◎蘇仕剛

(安徽省肥東第一中學(xué)，安徽　合肥　231600)

由平面幾何知識(shí)可知，直線與圓有三種位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn).判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有：一種是幾何觀點(diǎn)，即通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，若d>r，則相離；若d=r，則相切；若d

淡化方程觀點(diǎn)的方法，這與教材的精神也不符.教材在內(nèi)容的設(shè)置上也體現(xiàn)出要我們認(rèn)真對(duì)待用方程的觀點(diǎn)來(lái)研究這部分相關(guān)內(nèi)容的，如，人教版必修2的137頁(yè)，首先就用這樣的思考：“現(xiàn)在如何用直線的方程與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？”來(lái)引入用方程的觀點(diǎn)來(lái)探究直線與圓之間的位置關(guān)系，也容易讓學(xué)生在回顧第三章已經(jīng)運(yùn)用直線的方程研究了直線之間的位置關(guān)系，以及直線與直線間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單運(yùn)用，很快就過(guò)渡到本節(jié)也可以采用這種方法來(lái)研究直線與圓的位置關(guān)系及其相關(guān)的一些問(wèn)題，從而把這種方法推廣為一種研究直線與曲線之間關(guān)系的通法.此外教材在本節(jié)138頁(yè)的例1給出了兩種解法，首先就給出了從直線與圓的方程出發(fā)，通過(guò)它們的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的情況，來(lái)判斷直線與圓之間的位置關(guān)系，并把這種解法作為該例題的方法一，從而也突出了這種思維方法的重要性，所以我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中理應(yīng)重視它.

也有的觀點(diǎn)認(rèn)為在這里運(yùn)用方程的觀點(diǎn)來(lái)聯(lián)立方程組，有時(shí)方程處理起來(lái)又非常麻煩，浪費(fèi)了教學(xué)時(shí)間，不如用幾何的觀點(diǎn)簡(jiǎn)單快捷，學(xué)生易操作.特別是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)教師們普遍感到平時(shí)教學(xué)的時(shí)間很緊，在這里再來(lái)花時(shí)間強(qiáng)調(diào)乃至拓展強(qiáng)化這種方程的觀點(diǎn)，總覺(jué)得有點(diǎn)不值.這種觀點(diǎn)我認(rèn)為是教學(xué)目光短淺的一種表現(xiàn)，若把它放到整個(gè)教學(xué)體系上去看待本節(jié)知識(shí)，認(rèn)識(shí)這種方程的觀點(diǎn)，在這里花點(diǎn)時(shí)間來(lái)幫助學(xué)生對(duì)這種解題理念的形成，你就會(huì)覺(jué)得很值很有必要了.在解析幾何中，直線與圓的位置關(guān)系是很重要的一個(gè)知識(shí)，不僅可以對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有一個(gè)很好的鍛煉和提升，還將“曲線與方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的統(tǒng)一”的這種重要的解析幾何的數(shù)學(xué)思想傳輸給學(xué)生，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系奠定良好的基礎(chǔ).所以除了講好教材中直接體現(xiàn)這種方程觀點(diǎn)的知識(shí)內(nèi)容外，還應(yīng)引入一些問(wèn)題來(lái)幫助學(xué)生形成這種數(shù)學(xué)思想，并會(huì)用這種思想方法來(lái)獨(dú)立地分析問(wèn)題解決問(wèn)題.

問(wèn)題一已知圓O的方程：x2+y2=9，求過(guò)點(diǎn)A(0，4)所作的圓的弦中點(diǎn)P的軌跡方程？

方法一如圖所示，設(shè)弦MN中點(diǎn)P(x，y)，

?x2+y(y-4)=0?x2+y2-4y=0.

?

以方程?的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在弦中點(diǎn)P的軌跡上嗎？∵A點(diǎn)在圓外，∴過(guò)A點(diǎn)所作的直線與圓O不一定相交，故只能是方程?的部分解為坐標(biāo)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的軌跡.現(xiàn)在過(guò)A點(diǎn)作圓O的切線，切點(diǎn)分別是D，E，并設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，∴直線AD的方程：xx1+yy1=r2=9.

①

②

問(wèn)題二已知直線l：2x+y+4=0，圓C1：x2+y2-4y+2x+1=0.當(dāng)l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，求過(guò)A，B的圓C2的面積最小時(shí)圓C2的方程.

分析以|AB|為直徑的圓的面積最小.

方法二以AB為直徑的圓方程

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

?x2+y2-(x1+x2)x+x1x2-(y1+y2)y+y1y2=0.

?

其中y1y2=4x1x2+8(x1+x2)+16，

y1+y2=-2(x1+x2)-8.

代入方程?可得圓C2的方程：

方法三設(shè)x2+y2-4y+2x+1+λ(2x+y+4)=0

∵C2在直線l上，

方法四∵AB是圓C1的弦，且C2是AB的中點(diǎn)，

∴直線C1C2垂直平分AB，

通過(guò)上述問(wèn)題的引入與講解，不僅能引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)要有“方程觀點(diǎn)”的意識(shí)，還能讓學(xué)生初步形成用代數(shù)的方法解決解析幾何問(wèn)題的能力，也為將來(lái)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)選修1-1、選修2-1中的“圓錐曲線與方程”打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

所謂“方程的觀點(diǎn)”就是解析幾何中坐標(biāo)法這一重要數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn).我們?cè)谄矫娼馕鰩缀纬醪降慕虒W(xué)中，一定要讓學(xué)生真正地經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將所研究的幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，即建立曲線與方程的等價(jià)性.再通過(guò)處理代數(shù)問(wèn)題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問(wèn)題.這種教學(xué)思想理念應(yīng)貫穿平面解析幾何的教學(xué)始終，一定不能偏離這個(gè)主線，否則對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力(數(shù)形結(jié)合的思想方法)的形成就會(huì)產(chǎn)生很不利的影響.