文/連州市連州中學(xué)　陳偉堅(jiān)

一、背景呈現(xiàn)

2015年6月7日下午，在湖北省高考文科數(shù)學(xué)卷上，考題第20題是以鱉臑這一幾何體為背景的立體幾何問(wèn)題命題?？碱}中出現(xiàn)了 “鱉臑 （biē nào）”“陽(yáng)馬”兩個(gè)名詞，涉及到了 《九章算術(shù)·商功》里的知識(shí)。

二、陽(yáng)馬、鱉臑

1.何為 “陽(yáng)馬、鱉臑”

《九章算術(shù)·商功》：“陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也”，今稱為劉徽原理。劉徽注 《九章算術(shù)》關(guān)于體積問(wèn)題的論述已經(jīng)接觸到現(xiàn)代體積理論的核心問(wèn)題，指出四面體體積的解決是多面體體積理論的關(guān)鍵，而用有限分割和棋驗(yàn)法無(wú)法解決其體積。為了解決這個(gè)問(wèn)題，他提出了一個(gè)重要原理：斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。

2.陽(yáng)馬、鱉臑的幾何教學(xué)闡釋

陽(yáng)馬和鱉臑是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱為塹堵。

圖1

再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)。以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬。余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑。

圖2

三、教材溯源，基于鱉臑的模型

人民教育出版社 《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2》中 《第二章 點(diǎn)、線 、面之間的位置關(guān)系》的2.3.2“平面與平面垂直的判定”里 ，教材在例題3中就給出了以鱉臑為載體的幾何命題的證明問(wèn)題 （第 69頁(yè)）：

如圖3，AB為⊙O的直徑，⊙O所在平面為α，PA⊥α于A，C為⊙O上異于A，B的一點(diǎn)。

求證：平面PAC⊥平面PBC。

緊接著為讓同學(xué)們更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一特殊幾何體，教材又借助一個(gè)探究，給同學(xué)們介紹了鱉臑幾何體，并提出探究思考：

圖3

如圖4，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD,你發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直？為什么？仔細(xì)觀察，我們可以從圖4中發(fā)現(xiàn)并證明以下現(xiàn)象：

1.平面ABC⊥平面BCD

2.平面ABD⊥平面BCD

3.平面ABC⊥平面ACD

4.平面ABD⊥平面ACD

圖4

該探究借助于鱉臑這一幾何體中豐富的垂直關(guān)系，讓學(xué)生熟悉垂直中的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用。

接著在教材73頁(yè)習(xí)題2.3A組第3題就設(shè)計(jì)了一道有關(guān)鱉臑的習(xí)題：

如圖 5，在三棱錐 V－ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，試判斷平面VBA與平面VBC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

圖5

由前面可知，實(shí)際上三棱錐V－ABC就是一個(gè)鱉臑，△VBC，△ABC都是直角三角形，所以BC⊥平面VBA。故平面VBA與平面VBC

教材這樣的編排，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)理解、掌握、運(yùn)用。

鱉臑幾何體覆蓋了立體幾何中點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系，以及各種空間角的計(jì)算，又突出了 “垂直”這個(gè)橫貫立體幾何知識(shí)的 “紅線”，因此，鱉臑幾何體是探求空間中線線、線面、面面垂直關(guān)系的十分重要的基本圖形，也是研究棱錐、棱臺(tái)的基本模型。

在教材中注重挖掘各種信息，并加以提高運(yùn)用也是高考備考重要一個(gè)環(huán)節(jié)。我們要吃透教材，尤其是對(duì)有關(guān)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的知識(shí)，讓學(xué)生真切體會(huì)中華民族的偉大，中華文化的偉大。