程文娟, 許月晨, 賀飛, 姜黎明, 劉凱, 唐章宏

(1.北京工業(yè)大學(xué), 北京 100124; 2.中國石油集團(tuán)測(cè)井有限公司, 陜西 西安 710021)

0　引　言

目前,在計(jì)算電阻率測(cè)井響應(yīng)時(shí),對(duì)侵入影響的分析和校正通?；谀酀{侵入的階躍模型[1-2]。該模型認(rèn)為泥漿濾液只侵入地層一段距離,侵入帶電阻率恒定,侵入帶以外為原狀地層,電阻率的這種變化不符合實(shí)際地層的變化情況。S形增長模型——Logistic模型[3-4]主要用來描述增長情況,因此,只能模擬侵入帶電阻率低于原狀地層電阻率(低侵)的情況。本文針對(duì)Logistic函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),提出了改進(jìn)的三參數(shù)Logistic函數(shù)描述過渡帶電阻率,該函數(shù)能很好地描述高侵入與低侵入情況下過渡帶電阻率連續(xù)變化。

1　漸近變化地層模型構(gòu)造

地層二維模型見圖1。由于泥漿侵入會(huì)導(dǎo)致地層電阻率發(fā)生變化,根據(jù)沖洗帶電阻率與原狀地層電阻率的差異,將泥漿侵入分為低侵和高侵。為了描述地層電阻率低侵及高侵的漸近變化過程,構(gòu)造電阻率與侵入深度的漸變模型。

圖1　含侵入帶的地層二維模型

圖2　三參數(shù)Logistic函數(shù)電阻率隨侵入深度的變化曲線

地層電阻率與徑向侵入深度的關(guān)系可用Logistic模型描述[3-4]。Logistic模型的表達(dá)式為

(1)

(2)

式中,Rxo為沖洗帶電阻率;Rt為地層真電阻率;r0為井眼半徑。由式(1)、式(2)可以看出,R(r0)=Rxo,R(+∞)=Rt。對(duì)于低侵地層,RxoRt,此時(shí)a<0,函數(shù)不存在拐點(diǎn),因此不能描述高侵時(shí)地層電阻率隨侵入深度的漸變行為。

針對(duì)上述Logistic函數(shù)不能描述高侵時(shí)地層電阻率隨侵入深度的漸變行為的不足,本文提出改進(jìn)的三參數(shù)Logistic函數(shù)

(3)

并定義此時(shí)徑向漸變地層的侵入深度為電阻率變化最大位置(函數(shù)拐點(diǎn)位置)

(4)

式中,Rxo為沖洗帶電阻率;Rt為地層真電阻率;r0為井眼半徑;函數(shù)拐點(diǎn)位置為ri=r0-lnk2/b,k2為接近0的常數(shù),例如取k2=0.05。由式(3)、式(4)可以看出,R(r0)=Rxo,R(+∞)=Rt,且函數(shù)式(3)能描述地層電阻率不隨徑向漸變的行為,此時(shí),取c=Rxo=Rt即可。

以上三參數(shù)Logistic函數(shù)能很好地描述高侵與低侵情況下過渡帶電阻率連續(xù)變化,且其平穩(wěn)區(qū)的變化可通過調(diào)節(jié)拐點(diǎn)位置來改變。例如,對(duì)于低侵,設(shè)r0=0.101 6 m,Rxo=10 Ω·m,Rt=200 Ω·m,可繪制三參數(shù)Logistic函數(shù)描述的電阻率隨侵入深度的曲線變化情況[見圖2(a)]。對(duì)于高侵,設(shè)r0=0.101 6 m,Rxo=20 Ω·m,Rt=5 Ω·m,同樣可繪制三參數(shù)Logistic函數(shù)描述電阻率隨侵入深度的曲線變化情況[見圖2(b)]。

從圖2可知,三參數(shù)Logistic函數(shù)能很好地描述高侵與低侵情況下過渡帶電阻率的連續(xù)變化。以下采用三參數(shù)Logistic函數(shù)描述地層電阻率的漸近變化。

2　徑向漸變地層的數(shù)值模式匹配法

對(duì)于井眼及地層軸對(duì)稱的結(jié)構(gòu),利用二維數(shù)值模式匹配法(Numerical Mode Matching,NMM法)[5-7]對(duì)徑向漸變地層模型進(jìn)行數(shù)值模擬?，F(xiàn)有的NMM法中認(rèn)為地層電導(dǎo)率分段均勻,在計(jì)算每個(gè)區(qū)間n的積分過程中不考慮地層電導(dǎo)率隨侵入深度的變化,第m層地層第n區(qū)間的A、B、G、H矩陣可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

實(shí)際情況下,泥漿侵入會(huì)導(dǎo)致地層物性參數(shù)徑向分布不均勻,因此對(duì)于徑向漸變地層,構(gòu)造漸變地層模型,認(rèn)為地層電導(dǎo)率隨侵入深度漸近變化,提出針對(duì)徑向漸變地層的快速正演計(jì)算。此時(shí),NMM法中式(5)所示的第m層地層第n區(qū)間A矩陣變?yōu)?/p>

(9)

B、G、H矩陣與之類似。由于引入Logistic函數(shù)描述的徑向漸變電阻率,以上矩陣中元素不能通過求積分原函數(shù)的解析表達(dá)式求解,因此采用Gauss-Legendre公式[8]進(jìn)行計(jì)算

(10)

式中,tk是gauss點(diǎn);Ak為Gauss-Legendre求積系數(shù);j是高斯點(diǎn)數(shù)。

3　計(jì)算結(jié)果與分析

本文采用陣列側(cè)向(HAL)測(cè)井儀器[9-10]進(jìn)行計(jì)算。該測(cè)井儀器通過控制不同的電極等電位使得儀器有不同的探測(cè)深度,根據(jù)探測(cè)深度不同有6種不同的探測(cè)模式RLA0至RLA5,其探測(cè)深度由淺到深,工作原理見文獻(xiàn)[9]。

3.1　階躍地層與徑向漸變地層視電阻率差異分析

為研究HAL儀器在階躍地層與徑向漸變地層測(cè)量視電阻率的差異,分別構(gòu)造具有相同沖洗帶電阻率、原狀地層電阻率和侵入帶半徑的階躍模型與徑向漸變模型,計(jì)算HAL儀器在這2種地層模型的視電阻率。構(gòu)造的階躍地層與徑向漸變地層低侵模型見圖3。圖3中,沖洗帶電阻率為5 Ω·m,原狀地層電阻率為200 Ω·m。同理,構(gòu)造階躍地層與徑向漸變地層的高侵模型,沖洗帶電阻率為20 Ω·m,原狀地層電阻率為5 Ω·m。分別計(jì)算高侵和低侵地層不同侵入深度下探測(cè)模式RLA0至RLA5的視電阻率,并計(jì)算階躍模型與徑向漸變模型視電阻率的差異(以階躍模型計(jì)算的視電阻率為標(biāo)準(zhǔn)值,計(jì)算徑向漸變模型與階躍模型的視電阻率相對(duì)誤差)。低侵時(shí)2種地層的視電阻率相對(duì)誤差隨侵入深度的變化曲線見圖4,高侵時(shí)2種地層的視電阻率相對(duì)誤差隨侵入深度的變化曲線見圖5。

圖3　縱向均勻地層的階躍模型和徑向漸變模型

圖4　　低侵時(shí)2種模型視電阻率的相對(duì)誤差隨侵入深度的變化曲線

從圖4可知,相對(duì)誤差隨侵入深度的變化總體均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。當(dāng)侵入深度等于井徑時(shí)(即地層為均勻地層),6條曲線基本重合,且誤差基本為0,這也間接說明均勻地層2種計(jì)算方法結(jié)果一致。從圖4中可以看出,RLA0的相對(duì)誤差曲線在侵入深度較小時(shí)變化較大,隨著侵入深度的增加很快下降為0,這是由于此時(shí)主電極發(fā)射的電流不聚焦,很快返回到臨近的電極,大部分電流在鉆井液內(nèi)流動(dòng),不流經(jīng)地層,主要探測(cè)的是井眼及附近很近的區(qū)域。因此,地層侵入深度的變化對(duì)RLA0的測(cè)井響應(yīng)影響很小。當(dāng)侵入深度小于2 m時(shí),侵入深度對(duì)RLA1至RLA5相對(duì)誤差的影響較大,這是由于RLA1至RLA5主電極發(fā)射電流,屏蔽電極發(fā)射屏蔽電流,且屏蔽電極和控制等電位的電極依次向主電極兩邊擴(kuò)展,因此電流在流出后流經(jīng)的地層越來越深,探測(cè)深度依次增加。當(dāng)探測(cè)深度較小時(shí),返回到測(cè)量電極的電流主要流經(jīng)沖洗帶,所測(cè)的視電阻率主要是受沖洗帶電阻率影響。當(dāng)探測(cè)深度較大時(shí),電流流經(jīng)地層較深的位置然后返回測(cè)量電極,所測(cè)的視電阻率受原狀地層電阻率的影響較大,當(dāng)沖洗帶電阻率和原狀地層電阻率的差別一定時(shí),最大相對(duì)誤差值隨著探測(cè)深度增大而逐漸減小。從圖4中還可以看出,RLA1至RLA5相對(duì)誤差最大對(duì)應(yīng)的侵入深度是依次增大的,這體現(xiàn)在探測(cè)模式RLA1至RLA5的探測(cè)深度是遞增的。當(dāng)侵入深度增大到一定程度時(shí),所有探測(cè)模式下的相對(duì)誤差均趨于穩(wěn)定,且相對(duì)誤差非常小(基本為0),這是由于當(dāng)侵入深度較大時(shí),所有探測(cè)深度都達(dá)不到地層的侵入深度。整體上,針對(duì)階躍地層和Logistic函數(shù)描述的徑向漸變地層模型,HAL儀器測(cè)量的視電阻率差異較大,尤其在儀器探測(cè)深度附近。由于實(shí)際泥漿侵入后地層電阻率為徑向漸近變化,且其侵入深度也基本不超過儀器探測(cè)深度,因此,對(duì)于低侵模型,有必要在研究HAL儀器測(cè)井響應(yīng)時(shí),模擬實(shí)際泥漿侵入后地層電阻率的徑向漸變行為。

圖5　高侵時(shí)視電阻率的相對(duì)誤差隨侵入深度的變化曲線

從圖5可知,在靠近井眼的侵入深度下,相對(duì)誤差隨侵入深度變化呈亂序,在部分位置有突變,當(dāng)侵入深度大于0.14 m之后,相對(duì)誤差總體均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。然而,對(duì)于高侵地層,所有探測(cè)深度下徑向漸變與分段均勻地層的相對(duì)誤差值均在4%以下,與低侵情況相比2種地層模型的相對(duì)誤差很小。

3.2　對(duì)比度對(duì)視電阻率差異的影響

為進(jìn)一步研究不同侵入帶和原狀地層電阻率下2種地層模型視電阻率的差異,設(shè)置不同對(duì)比度,構(gòu)造不同地層,分別采用分段均勻地層模型和徑向漸變地層模型進(jìn)行計(jì)算,由此得各探測(cè)深度下2種模型相對(duì)誤差最大值隨目的層電阻率對(duì)比度的變化曲線(見圖6)。

圖6　2種模型相對(duì)誤差最大值隨目的層電阻率對(duì)比度的變化曲線

從圖6可知,徑向漸變和分段均勻地層視電阻率的相對(duì)誤差最大值隨著目的層電阻率對(duì)比度的增大而減小,當(dāng)對(duì)比度小于1時(shí),地層為低侵,2種模型視電阻率差異很大,當(dāng)對(duì)比度大于1時(shí),地層為高侵,視電阻率差異均小于6%。

3.3　帶圍巖地層結(jié)果分析

以上分析徑向漸變和分段均勻地層視電阻率差異時(shí),均認(rèn)為地層縱向均勻,而實(shí)際地層縱向分層,因此有必要考慮存在圍巖時(shí)二者的差異。以下分別構(gòu)造帶圍巖的低侵和高侵模型進(jìn)行分析。

(1) 低侵模型:Rxo=5 Ω·m,Rt=200 Ω·m,侵入深度為0.76 m,上下圍巖電阻率為5 Ω·m,目的層厚度4 m,徑向漸變和分段均勻地層的測(cè)井響應(yīng)曲線分別見圖7(a)、圖7(b)。

圖7　低侵模型的測(cè)井響應(yīng)

(2) 高侵模型:Rxo=20 Ω·m,Rt=5 Ω·m,侵入深度為0.5 m,上下圍巖電阻率為5 Ω·m,目的層厚度4 m,徑向漸變和分段均勻地層的測(cè)井響應(yīng)曲線分別見圖8(a)、圖8(b)。

圖8　高侵模型的測(cè)井響應(yīng)

從圖7可知,對(duì)于低侵模型,徑向漸變地層的目的層視電阻率值普遍高于階躍地層目的層視電阻率,這是由于徑向漸變地層的電阻率在還沒達(dá)到侵入深度時(shí)已經(jīng)逐漸增大,導(dǎo)致不同探測(cè)模式受低電阻率侵入影響變小。對(duì)于帶圍巖的低侵模型,在研究HAL儀器測(cè)井響應(yīng)時(shí),HAL儀器測(cè)量的視電阻率差異較大,因此,也要構(gòu)造漸變地層模型模擬實(shí)際泥漿侵入后地層電阻率的徑向漸變行為。

圖9　相對(duì)誤差隨目的層厚度的變化曲線

從圖8可知,對(duì)于高侵模型,階躍地層的目的層視電阻率略高于徑向漸變侵入地層目的層視電阻率,這是由于漸變模型在還未達(dá)到侵入深度時(shí)電阻率已經(jīng)開始下降,但2種地層目的層電阻率差別并不明顯。

為進(jìn)一步研究高侵時(shí)2種地層模型的視電阻率差異,針對(duì)上述高侵模型,計(jì)算不同目的層厚度時(shí)目的層中間位置2種模型的視電阻率及相對(duì)誤差,圖9給出了徑向漸變地層和階躍地層的目的層中間位置視電阻率相對(duì)誤差隨目的層厚度的變化曲線。

從圖9可知,對(duì)于高侵模型,當(dāng)目的層厚度較小時(shí)徑向漸變侵入地層與階躍地層的視電阻率相對(duì)誤差也很小,最大不超過5%。因此,對(duì)于帶圍巖的高侵模型,也可以采用階躍地層近似代替徑向漸變侵入地層計(jì)算測(cè)井響應(yīng)。

4　結(jié)　論

(1) 在現(xiàn)有數(shù)值模式匹配法的基礎(chǔ)上,引入Logistic函數(shù)建立徑向漸變地層模型,形成漸變地層NMM快速算法,給出了HAL儀器在相同沖洗帶電阻率、原狀地層電阻率和侵入帶半徑下,階躍地層與徑向漸變地層下測(cè)量的視電阻率差異。

(2) 改進(jìn)的三參數(shù)Logistic函數(shù)能很好地描述高侵與低侵情況下地層電阻率連續(xù)變化情況;地層為均勻地層時(shí),漸變地層NMM快速算法與現(xiàn)有NMM法計(jì)算結(jié)果一致。

(3) 階躍地層與徑向漸變地層的視電阻率相對(duì)誤差隨侵入深度的變化總體均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。當(dāng)侵入深度小于2 m時(shí),侵入深度對(duì)RLA1至RLA5相對(duì)誤差的影響較大,且最大誤差對(duì)應(yīng)的侵入深度是依次增大的;當(dāng)侵入深度增大到一定程度時(shí),所有探測(cè)模式下的相對(duì)誤差均趨于穩(wěn)定,且相對(duì)誤差非常小(基本為0)。

(4) 低侵時(shí)2種不同地層模型視電阻率在Rxo/Rt=0.01時(shí)的最大相對(duì)誤差最大已達(dá)到800%,因此,對(duì)于低侵模型為更精確研究泥漿侵入對(duì)儀器視電阻率的影響,有必要建立徑向漸變地層分析儀器的測(cè)井響應(yīng)。

(5) 高侵時(shí),無論是否帶圍巖,2種不同地層模型視電阻率的相對(duì)誤差均小于6%,特別的,針對(duì)Rxo=20 Ω·m,Rt=5 Ω·m的高侵地層,在圍巖厚度為0.5～4 m變化時(shí),二者最大相對(duì)誤差不超過5%。因此,對(duì)于高侵模型,可以采用階躍地層近似代替徑向漸變地層計(jì)算測(cè)井響應(yīng)。