馮學(xué)曉，古險(xiǎn)峰

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451100）

圖像邊緣是指圖像灰度發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，描述了圖像信息的某種不連續(xù)性，標(biāo)志著不同區(qū)域間的接合，邊緣特征提取是指提取出目標(biāo)圖像與背景間的邊界［1］。利用圖像邊緣灰度值變化大的特征，得到不同類型圖像的分類效果，從而在保留圖像特征信息的同時(shí)，減少數(shù)據(jù)的冗余。傳統(tǒng)的邊緣檢測算法容易受到噪聲影響，利用濾波去噪又會(huì)引起邊緣模糊，而分形檢測具有對噪聲不敏感的特點(diǎn)，如將傳統(tǒng)邊緣檢測算法與分形理論相結(jié)合，得到圖像邊緣的幾何特征，則可方便地對圖像進(jìn)行有效的處理和分析［2］。

1　分形維數(shù)

1.1　分形理論

傳統(tǒng)的幾何理論針對的是規(guī)則的光滑的幾何結(jié)構(gòu)，只能描述處處連續(xù)的處處可微的曲線，而在實(shí)際應(yīng)用中，大部分結(jié)構(gòu)都是不規(guī)則的，不具有可微性［3］。分形作為幾何學(xué)的研究對象，具有自相似性，針對的是不規(guī)則的破碎形狀。在歐氏幾何中，維數(shù)以整數(shù)的形式存在，點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，立體是三維的。而在分形理論中，分形維數(shù)越小，圖像紋理越平滑；分形維數(shù)越大，圖像紋理越粗糙。同時(shí)，由于邊緣不規(guī)則，圖像的拓?fù)渚S數(shù)要小于圖像的分形維數(shù)。因此，分形維數(shù)不是整數(shù)而是分?jǐn)?shù)，可以詳細(xì)地描述事物的“不規(guī)則程度”［4］。分形維數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)在δ尺度下，當(dāng)δ→0時(shí)，測量平面曲線F的分形維數(shù)P具有以下規(guī)律：

忽略小于 δ 尺度的不規(guī)則邊緣，對式（1）兩邊同時(shí)進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算得

1.2　常用分形維

（1）盒維數(shù)。盒維數(shù)是分形維數(shù)最簡單的表示形式，也叫熵維、度量維和信息維［5］。盒維數(shù)的定義為：假一個(gè)有界集合，在歐幾里得距離下，將圖形劃分為若干個(gè)大小和形態(tài)都相同的小圖形，每個(gè)小圖形的線度都是原圖形的r倍，通過邊長為1/2r的盒子緊密包含A，那么集合A的盒維數(shù)為

其中Nr（A）為包含集合A所需的最少盒子數(shù)。盒維數(shù)計(jì)算流程如圖1所示。

圖1　盒維數(shù)計(jì)算流程圖

1.3　圖像分形維數(shù)的計(jì)算

設(shè)帶有邊緣特征的紋理圖像Q大小為M×M，由于圖像邊緣具有不規(guī)則性，可以將紋理圖像Q理解為三維空間中的曲面。令x，y代表圖像Q的平面區(qū)間，圖像的二維灰度值則用z軸表示，將Q分割為若干個(gè)n×n大小的子塊（M/2≥n＞1），并把這些網(wǎng)格塊理解為 n×n個(gè)盒子。假設(shè)圖像的邊緣灰度在第（i，j）個(gè)網(wǎng)格中的最大值和最小值不在同一個(gè)盒子，而是在第k和第l個(gè)盒子中，那么令r=n/M，則完全覆蓋第（i，j）個(gè)網(wǎng)格需要的盒子數(shù)為

覆蓋整個(gè)紋理圖像Q所需要的盒子數(shù)為

使用最小二乘法求解式（7），可得出分形維數(shù)

2　圖像邊緣檢測

圖像的結(jié)構(gòu)不規(guī)則及突變繪出了圖像的輪廓，輪廓是進(jìn)行圖像分類的重要依據(jù)［6］。輪廓可以定義為局部灰度值發(fā)生變化，即兩個(gè)具有不同灰度值的均勻圖像的邊界［7］。邊緣提取就是將圖像灰度值變化大的區(qū)域提取出來。經(jīng)過邊緣提取后的圖像，數(shù)據(jù)量大大減少，且保留了圖像的特征域和有價(jià)值的信息［8］。邊緣描述通常包括以下幾個(gè)特征：邊緣強(qiáng)度、邊緣方向和邊緣位置［9］。

2.1　傳統(tǒng)的邊緣檢測算法

（1）Roberts邊緣檢測算法

這種方法是利用局部差分算子尋找邊緣的算子，采用對角線方向相鄰的兩像素之差來計(jì)算［10］。假設(shè)圖像 Q 在（i，j）點(diǎn)的像素值為 f（i，j），對圖像 Q 進(jìn)行二維灰度值處理后，（i，j）點(diǎn)的像素值為

選取適當(dāng)?shù)拈撝甸T限 T，若 R（i，j）≤T，則 R（i，j）屬于圖像部分；若 R（i，j）＞T，則 R（i，j）為圖像的邊緣部分［11］。Roberts邊緣檢測算法雖然定位精度高，但抗噪能力比較弱，且閾值門限T的選取也需要大量的計(jì)算［12］。

（2）基于小波的邊緣檢測

小波理論取自短時(shí)傅立葉變換局部化的思想，具體做法是在基于短時(shí)傅立葉平移法和伸縮法的前提下，提供一個(gè)隨頻率改變的“時(shí)間-頻率”窗口，即克服了傅里葉變換窗口大小不隨頻率變化的缺點(diǎn)［13］。假設(shè)函數(shù)具有以下特征：

2.2　基于分形理論的邊緣特征提取

提取過程是：在傳統(tǒng)邊緣特征提取算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)分形幾何中的壓縮映射定理，利用局部迭代函數(shù)的收斂性，構(gòu)造一個(gè)迭代函數(shù)集［14］，通過對函數(shù)集的計(jì)算得出邊緣特征。由于可以將圖像邊緣近似地理解為三維空間中的曲面，利用迭代函數(shù)集就能夠?qū)⒁环暾膱D像分割成若干個(gè)分形結(jié)構(gòu)。

利用分形幾何中的壓縮映射定理可得到邊緣信息，這樣雖然可以根據(jù)局部迭代函數(shù)的收斂性將邊緣數(shù)據(jù)收斂在一起，但在映射變換中，因壓縮因子也具有平滑效果，可使邊緣部分模糊，而很難找到一個(gè)閾值函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的邊緣確認(rèn)，導(dǎo)致特征提取的準(zhǔn)確性不高［15］。為此，可以先找到一個(gè)最佳匹配父塊，再利用最小二乘法將測量子塊與父塊進(jìn)行匹配，得到邊緣圖像的失真度。失真度越小邊緣子塊特征越模糊；反之，邊緣子塊的圖像特征越明顯?；诜中卫碚摰倪吘壧卣魈崛∷惴鞒倘缦拢?/p>

1）提取Lena圖像，設(shè)大小為M×N。

2）將Lena圖像均勻地分為若干個(gè)R子塊，每個(gè)子塊的大小為 2j×2i（i≤M，j≤N），且各個(gè)子塊沒有重疊。

3）在Lena圖像中尋找父塊，使每個(gè)R子塊都有與之對應(yīng)的父塊D，將父塊D進(jìn)行壓縮映射（包括對父塊D進(jìn)行鄰域平均、空間二維變換和灰度變換），通過最小二乘法求出與每一個(gè)子塊的平方誤差最小值d。

4）通過對分形維數(shù)的計(jì)算選取合適的閾值函數(shù)T。

5）比較每一個(gè)d與T的大小，得出子塊與父塊的匹配度。如果d＜T，說明子塊與父塊的匹配度符合要求，則停止搜索，進(jìn)行下一子塊與父塊的匹配搜索；如果d＞T，說明R子塊與父塊不匹配，則繼續(xù)搜索并保存R子塊的地址信息；如果d=T，則需要根據(jù)情況做進(jìn)一步分析。

6）將與最佳匹配父塊D不匹配的子塊收集為測度集合，通過零交叉法進(jìn)一步匹配合適的父塊，提取邊緣信息，最終得到邊緣特征。

3　實(shí)驗(yàn)與仿真

利用基于分形理論的圖像邊緣特征算法，通過MATLAB軟件對Lena圖像進(jìn)行邊緣提取，同時(shí)比較其他幾種邊緣提取算法的效果，結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出：Roberts邊緣檢測算法邊緣定位不太準(zhǔn)確，提取的邊緣輪廓相對較粗且和圖像信息有較大重合，但是對噪聲點(diǎn)圖像提取效果較好；基于小波的邊緣提取算法邊緣提取較為清晰，但是小波基的計(jì)算較為麻煩；基于分形理論的邊緣特征提取對Lena圖像邊緣的提取較為準(zhǔn)確。

為了驗(yàn)證算法的抗噪性能，對Lena圖像添加不同程度的隨機(jī)噪聲（隨機(jī)噪聲系數(shù)分別為0.2、0.3、0.4），分別采用基于分形理論和傳統(tǒng)的Roberts邊緣檢測、小波檢測算法對加噪圖像進(jìn)行邊緣檢測。結(jié)果如表1所示。

由表1可知：1）隨著隨機(jī)噪聲系數(shù)的增加，邊緣特征提取的錯(cuò)檢率在不斷增大，而漏檢率沒有發(fā)生改變，這說明隨機(jī)噪聲對各種算法的漏檢率影響不大；2）在隨機(jī)噪聲存在的情況下，本文算法錯(cuò)檢率明顯小于其他算法，具有一定的魯棒性。

圖2　Lena圖像邊緣提取效果對比

表1　不同算法對加噪圖像邊緣檢測結(jié)果

4　結(jié)束語

我們在傳統(tǒng)圖像邊緣提取算法的基礎(chǔ)上，利用分形檢測對噪聲不敏感的特點(diǎn)，對傳統(tǒng)邊緣提取算法進(jìn)行改進(jìn)，通過實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性和抗噪性相比傳統(tǒng)算法有了極大提高。不過，基于分形理論的邊緣提取算法過于依賴閾值T的選取，而閾值T決定著子塊與最佳匹配父塊的匹配程度，也就是邊緣提取的準(zhǔn)確性，因此我們下一步要做的研究是從全局和局部兩個(gè)方向描述邊緣圖像的分形維數(shù)，將對R子塊與最佳匹配父塊D不匹配的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行局部匹配，從而減少計(jì)算時(shí)間，得到更精確的圖像邊緣分割效果。