楊立安 孔凡成 張百成

（1.空軍勤務(wù)學(xué)院航空彈藥保障系 徐州 221000）（2.空軍駐624廠軍代室 哈爾濱 150000）

1 引言

空空導(dǎo)彈被譽(yù)為“空戰(zhàn)之劍”，是由殲擊機(jī)、強(qiáng)擊機(jī)、直升機(jī)、轟炸機(jī)等攜帶發(fā)射，攻擊空中目標(biāo)的導(dǎo)彈，對(duì)奪取制空權(quán)、保持空中優(yōu)勢(shì)至關(guān)重要［1］。空空導(dǎo)彈在長(zhǎng)時(shí)間的貯存中通常會(huì)出現(xiàn)質(zhì)量問(wèn)題或技術(shù)性能下降現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致故障的發(fā)生，因此，需要對(duì)空空導(dǎo)彈貯存可靠性進(jìn)行合理的分析，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，得出詳細(xì)的研究結(jié)果。導(dǎo)彈的故障通常是由其內(nèi)在失效機(jī)理與外部環(huán)境因素綜合作用導(dǎo)致的，這是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，但是從故障的發(fā)展進(jìn)程來(lái)看，導(dǎo)彈的故障可分為突發(fā)故障與退化故障兩種。退化故障［2］表現(xiàn)為導(dǎo)彈的性能狀態(tài)隨存儲(chǔ)時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸下降，監(jiān)測(cè)參數(shù)的測(cè)試數(shù)據(jù)逐漸偏離標(biāo)準(zhǔn)值并最終超出規(guī)定閾值。由于測(cè)試數(shù)據(jù)表征了導(dǎo)彈的性能狀態(tài)，且具有一定的規(guī)律性，因此，可以依據(jù)性能退化的基本理論，應(yīng)用監(jiān)測(cè)參數(shù)的測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)導(dǎo)彈退化故障進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

2 逆高斯過(guò)程和維納過(guò)程

1968年Wasan首次發(fā)表逆高斯過(guò)程［3］，但由于當(dāng)時(shí)無(wú)法在實(shí)踐工程中得到檢驗(yàn)，因此逆高斯過(guò)程并沒(méi)有被重視。直到2010年，逆高斯過(guò)程才再次進(jìn)入到學(xué)者視線，在實(shí)踐中得到認(rèn)證。2012年，學(xué)者Ye和Chen給出了逆高斯過(guò)程物理背景的正式解釋，提出逆高斯過(guò)程是解決產(chǎn)品單調(diào)退化過(guò)程問(wèn)題最合適的模型。

在逆高斯過(guò)程中，性能退化量{X (t);t＞0} 具有下列性質(zhì)［4］：

1）X(0)=0依概率1恒成立；

2）對(duì) 于 任 意 t＞s＞u ，X(t)-X(s)≥0，X(s)-X(u)≥0，X(t)-X(s)和X(s)-X(u)相互獨(dú)立；

3） 對(duì) 于 任 意 t＞s≥0 ， X(t)-X(s)～

式中：λ是逆高斯過(guò)程的刻度參數(shù)；Λ(t)是單調(diào)增逆高斯過(guò)程的分布函數(shù)。

維納過(guò)程［5］是一個(gè)重要的獨(dú)立增量過(guò)程，在純數(shù)學(xué)中，維納過(guò)程導(dǎo)致了對(duì)連續(xù)鞅理論［6］的研究，是刻畫一系列重要的復(fù)雜過(guò)程的基本工具。在維納過(guò)程中，性能退化量{X (t);t＞0}具有下列性質(zhì)：

1）X(0)=0依概率1恒成立；

2）對(duì) 于 任 意 t＞s＞u ，X(t)-X(s)≥0，X(s)-X(u)≥0，X(t)-X(s)和X(s)-X(u)相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布；

3）對(duì)于任意時(shí)刻t＞0，X(t)～N(μ t，σ2t) 。

3 空空導(dǎo)彈部件單調(diào)退化建模

根據(jù)文獻(xiàn)［7］可知，基于性能退化理論的可靠性建模適用于對(duì)導(dǎo)彈貯存可靠性進(jìn)行分析，根據(jù)逆高斯過(guò)程中性能退化量的性質(zhì)，若令3）中s=0，則根據(jù)性質(zhì)3）可以解得產(chǎn)品性能退化量在任何時(shí)刻都服從逆高斯過(guò)程。

逆高斯過(guò)程的概率密度函數(shù)為

其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為

其中：當(dāng) x＞0時(shí)，I(0，∞)(x)=1，x≤0時(shí)，I(0，∞)(x)=0，稱為示性函數(shù)。Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由公式計(jì)算可以得出逆高斯過(guò)程的期望和方差

由期望和方差可以求得逆高斯過(guò)程的變異系數(shù)為

因?yàn)棣?t)是單調(diào)增函數(shù)，所以逆高斯過(guò)程的變異系數(shù)隨著時(shí)間t的增加呈現(xiàn)出遞減的趨勢(shì)并逐步向逆高斯過(guò)程的均值曲線逼近。

為了體現(xiàn)一般情況，本文假設(shè)服從逆高斯過(guò)程的導(dǎo)彈性能退化量為單調(diào)非減的，設(shè)Λ(t)=μt，設(shè)置產(chǎn)品失效閥值D。根據(jù)貯存可靠性基本理論［8］，產(chǎn)品的貯存可靠壽命T是指產(chǎn)品貯存過(guò)程中首次發(fā)生失效的時(shí)間，即性能退化理論中產(chǎn)品性能退化量第一次超過(guò)設(shè)置的失效閾值。因?yàn)槟娓咚惯^(guò)程為單調(diào)過(guò)程，其可靠壽命T可表示為

所以，其失效概率函數(shù)可表示為

其中，F(xiàn)IG(·)為逆高斯過(guò)程分布函數(shù)；ε為t的函數(shù)。

其可靠度函數(shù)為

對(duì)式（6）求導(dǎo)可求得累積失效概率密度函數(shù)：

其中，?(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

當(dāng)產(chǎn)品符合性能退化的逆高斯過(guò)程，且其性能退化量在時(shí)刻τ仍未超過(guò)失效閥值xτ＜D，那么剩余壽命Tτ可表示為

根據(jù)逆高斯過(guò)程性能退化量的獨(dú)立性和馬爾科夫鏈［9］的前效無(wú)關(guān)性，剩余壽命Tτ可改寫為

我們無(wú)法得到部件準(zhǔn)確的退化參量，因此對(duì)于部件貯存過(guò)程中性能退化估計(jì)只能依靠不同時(shí)刻對(duì)導(dǎo)彈測(cè)試獲得的參數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到其最大似然估計(jì)。為了體現(xiàn)一般性，取第i個(gè)部件在ti0，ti1，…，tim時(shí)刻的性能退化量進(jìn)行估計(jì)：

相鄰測(cè)試區(qū)間內(nèi)，部件性能退化增量為

其 中 ， ?Xij=Xij-Xi，j-1，i=1，2，…，n; j=1，2，…，m

其中，。為了便于計(jì)算，做如下替換：

代入原似然函數(shù)得

將式（11）取對(duì)數(shù)，分別對(duì) μ，v求偏導(dǎo)，令，得到極大似然值為

代入得μ，λ的最大似然估計(jì)：

將 um，λm代入獲得可靠度函數(shù)的最大似然估計(jì)：

4 空空導(dǎo)彈部件非單調(diào)退化建模

在工程領(lǐng)域，維納過(guò)程是處理非單調(diào)性能退化［10］過(guò)程應(yīng)用最成熟的模型。為了體現(xiàn)一般性，本文假設(shè)產(chǎn)品在貯存過(guò)程中隨著時(shí)間的推移發(fā)生非單調(diào)性能退化，性能退化量X(t) 服從維納退化過(guò)程［11］，其表達(dá)式為

其中，μ(t ; θ )是維納過(guò)程漂移函數(shù)［12］；θ 為未知參數(shù)；σ為擴(kuò)散系數(shù) ；B(t) 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)［13］。

根據(jù)維納過(guò)程的性質(zhì)可知，其期望和方差為

因此其變異系數(shù)為

當(dāng)產(chǎn)品失效閾值D＞0時(shí)，產(chǎn)品T(D)時(shí)刻的失效概率密度函數(shù)為

對(duì)上式積分得產(chǎn)品T(D )時(shí)刻的失效率函數(shù)：

則產(chǎn)品T()

D 時(shí)刻的可靠度函數(shù)為

維納過(guò)程可靠度函數(shù)的最大似然估計(jì)可參考逆高斯過(guò)程求得：

5 結(jié)語(yǔ)

空空導(dǎo)彈貯存可靠性是衡量空空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)性能的核心指標(biāo)之一，為了明確空空導(dǎo)彈單一退化型部件對(duì)貯存可靠性的影響，本文結(jié)合性能退化的基本理論，利用逆高斯過(guò)程及維納過(guò)程，分別對(duì)空空導(dǎo)彈部件進(jìn)行了單調(diào)退化建模和非單調(diào)退化建模，下一步可以繼續(xù)研究其他部件及環(huán)境因素對(duì)貯存可靠性的影響，并對(duì)已建立的模型進(jìn)行仿真分析，找到提高空空導(dǎo)彈貯存可靠性的方法和措施。

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