劉春 安源 李欣

摘 要：針對傳統(tǒng)Garrote閾值函數(shù)采用固定閾值收縮高頻細(xì)節(jié)系數(shù)，并對高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)一步收縮方面缺乏統(tǒng)一有效手段的問題，本文提出了一種基于傳統(tǒng)Garrote閾值法的改進(jìn)去噪方法。該改進(jìn)方法既能兼顧各尺度下的不同閾值，又能進(jìn)一步收縮高頻細(xì)節(jié)系數(shù)，并且易于實(shí)現(xiàn)、計算簡單。在高斯白噪聲去噪方面，去噪后的圖像在均方差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）上，均優(yōu)于傳統(tǒng)Garrote閾值法。

關(guān)鍵詞：小波閾值去噪；閾值函數(shù)；均方差；峰值信噪比

中圖分類號：TP751.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2018）04-0001-05

Abstract：Against the traditional Garrote threshold function which used fixed threshold to shrink high frequency detail coefficients，and which had the problem which lacked unified and effective method to shrink high frequency detail coefficients further，this paper proposed an improved de-nosing method based on traditional Garrote threshold method. This improved method can take into account the different thresholds at different scales，and can shrink high frequency detail coefficients further.And this method implemented easily，calculated simply. For the Gaussian white noise de-noising，the de-nosing image which used this paper’s method exceeded the traditional Garrote threshold at the in mean square（MSE）and peak signal to noise ratio（PSNR）.

Keywords：wavelet threshold de-nosing；hreshold function；mean square error；peak signal

0 引 言

受圖像采集設(shè)備本身和傳輸過程中的干擾因素影響，獲取的數(shù)字圖像往往存在噪聲。為了盡量降低噪聲，獲取較好的圖像邊緣特征信息，需要進(jìn)行圖像去噪處理?；贒onoho[1，2，3]硬、軟閾值思想的小波閾值收縮法，它具有易于實(shí)現(xiàn)且計算量小等優(yōu)點(diǎn)，是目前數(shù)字圖像去噪處理研究中應(yīng)用最為廣泛的去噪方法。本文選取目前較為主流的幾種去噪處理方法進(jìn)行研究，并歸納其各自的優(yōu)缺點(diǎn)。其中，Donoho硬閾值法的優(yōu)點(diǎn)是去噪后的圖像能較好地保留邊緣特征信息，缺點(diǎn)是重構(gòu)圖像時，在間斷點(diǎn)處易產(chǎn)生振蕩、Pseudo-Gibbs[4]效應(yīng)等視覺失真。Donoho軟閾值法的優(yōu)點(diǎn)是去噪后圖像較為平滑，缺點(diǎn)是估算的高頻系數(shù)與原始高頻系數(shù)存在恒定誤差，去噪后圖像邊緣特征信息模糊。軟、硬折衷閾值法[5]的優(yōu)點(diǎn)是能有效解決軟閾值法存在的恒定偏差問題，缺點(diǎn)是閾值函數(shù)不連續(xù)，需估計兩個閾值，計算量大，實(shí)現(xiàn)較困難。半閾值法[6]的優(yōu)點(diǎn)是能較好地兼顧硬軟閾值法優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是閾值函數(shù)不連續(xù)，需估計兩個閾值，計算量大，實(shí)現(xiàn)較困難。Garrote閾值法[7]的優(yōu)點(diǎn)是能較好地兼顧硬軟閾值法優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是忽略了噪聲在小波變換下隨著尺度的增大而減小的特性。

1 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪的基本原理通常是對數(shù)字圖像進(jìn)行多尺度小波變換，將得到的各尺度的細(xì)節(jié)系數(shù)劃分成低頻細(xì)節(jié)系數(shù)和高頻細(xì)節(jié)系數(shù)。通常使低頻細(xì)節(jié)系數(shù)保持不變，選取合適的閾值對高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行過濾處理，使高頻細(xì)節(jié)系數(shù)收縮，再經(jīng)過小波重構(gòu)得到去噪后的圖像。一般需要3～4次小波變換和重構(gòu)才能將絕大部分噪聲去除。

2 Garrote閾值法

2.1 閾值函數(shù)

Garrote閾值函數(shù)如公式（1）所示。

Wi，j表示小波變換得到的細(xì)節(jié)系數(shù)，表示估計細(xì)節(jié)系數(shù)。Garrote閾值法在時，對每個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)減去來收縮。這樣能較好地考慮到每個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)的特征，在保持圖像平滑的同時，也能較好地保留邊緣特征信息。

2.2 噪聲估計

Garrote閾值法采用傳統(tǒng)的對圖像噪聲的固定估計法，即噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差為σ=MAD/0.6745[8]。用此公式來估算所有尺度下的σ，其中MAD表示一尺度上的小波系數(shù)的中值的絕對值。

2.3 閾值選取

Garrote閾值法在選取閾值時，采用來估計所有尺度下的閾值。N為圖像的大小，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差。

2.4 存在的主要問題

2.4.1 對噪聲估計不靈活

Garrote閾值法通常采用σ=MAD/0.6745來估計所有尺度下的噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差。這樣做雖然減少了計算量，但忽略了各尺度小波系數(shù)中值模的不同而引起的噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差的差異。使得各尺度下噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差不能被客觀地估計，造成估計得到的噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差存在較大誤差。

2.4.2 閾值選取固定

Garrote閾值法選取閾值采用。使得選取的閾值λ用一尺度代替了其他尺度的閾值，忽略了各尺度下不同閾值的差異性，造成收縮高頻細(xì)節(jié)系數(shù)時產(chǎn)生較大的誤差。

2.4.3 缺少對高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)一步有效收縮的統(tǒng)一計算方法

Garrote閾值法在對的高頻細(xì)節(jié)系數(shù)收縮時，使用來收縮。λ為采用一尺度的閾值，而非各尺度實(shí)際客觀的閾值，因此在各尺度去噪方面存在較大誤差。目前在對的Wi，j進(jìn)一步收縮方面缺乏統(tǒng)一有效的方法。

3 本文提出的改進(jìn)方法

3.1 閾值函數(shù)選取思想

在充分研究Garrote閾值法優(yōu)缺點(diǎn)及存在問題的基礎(chǔ)上，本文采用雙曲線逼近硬閾值曲線，并運(yùn)用調(diào)節(jié)因子的思想進(jìn)一步收縮高頻細(xì)節(jié)系數(shù)。采用如圖1所示的思想。

令圖1中的為2a，[-λ，λ]為2b，軸x表示每尺度小波變換后的細(xì)節(jié)系數(shù)，軸表示每個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)的初步閾值。每尺度高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)一步收縮時，其收縮量可先用公式（2）所示雙曲線表示：

其中：y表示每尺度高頻細(xì)節(jié)系數(shù)的初步收縮量，Wi，j 表示每尺度小波變換后的細(xì)節(jié)系數(shù)，i，j表示每尺度小波變換后得到的相應(yīng)的細(xì)節(jié)系數(shù)的坐標(biāo)。，表示噪聲主要集中的區(qū)域，[-λ，λ]表示每尺度小波變換后的統(tǒng)一閾值區(qū)間。對|y|再用調(diào)節(jié)因子來進(jìn)一步收縮每個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)，即，其中，S表示小波變換的尺度，α表示調(diào)節(jié)因子（α≥1且α∈N+）。

3.2 閾值函數(shù)選取

3.2.1 閾值函數(shù)

本文對Garrote閾值法去噪改進(jìn)后的閾值函數(shù)如下：

表示每尺度估計小波系數(shù)，Wi，j表示每尺度小波變換后的細(xì)節(jié)系數(shù)，i，j表示每尺度小波變換后得到的相應(yīng)的細(xì)節(jié)系數(shù)的坐標(biāo)。表示噪聲在每尺度細(xì)節(jié)系數(shù)主要集中的區(qū)域，[-λ，λ]表示每尺度噪聲的閾值區(qū)間。s為小波變換的尺度。u為調(diào)節(jié)因子，。n表示小波變換最終的尺度數(shù)。

為更好地考慮到λ2在每尺度小波變換系數(shù)Wi，j 的分布差異。本文采取如下改進(jìn)：乘以來進(jìn)一步收縮λ2在每尺度小波變換系數(shù)Wi，j的分布。加入尺度s和調(diào)節(jié)因子u，是為了更好地考慮每尺度小波變換中每個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)的局部差異，從而更好地收縮每尺度中每一個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)。

本文對每個高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)一步減去（即），進(jìn)一步減少小波估計系數(shù)與原始信號之間的誤差，爭取達(dá)到進(jìn)一步去噪的效果。

3.2.2 閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)分析

以下對本文改進(jìn)的閾值函數(shù)（公式（3））從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行分析：

（1）連續(xù)性

由上述推導(dǎo)可知，本文改進(jìn)的閾值函數(shù)在±λ處連續(xù)。

（2）漸進(jìn)性

（3）偏差性

（4）高階可導(dǎo)性

當(dāng)|Wi，j|≥λ時，改進(jìn)的閾值函數(shù)是高階可導(dǎo)的，利于后續(xù)的數(shù)學(xué)處理。

3.3 噪聲估計

本文在對含高斯白噪聲的圖像估計小波域噪聲時，采用的方法是把圖像做Haar[9]小波變換，對每尺度處理得到的HH高頻系數(shù)子帶內(nèi)的小波系數(shù)模按大小排列；然后取最中間那個系數(shù)模除以0.6745，就得到這一尺度變換時的估計噪聲，即σ=|MAD|/0.6745[dJ-1]其中J≥1，J表示小波變換尺度。這樣可以充分考慮到每尺度小波處理后得到系數(shù)的差異對噪聲的影響，比傳統(tǒng)方式更加靈活有效。

3.4 閾值選取

在整個小波變換去噪過程中，閾值的選取及處理策略是小波閾值消噪的關(guān)鍵[10]。本文中噪聲選用高斯白噪聲，均值μ為0，均方差σ為10。由于高斯白噪聲服從正態(tài)分布，目前閾值選取時采用基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值[11，12]為λ=3σ，為每尺度估計得到的噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差。這樣每尺度都選取閾值，可以較好的地解決傳統(tǒng)Garrote閾值法采用統(tǒng)一尺度下的閾值代替其他尺度的閾值而帶來的誤差偏大問題。置信區(qū)間閾值假設(shè)零均值的正態(tài)分布能量落在[-3σ，3σ]之外的概率為0，所以一般認(rèn)為絕對值大于3σ的系數(shù)是由信號產(chǎn)生的，而絕對值小3σ的系數(shù)是由噪聲引起的。傳統(tǒng)閾值選取時，存在閾值不隨分解尺度變化而改變，造成估計的閾值與實(shí)際每尺度閾值存在偏差的問題。

根據(jù)噪聲的小波系數(shù)隨著尺度的增大而減小的特點(diǎn)和對圖像去噪時逐層尺度的閾值選取也應(yīng)該隨著分解尺度的增加而減少的特點(diǎn)，本文提出一種新的閾值選取方法：

J表示圖像小波變換尺度。此閾值選取方式充分考慮了每尺度的噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差σ和圖像的小波變換尺度J對每尺度閾值的影響，同時使每尺度閾值隨著變換尺度J的增加而減小，并將每尺度小波變換的細(xì)節(jié)系數(shù)用所在尺度的閾值進(jìn)行處理，從而減少由于固定閾值而帶來的偏差。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文采用的實(shí)驗(yàn)圖像來源于數(shù)字圖像處理標(biāo)準(zhǔn)圖像庫。圖像規(guī)格是lena圖像，大小為512×512；camera圖像，大小為256×256；peppers圖像，大小為512×512。這三幅圖像的圖像格式都選用BMP。

本文中噪聲選用高斯白噪聲，均值μ為0，均方差σ為10。本文以下實(shí)驗(yàn)圖像來自各自閾值法進(jìn)行3層Haar小波變換及重構(gòu)處理后的圖像。其中本文的公式（3）閾值函數(shù)中： α取3。

4.1 局部截圖對比

本文選取不同閾值法對圖2到圖4進(jìn)行去噪，選取去噪后lena圖像的局部截圖為代表，如下所示。

由圖5到圖10的比對可以看出：圖7的局部邊緣特征較明顯，但整幅圖像存在異常亮點(diǎn)，使得整幅圖像不平滑；圖8整體較為平滑，但邊緣特征信息較模糊，圖像失真較嚴(yán)重；圖9的視覺效果介于圖7和圖8之間，較好地融合了硬閾值和軟閾值的優(yōu)點(diǎn)，但圖像局部仍有不平滑、邊緣模糊的區(qū)域，仍有去噪改進(jìn)的空間；圖10為本文方法去噪后得到的圖像，可以看到其效果是圖7到圖10中去噪效果最理想的；圖10對圖9中局部不平滑的區(qū)域在保持局部特征邊緣信息不丟失的前提下，進(jìn)一步去噪平滑，使其邊緣特征和對比度更突出，并使其視覺效果更理想，可以看出圖10的視覺效果明顯優(yōu)于圖9。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自相應(yīng)方法得到的圖像，現(xiàn)在比較這些方法的均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）。MSE越小表示圖像的質(zhì)量越好；PSNR越大表示圖像的質(zhì)量越好。

由表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比分析可知：本文方法在均方誤差方面數(shù)值是最小的，同時在峰值信噪比方面數(shù)值是最大的。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以證明本文對Garrote閾值法去噪有一定幅度地改進(jìn)。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以證明本文提出的方法對于改進(jìn)閾值函數(shù)的性能表現(xiàn)較好，在零均值高斯白噪聲去噪方面是有效的和可靠的。

5 結(jié) 論

針對Garrote閾值法對圖像噪聲估計時采用固定法估計引起的噪聲估計誤差偏大和Garrote閾值法對高頻細(xì)節(jié)系數(shù)收縮時的“過扼殺”問題，本文提出改進(jìn)Garrote閾值法的去噪方法。通過對標(biāo)準(zhǔn)圖像庫的不同圖像進(jìn)行去噪的實(shí)驗(yàn)對比和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，可以得出如下結(jié)論：

（1）本文方法較好地解決了Garrote閾值法對圖像噪聲采用固定法估計時的不靈活性及誤差大的缺點(diǎn)，同時較好地解決了Garrote閾值法在對高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)一步收縮時無統(tǒng)一方法可遵循的難題；

（2）較好地融合了硬、軟閾值法的優(yōu)點(diǎn)，同時相比Garrote閾值法，具有較好的圖像質(zhì)量、圖像平滑性和良好的視覺效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] David L. Donoho. Statistical estimation and optimal recovery [J]. The Annals of Statistics，1994，22：238-270.

[2] DONOHO DL. Asymptotic minimax risk for sup-norm loss：solution via optimal recovery [J]. Probability Theory and Related Fields，1994，99（2）：145-170.

[3] DONOHO DL. De-noising by soft-thresholding [J]. Information Theory，IEEE Transactions on，1995，41（3）：613-627.

[4] Ding Y，Selesnick I W. Artifact-free wavelet denoising：non-convex sparse regularization，convex optimization [J]. Signal Processing Letters，IEEE，2015，22（9）：1364-1368.

[5] 郭曉霞，楊慧中.小波去噪中軟硬閾值的一種改良折衷法 [J].智能系統(tǒng)學(xué)報，2008（3）：222-225.

[6] 沙磊，任超.改進(jìn)的Garrote閾值法去噪的研究 [J].工程勘察，2010，38（7）：57-60.

[7] Breiman Leo. Better subset regression using the nonnegative garrote [J]. Technometrics，1995，37（4）：373-384.

[8] DONOHO DL. Johm.tone IM. Ideal～patial adaptation via wavelet shnnkage. Biametnka，1994，81：425-455.

[9] MALLAT SG. A theory for multiresolution signal decomposition：the wavelet representation [J]. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell，1989，11（7）：674-693.

[10] 戚國賓，甘雨，隋立芬，等.利用小波閾值消噪改進(jìn)M-W組合周跳探測性能 [J].測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報，2015，32（1）：22-26+31.

[11] 謝杰成，張大力，徐文立.小波圖象去噪綜述 [J].中國圖象圖形學(xué)報，2002，7（3）：209-217.

[12] 屈中陽，李鴻光.一種改進(jìn)的集合平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解去噪方法 [J].噪聲與振動控制，2014，34（5）：171-176.

作者簡介：劉春，教師，副教授。研究方向：數(shù)據(jù)庫、圖像處理；安源，講師。研究方向：軟件工程、圖像處理；李欣，講師。研究方向：軟件工程、數(shù)據(jù)庫。