補(bǔ)朝陽(yáng)，李　尊

（1.新鄉(xiāng)學(xué)院 a.化學(xué)化工學(xué)院；b.物理與電子工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；2.武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430081）

圖像修復(fù)技術(shù)［1-2］用來(lái)對(duì)破損圖像的待修復(fù)區(qū)域進(jìn)行合理的填充，恢復(fù)視覺(jué)效果。目前，此技術(shù)已被應(yīng)用于文物修復(fù)、舊照片恢復(fù)、冗余目標(biāo)移出等方面，是圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。國(guó)內(nèi)外的研究者提出了許多種修復(fù)方法，如基于變分和偏微分法、基于等照度線擴(kuò)散法、基于紋理合成法、混合法以及變換域法等?；谛〔ㄗ儞Q的圖像修復(fù)［3］算法進(jìn)行逐點(diǎn)計(jì)算，保證修復(fù)質(zhì)量和效率?？导褌惖龋?］提出引入梯度直方圖進(jìn)行方向篩選的方法較好地保留了修復(fù)邊緣。Hung等［5］提出的貝賽爾曲線逼近邊緣方法保證了對(duì)曲線結(jié)構(gòu)的較好修復(fù)。

在本文中，我們提出改進(jìn)的DWT-FMM圖像修復(fù)算法是對(duì)Eikonal方程和權(quán)重函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，引入約束最小二乘法進(jìn)行濾波，在保證修復(fù)效率的基礎(chǔ)上，提高細(xì)節(jié)修復(fù)效果。

1　小波變換

小波變換［6］是頻域的變換方法，此方法在時(shí)域和頻域均具有良好的局部化特性。設(shè)C0表示原始圖像，離散小波變換如下：

其中：m=0，1，…，m-1；h、v 和 d 分別表示水平分量、垂直分量和對(duì)角分量；G和H都是小波變換中濾波器系數(shù)矩陣，’表示H的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，表示G的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。小波重構(gòu)表達(dá)式為

其中 n=N，N-1，…，1。

2　DWT-FMM圖像修復(fù)算法

DWT-FMM圖像修復(fù)算法對(duì)待修復(fù)圖像進(jìn)行小波變換，得到低頻圖像和高頻圖像。算法對(duì)低頻圖像以點(diǎn)為單位，采用FMM（fast marching method）方式進(jìn)行匹配，逐步修復(fù)圖像；對(duì)高頻圖像，則利用小波分解后上下層之間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行預(yù)測(cè)。為了使修復(fù)圖像的效果更自然，我們對(duì)修復(fù)的圖像使用維納濾波。

2.1　低頻圖像修復(fù)

低頻圖像以像素點(diǎn)為研究對(duì)象，采用FMM算法對(duì)待修復(fù)區(qū)域由外向內(nèi)逐步推進(jìn)修復(fù)，直至待修復(fù)區(qū)域修復(fù)完成。

FMM算法［7］由Telea于2004年提出，其實(shí)質(zhì)是利用 Eikonal方程求解時(shí)間達(dá)到函數(shù) T（x，y），模擬曲線進(jìn)化過(guò)程來(lái)完成修復(fù)。此修復(fù)方法是由待修復(fù)區(qū)域邊緣逐漸向里推進(jìn)，保證離完好區(qū)域最近的像素點(diǎn)優(yōu)先得到修復(fù)，與人工修復(fù)原則一致。FMM算法模型如圖1所示。在圖1中，表示待修復(fù)區(qū)域，Ψ表示完好區(qū)域，?表示待修復(fù)區(qū)域邊界，P表示待修復(fù)像素點(diǎn)，Nξ（P）表示鄰域像素點(diǎn)集合。

圖1　FMM算法模型

FMM算法將像素點(diǎn)分為3類，分別是未知像素點(diǎn)、已知像素點(diǎn)和邊界像素點(diǎn)。T（x，y）可通過(guò)Eikonal方程

求解。在式（3）中：βij表示待修復(fù)像素點(diǎn)法向運(yùn)動(dòng)速率，取值為1；表示一階有限差分形式。

為了保證修復(fù)路徑正確，及待修復(fù)像素點(diǎn)灰度值匹配正確，需要在待修復(fù)像素點(diǎn)P的周圍建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算鄰域像素點(diǎn)q對(duì)點(diǎn)P影響，進(jìn)而計(jì)算出點(diǎn)P的灰度值。計(jì)算方法如下：

式（4）表示在點(diǎn)P的修復(fù)中，權(quán)重函數(shù)占主導(dǎo)地位。此方程式保證在修復(fù)的過(guò)程中保留完好區(qū)域的結(jié)構(gòu)特征。式（5）表示權(quán)重函數(shù)由3個(gè)因子所決定，分別是方向因子r、距離因子t和水平集因子V，即

式（6）中：方向因子r表示像素點(diǎn)q與像素點(diǎn)P紋理越相似，權(quán)重值越大；距離因子t表示像素點(diǎn)q與像素點(diǎn)P距離越近，權(quán)重值越大；水平集因子V表示像素點(diǎn)q的更新時(shí)間越短，權(quán)重值越大。

低頻圖像的修復(fù)依照FMM算法進(jìn)行，直至待修復(fù)區(qū)域修復(fù)完成。

2.2　高頻圖像修復(fù)

高頻圖像修復(fù)要通過(guò)低頻信息進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先剔除高頻圖像待修復(fù)區(qū)域的邊界，然后對(duì)低頻已修復(fù)好的區(qū)域進(jìn)行水平、垂直和對(duì)角方向?yàn)V波，并填充至高頻待修復(fù)圖像中，最后采用維納濾波處理使修復(fù)效果更加自然。

3　改進(jìn)的DWT-FMM圖像修復(fù)算法

我們提出的改進(jìn)的DWT-FMM圖像修復(fù)算法針對(duì)Eikonal方程和權(quán)重函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，圖像自然化濾波則采用約束最小二乘法。

3.1　Eikonal方程改進(jìn)

在式（3）中，有限差分的形式為一階。文獻(xiàn)［8］針對(duì)FMM算法的精度進(jìn)行分析，得出二階差分精度高于一階差分精度的結(jié)論。因此我們用二階差分的形式替代一階差分引入Eikonal方程，改進(jìn)DWT-FMM圖像修復(fù)算法，完成圖像修復(fù)操作，表達(dá)式如下：

上述4個(gè)表達(dá)式為二階差分形式，其中Δx和Δy分別表示在x軸和y軸方向上的網(wǎng)格間距，Ti，j表示網(wǎng)格坐標(biāo)（i，j）的到達(dá)時(shí)的值。

3.2　權(quán)重函數(shù)的改進(jìn)

權(quán)重函數(shù)是由方向因子、距離因子和水平集因子的乘積形式?jīng)Q定的，具有盲目性。在權(quán)重函數(shù)表達(dá)式中，3個(gè)因子對(duì)函數(shù)的影響應(yīng)具有同等地位，而在圖像修復(fù)的原則中，方向因子的優(yōu)先級(jí)要高于其余2項(xiàng)，否則易引入相關(guān)度較小的像素點(diǎn)，影響修復(fù)效果。為此，我們提出將黃金率［9］引入權(quán)重函數(shù)中，將因子相乘形式改成加權(quán)和的形式，以此提高方向因子的優(yōu)先級(jí)，保證修復(fù)按照?qǐng)D像結(jié)構(gòu)的方向進(jìn)行，符合圖像修復(fù)的要求。改進(jìn)的權(quán)重函數(shù)表達(dá)式為

3.3　約束最小二乘法

原修復(fù)算法的最后步驟是采用維納濾波進(jìn)行自然化處理。維納濾波是由Winner提出的，具有計(jì)算量小、抗噪能力強(qiáng)和修復(fù)效果好的特點(diǎn)，在圖像復(fù)原中被廣泛應(yīng)用。但是圖像修復(fù)是一個(gè)病態(tài)的逆問(wèn)題，為了克服病態(tài)，我們采用約束最小二乘法［10］進(jìn)行自然化處理。此方法可利用待修復(fù)圖像的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行約束，提高修復(fù)質(zhì)量。我們采用MATLAB中的deconvreg函數(shù)進(jìn)行約束最小二乘法處理，其中拉格朗日算法的搜索范圍是 10-9～109。

4　仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的整體及所有改進(jìn)部分都進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)軟件采用MATLAB 7.0，客觀參數(shù)有均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR和修復(fù)時(shí)間t。結(jié)果如圖2所示。圖2a）為原圖，圖2b）為待修補(bǔ)圖像（其中待修復(fù)區(qū)域用數(shù)字標(biāo)注，便于對(duì)比），圖2c）為原算法修復(fù)圖，圖2d）為Eikonal改進(jìn)修復(fù)圖，圖2e）為權(quán)重函數(shù)改進(jìn)修復(fù)圖，圖2f）為采用約束最小二乘法濾波的修復(fù)圖，圖2g）為本文算法修復(fù)圖。

針對(duì)Eikonal改進(jìn)進(jìn)行對(duì)比，如圖2c）和圖2d）所示。人眼看到的修復(fù)效果是，圖2c）中明顯有修復(fù)痕跡，而圖2d）的修復(fù)痕跡減輕，特別是在1處（Lena帽子上方的拐角部分），圖2d）細(xì)節(jié)處理效果較好，基本恢復(fù)原圖信息，滿足修復(fù)要求?？陀^結(jié)果如表1所示，Eikonal改進(jìn)算法提高了修復(fù)的質(zhì)量和修復(fù)效率，此改進(jìn)具有一定價(jià)值。

針對(duì)權(quán)重函數(shù)改進(jìn)進(jìn)行對(duì)比，如圖2c）和圖2e）所示。從人的視覺(jué)出發(fā)，圖2c）和圖2e）相差不大，基本滿足人的視覺(jué)要求，無(wú)明顯錯(cuò)誤信息的修復(fù)，但均存在一定程度的修復(fù)痕跡?？陀^結(jié)果如表1所示，權(quán)重函數(shù)改進(jìn)算法的圖像質(zhì)量具有一定的提高，修復(fù)時(shí)間也較原算法有所降低。

針對(duì)不同的濾波方法修復(fù)圖進(jìn)行對(duì)比，如圖2c）和圖2f）所示。從人的視覺(jué)出發(fā)，圖2f）的改進(jìn)效果與圖2c）沒(méi)有明顯差別。但從客觀數(shù)據(jù)表1可得出，無(wú)論是修復(fù)質(zhì)量還是修復(fù)效率，本算法都得到了一定的提高，相較于維納濾波可以達(dá)到自然修復(fù)的目的。

對(duì)改進(jìn)算法和原算法進(jìn)行對(duì)比，如圖2c）和圖2g）所示。改進(jìn)算法在細(xì)節(jié)處理上有一定程度的提高，減少了修復(fù)痕跡，得到了修復(fù)效果更好的修復(fù)結(jié)果圖，符合修復(fù)的原則。客觀結(jié)果如表1所示，改進(jìn)算法在提升圖像修復(fù)質(zhì)量、滿足視覺(jué)要求和加強(qiáng)細(xì)節(jié)處理的基礎(chǔ)上，保證了效率。

圖2　修復(fù)效果對(duì)比圖

表1　客觀數(shù)據(jù)對(duì)比表

5　結(jié)束語(yǔ)

在DWT-FMM修復(fù)算法的基礎(chǔ)上，針對(duì)3方面進(jìn)行改進(jìn)：改進(jìn)的Eikonal方程提高修復(fù)精度，改進(jìn)的權(quán)重函數(shù)保證修復(fù)圖像的結(jié)構(gòu)方向和改進(jìn)濾波方法增強(qiáng)修復(fù)的自然效果。改進(jìn)算法在細(xì)節(jié)修復(fù)上有一定提高，人為修復(fù)痕跡減輕，修復(fù)效果自然，但仍存在條狀痕跡。綜上，改進(jìn)算法對(duì)圖像的細(xì)節(jié)修復(fù)具有一定的參考意義。下一步將以修復(fù)邊緣為對(duì)象進(jìn)行研究，降低修復(fù)痕跡的視覺(jué)效果。