比，傳遞矩陣法一般不夠精確。因此，本文運(yùn)用有限元法建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，從而推導(dǎo)相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系。

對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程[8]：

(3)

基于方程(3)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的運(yùn)動(dòng)方程可分別表示為(變態(tài)模型下標(biāo)為m，原型下標(biāo)為p)：

(4)

假設(shè)剛度矩陣Km和Kp的相似比為CK，質(zhì)量矩陣Mm和Mp的相似比為CM，阻尼矩陣Cm和Cp的相似比為CC，位移向量Um和Up的相似比為CU，外力向量Fm和Fp的相似比為CF，時(shí)間tm和tp的相似比為Ct，軸向尺寸lm和lp的相似比為Cl，徑向尺寸dm和dp的相似比為Cd，密度ρm和ρp的相似比為Cρ，彈性模量Em和Ep的相似比為CE，代入式(4)，化簡得：

(5)

方程(5)中各系數(shù)必須相互相等，才能使變態(tài)模型與原型相似，從中得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型的相似準(zhǔn)則：

(6)

則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)變態(tài)相似關(guān)系為：

(7)

對(duì)于固有頻率，其相似關(guān)系為

(8)

此外，激勵(lì)頻率比Cω0等于固有頻率比Cf。由于剛度系數(shù)k=mω2，阻尼系數(shù)c=2ξmω，那么彈性系數(shù)Ck和阻尼系數(shù)Cc相似關(guān)系為：

(9)

標(biāo)記{ψr}m和{ψr}p分別代表變態(tài)模型和原型轉(zhuǎn)子的第r階振型，那么對(duì)于同一個(gè)測(cè)點(diǎn)，其位移維度的比例尺關(guān)系依舊為Cd，本質(zhì)上振型的關(guān)系即測(cè)點(diǎn)上的復(fù)幅值比值。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)正則化，可以得到變態(tài)模型和原型轉(zhuǎn)子的振型關(guān)系：

{ψr}mn={ψr}pn

(10)

由式(10)可得，變態(tài)模型與原型轉(zhuǎn)子的同階模態(tài)振型完全一致。一般情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的試驗(yàn)器模型使用和原型轉(zhuǎn)子相同的材料，由此可得CE=Cρ=1。用λ代替Cl，表1列出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似常數(shù)。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似常數(shù)

2 原型雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性分析

為進(jìn)行動(dòng)力相似設(shè)計(jì)，首先需要了解原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力特性。某渦輪軸發(fā)動(dòng)機(jī)耦合雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子(內(nèi)轉(zhuǎn)子)和燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子(外轉(zhuǎn)子)構(gòu)成，見圖2、3。

圖2 動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子

圖3 燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子截面

內(nèi)轉(zhuǎn)子動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子共有4個(gè)支承，支承編號(hào)為1、2、5、6；外轉(zhuǎn)子燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子共有2個(gè)支承，支承編號(hào)為3和4；6個(gè)支承的支承剛度數(shù)值見表2。

表2 轉(zhuǎn)子各支承剛度

本文采用有限元方法計(jì)算原型轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。其中，燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子有限元模型采用四節(jié)點(diǎn)四邊形SOLID272單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用集中質(zhì)量單元(包含質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)模擬各級(jí)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片、渦輪葉片及部分輪盤，忽略流體流動(dòng)產(chǎn)生氣動(dòng)力的影響。整個(gè)模型共有37 284個(gè)節(jié)點(diǎn)，7 838個(gè)單元，2個(gè)軸承單元，6個(gè)集中質(zhì)量單元。計(jì)算所得到的動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比見表3，燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比見表4。

表3 動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

表4 燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

從表3和表4的結(jié)果可以看出：采用有限元法計(jì)算的原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和提供數(shù)據(jù)的最大誤差僅為1.68%，計(jì)算結(jié)果精確，滿足航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速上下邊界距臨界轉(zhuǎn)速20%以上裕度的設(shè)計(jì)要求。

3 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相似模型設(shè)計(jì)

為了進(jìn)行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力模型試驗(yàn)，需要先選擇合適的模型相似律并進(jìn)行縮比模型的設(shè)計(jì)工作[9-10]。實(shí)踐證明，與原型π準(zhǔn)則完全相同的模型設(shè)計(jì)方法往往無法滿足特定的固有頻率或動(dòng)態(tài)響應(yīng)等設(shè)計(jì)指標(biāo)。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型與原型π準(zhǔn)則不全相等，所以需要尋求轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型設(shè)計(jì)的指導(dǎo)方法。

3.1 相似比的選取

為進(jìn)行動(dòng)力相似設(shè)計(jì)，首先需要確定模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子之間的相似比。在確定相似比過程中主要考慮以下因素：

1) 試驗(yàn)器設(shè)備限制角度：燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子最大轉(zhuǎn)速為45 000 r·min-1，現(xiàn)有試驗(yàn)器驅(qū)動(dòng)電機(jī)最大轉(zhuǎn)速為9 000 r·min-1?？紤]到電機(jī)驅(qū)動(dòng)功率以及皮帶傳動(dòng)方式，電機(jī)最大可以以傳動(dòng)比1∶2工作。因此，模型轉(zhuǎn)子最大轉(zhuǎn)速為18 000 r·min-1，即要求相似比小于等于0.4；

2) 試驗(yàn)安全角度：所選取的相似比不可過小，因?yàn)檫^小的相似比會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子軸段的內(nèi)徑過小，影響轉(zhuǎn)子軸的強(qiáng)度，不利于試驗(yàn)的安全展開，因此相似比應(yīng)大于0.2；

3) 其他方面：在允許范圍內(nèi)，相似比應(yīng)取較大數(shù)值：一方面可以保證軸具有較好的強(qiáng)度；另一方面可以使相似模型的支承剛度較大，增強(qiáng)彈性支承的強(qiáng)度，方便加工。

考慮上述因素，模型轉(zhuǎn)子的相似比取0.4。根據(jù)已推導(dǎo)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的相似準(zhǔn)則，建立變態(tài)率η為2.5的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型，其軸向比尺為1，徑向比尺為0.4。所有相關(guān)參數(shù)均嚴(yán)格按照相似關(guān)系進(jìn)行相似變換，各轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的基本數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型的基本參數(shù)

3.2 試驗(yàn)器特征參數(shù)優(yōu)化

本文采用逆向思維的設(shè)計(jì)方法，通過調(diào)整轉(zhuǎn)子模型的特征參數(shù)來滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)，計(jì)算方法采用與第2部分一致的有限元方法，優(yōu)化方法采用遺傳算法，二者結(jié)合設(shè)計(jì)試驗(yàn)器模型轉(zhuǎn)子[11]。如圖4所示，該算法通過有限元與遺傳算法的接口程序，由遺傳算法對(duì)初始配置進(jìn)行優(yōu)化，從而找到最優(yōu)的設(shè)計(jì)變量，得到最佳設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖4 有限元法與遺傳算法結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有3個(gè)獨(dú)立的相似元：剛性盤、轉(zhuǎn)軸和軸承。本文研究對(duì)象的特征參數(shù)有2段軸的直徑和長度、8個(gè)圓盤的直徑和厚度、6個(gè)軸承的支承阻尼和支承剛度。基于試驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)意義，本研究選取6個(gè)支承剛度相似常數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。此外，根據(jù)實(shí)際工程意義和價(jià)值對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的取值范圍進(jìn)行界定，本文選取試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和工作轉(zhuǎn)速下的不平衡響應(yīng)作為約束條件。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的選取一般為試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和原型轉(zhuǎn)子的固有頻率、振型或位移響應(yīng)等，如式(11)所示，以達(dá)到真實(shí)模擬原型轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性等目的。其次，轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)也用于提高模型的動(dòng)力特性以降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)水平[12]。

(11)

對(duì)于本文的研究對(duì)象，設(shè)計(jì)變量取各支承剛度，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如式(12)所示：

(12)

其中：λ=0.4為指定的相似比；wi,i=1,2,3為模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前3階臨界轉(zhuǎn)速；Ωi,i=1,2,3為動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子或燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前3階臨界轉(zhuǎn)速。

圖5 相似模型轉(zhuǎn)子示意圖

所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子示意圖如圖5所示，與原型一致。動(dòng)力渦輪模型轉(zhuǎn)子(內(nèi)轉(zhuǎn)子)由4個(gè)彈性支承、1個(gè)輪盤以及軸組成。燃?xì)獍l(fā)生器模型轉(zhuǎn)子(外轉(zhuǎn)子)由2個(gè)支承、6個(gè)輪盤以及軸組成。6個(gè)支承均采用滾動(dòng)軸承和鼠籠式彈性支承以及擠壓油膜阻尼器的形式構(gòu)成。優(yōu)化后的動(dòng)力渦輪試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子支承1、2、5、6的各剛度見表6，燃?xì)獍l(fā)生器試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子支承3、4的各剛度見表7。

表6 優(yōu)化后動(dòng)力渦輪模型轉(zhuǎn)子支承剛度

表7 優(yōu)化后燃?xì)獍l(fā)生器模型轉(zhuǎn)子支承剛度

3.3 試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子鼠籠式彈性支承設(shè)計(jì)

根據(jù)求得的6個(gè)支承的剛度，進(jìn)行鼠籠式彈性支承的設(shè)計(jì)。通過參數(shù)化建模設(shè)計(jì)可得到6個(gè)鼠籠尺寸的長、寬、高，如表8所示。其中，籠條根部倒角為R1。

表8 試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子彈性支承參數(shù)

為確定設(shè)計(jì)的鼠籠彈性支承滿足剛度要求，將設(shè)計(jì)的鼠籠通過UG建立模型，利用有限元法進(jìn)行剛度計(jì)算?？紤]到鼠籠彈支的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，部分結(jié)構(gòu)比較細(xì)小，選用10節(jié)點(diǎn)的solid187單元，進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分，同時(shí)設(shè)置smrt=1，得到的有限元模型如圖6所示。

圖6 試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子彈性支承的有限元模型

表9給出了各個(gè)彈性支承有限元計(jì)算求解剛度與目標(biāo)剛度的誤差，可以看出剛度的誤差在8%以內(nèi)，滿足彈性支承的設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。

4 試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性分析與驗(yàn)證

4.1 動(dòng)力渦輪試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子

采用有限元法，動(dòng)力渦輪試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子前3階臨界轉(zhuǎn)速與原型的對(duì)比見表10。

從表10中可以看到：模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界轉(zhuǎn)速均為原型轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速的0.4倍，最大誤差僅為2.94%；從圖7可得：前2階臨界振型均為1階彎曲，第3階振型為2階彎曲，模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前3階臨界振型的mac值均大于0.91，即兩者的相似度大于91%。以上分析表明：本文設(shè)計(jì)的動(dòng)力渦輪模型轉(zhuǎn)子能較好地反映原型轉(zhuǎn)子的動(dòng)力特性，達(dá)到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)要求。

表9 試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子彈性支承剛度計(jì)算結(jié)果

表10 動(dòng)力渦輪模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

4.2 燃?xì)獍l(fā)生器試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子

同樣采用有限元法，燃?xì)獍l(fā)生器試驗(yàn)器轉(zhuǎn)子前3階臨界轉(zhuǎn)速與原型的對(duì)比見表11。

表11 燃?xì)獍l(fā)生器模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

從圖8中可以看出：模型轉(zhuǎn)子的前3階臨界振型分別為整體渦動(dòng)、俯仰振型和1階彎曲。表11顯示：模型轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速均為原型轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的0.4倍，最大誤差僅為0.82%。以上分析表明，本文設(shè)計(jì)的燃?xì)獍l(fā)生器模型轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性和原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力特性高度吻合，誤差低于1%，為模型試驗(yàn)提供良好的理論基礎(chǔ)和精度保證。

圖7 動(dòng)力渦輪模型轉(zhuǎn)子與原型轉(zhuǎn)子臨界振型對(duì)比

圖8 燃?xì)獍l(fā)生器模型轉(zhuǎn)子臨界振型

5 結(jié)束語

本文對(duì)某型雙轉(zhuǎn)子渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行了變態(tài)動(dòng)力相似優(yōu)化設(shè)計(jì)和驗(yàn)證分析，計(jì)算結(jié)果表明動(dòng)力渦輪外轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的誤差為2.94%，燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的誤差為0.82%，各階振型的mac值均達(dá)到了90%以上。因此，本文所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)器模型與原型轉(zhuǎn)子滿足動(dòng)力學(xué)相似，能高精度地相似反映原型轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變態(tài)模型動(dòng)力相似設(shè)計(jì)方法切實(shí)可行，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型試驗(yàn)研究提供理論支撐。此外，本文所提出的相似參數(shù)選取、特征參數(shù)優(yōu)化、鼠籠彈性支承設(shè)計(jì)驗(yàn)證等一系列方法和算例對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)器的相似設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

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