曹 雷，康 凱

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 成都 611731)

針對(duì)各向異性媒質(zhì)的光或者電磁散射特性研究一直都是物理界和工程界的研究熱點(diǎn)，因?yàn)楦飨虍愋悦劫|(zhì)在光學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)以及納米科學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛而有前景的應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]提出了均勻球形媒質(zhì)對(duì)于平面波的散射理論，稱之為Mie散射理論。隨后許多研究者在Mie散射理論基礎(chǔ)上對(duì)各向同性多層非均勻球體的電磁散射特性進(jìn)行了研究[2-3]。除了對(duì)各向同性媒質(zhì)散射特性的研究，研究者還根據(jù)Lorenz-Mie散射理論，應(yīng)用不同的方法給出了各向異性媒質(zhì)中電磁場(chǎng)的解析解，如：并矢格林函數(shù)結(jié)合變化的球矢量波函數(shù)的方法[4]，應(yīng)用球矢量波函數(shù)結(jié)合傅里葉變換的方法[5-6]，T-矩陣方法[7-8]。近幾年，學(xué)者們也提出了一些新的方法用于對(duì)各向異性媒質(zhì)電磁特性的研究，如：使用頻域鞍點(diǎn)估算法對(duì)外加單軸電各向異性涂層電大尺寸復(fù)雜目標(biāo)散射場(chǎng)的計(jì)算[9]，非均勻各向異性目標(biāo)電磁散射的Nystom解[10]，各向異性媒質(zhì)的光學(xué)定理[11]，尺度變換方法[12]，應(yīng)用狀態(tài)空間法對(duì)雙軸雙各向異性媒質(zhì)電磁特性的研究[13]。應(yīng)用球矢量波函數(shù)結(jié)合傅里葉變換的方法對(duì)不同結(jié)構(gòu)的球形等離子體的電磁散射特性進(jìn)行了研究，包括：等離子各向異性球體[14]，等離子各向異性球殼[15]以及等離子各向異性非均勻多層球殼[16]。文獻(xiàn)[17]根據(jù)球矢量波函數(shù)的完備性與正交性給出了光各向異性磁性球體中電磁場(chǎng)的解析解，其方法避開了冗長(zhǎng)而復(fù)雜的積分運(yùn)算，在數(shù)值精度上有較大的優(yōu)勢(shì)。隨后文獻(xiàn)[18]將該方法應(yīng)用在旋電各向異性球體的研究中，給出了完整的理論公式和數(shù)值結(jié)果。

本文將文獻(xiàn)[17]的方法進(jìn)行推廣并用于研究徑向非均勻多層旋磁介質(zhì)球的電磁散射特性。具體地，根據(jù)Lorenz-Mie散射理論和球矢量波函數(shù)理論，多層球球心區(qū)域的電磁場(chǎng)被展開為第一類球矢量波函數(shù)的線性疊加，球殼區(qū)域電磁場(chǎng)展開為由第一類和第三類矢量波函數(shù)的線性疊加。而入射場(chǎng)和散射場(chǎng)分別由第一類和第三類球矢量波函數(shù)進(jìn)行展開。最后在不連續(xù)表面匹配邊界條件得到各個(gè)區(qū)域的展開系數(shù)以及散射系數(shù)。隨后，計(jì)算了非均勻旋磁球體的雙站雷達(dá)散射截面，并與有限元法得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果吻合很好，驗(yàn)證了公式推導(dǎo)的正確性和有效性。最后給出了幾個(gè)新的算例，用于分析旋磁各向異性多層球體的物理特性以及在減弱和加強(qiáng)雷達(dá)散射截面中可能的應(yīng)用前景。

1 基本模型

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，旋磁介質(zhì)球中的電磁場(chǎng)在球坐標(biāo)系下可以表達(dá)為具有不同特征值kl的球矢量波函數(shù)的線性疊加，具體的H和E的表達(dá)式為：

將文獻(xiàn)[17]用于研究徑向多層結(jié)構(gòu)的旋磁各向異性球體。圖1為徑向多層非均勻球形結(jié)構(gòu)的平面圖。層數(shù)N可以取任意值。散射體置于自由空間中，球心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。區(qū)域0為自用空間，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為0ε和0μ。而對(duì)于區(qū)域p，其電磁參數(shù)分別為εps和其中表達(dá)式和完全一致，除了用于標(biāo)記區(qū)域的下標(biāo)

2 多層旋磁球內(nèi)部場(chǎng)展開式

圖1 多層球形結(jié)構(gòu)的幾何模型

3 散射場(chǎng)和入射場(chǎng)的展開

圖2 平面波照射到球體的球坐標(biāo)系示意圖

圖2 為平面波照射到球體的球坐標(biāo)系示意圖。自由空間中的散射場(chǎng)與Mie理論中的表達(dá)式相同[19-20]，根據(jù)矢量波函數(shù)理論，可將散射場(chǎng)展開為：

式中，展開系數(shù)pmn和qmn可以在文獻(xiàn)[17]中找到；雙求和符號(hào)中的下標(biāo)n的取值為1～nc(截?cái)喑?shù))；對(duì)應(yīng)每個(gè)n，m的取值為-n～n。

4 匹配邊界條件

入射場(chǎng)、散射場(chǎng)、以及球體內(nèi)部各個(gè)區(qū)域場(chǎng)都已展開為球矢量波函數(shù)的疊加形式。下面通過(guò)匹配邊界條件來(lái)確定各個(gè)內(nèi)場(chǎng)區(qū)域的展開系數(shù)以及散射系數(shù)。在不連續(xù)表面根據(jù)電磁場(chǎng)切向連續(xù)性，可以得到：

將電磁場(chǎng)展開式(4)帶入式(8)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，并考慮等式兩邊對(duì)應(yīng)分量相等，可以得到以下矩陣遞推公式：

T中的矩陣元素具體為：

將式(13)代入式(14)，并求解線性方程組，可以得到散射系數(shù)以及球心區(qū)域展開系數(shù)Nα。根據(jù)遞推關(guān)系式(10)，當(dāng)求得展開系數(shù)Nα后，可以采用由內(nèi)向外遞推的方式以獲得區(qū)域N-1到區(qū)域1的場(chǎng)展開系數(shù)。并且，根據(jù)已經(jīng)求得的散射系數(shù)amn、可以對(duì)雷達(dá)散射截面進(jìn)行計(jì)算，其定義為[21]：

當(dāng)r→∞時(shí)，球矢量波函數(shù)在遠(yuǎn)場(chǎng)的近似表達(dá)式可以在文獻(xiàn)[22]中找到。

5 數(shù)值結(jié)果

圖3 2層球形結(jié)構(gòu)的歸一化雷達(dá)散射截面數(shù)值結(jié)果與有限元方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖

通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)旋磁非均勻介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面進(jìn)行分析和討論。根據(jù)已經(jīng)得到的公式，可以計(jì)算空間任意點(diǎn)的場(chǎng)值。對(duì)于入射場(chǎng)，假設(shè)其幅度為1，極化方向沿著x軸，傳播方向?yàn)閦軸正方向，即球體結(jié)構(gòu)的大小由電尺寸所描述介電常數(shù)統(tǒng)一假定為其中由Lorenz-Mie理論知道，線性展開式(3)和式(4)是收斂級(jí)數(shù)，因此可以對(duì)展開式進(jìn)行截?cái)嘁员阌趯?shí)際的計(jì)算。本文的截?cái)喑?shù)為

實(shí)際計(jì)算中，遞推式中不同區(qū)域的矩陣T需要有相同的維度，那么各個(gè)區(qū)域中電磁場(chǎng)展開式的截?cái)嘞禂?shù)nc應(yīng)該具有相同的值，為了獲得足夠的精度，本文采用最大電尺寸x1計(jì)算截?cái)喑?shù)nc。

為了驗(yàn)證本文公式的正確性和有效性，首先將2層旋電介質(zhì)球雷達(dá)散射截面的數(shù)值結(jié)果同有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，觀察到雷達(dá)散射截面在E面和H面都具有很好的吻合，如圖3所示。其中電尺寸為：x1=2π,x2=1.5π；材料參數(shù)為這在一定程度上證明了公式的正確性和數(shù)值計(jì)算的有效性。下面給出3個(gè)新的算例研究該散射結(jié)構(gòu)的遠(yuǎn)場(chǎng)特性，并分析材料參數(shù)rμ和κμ的改變對(duì)雷達(dá)散射截面的影響。

圖4 3層單軸各向異性球體在E面和H面的雙站雷達(dá)散射截面

圖4給出了3層單軸各向異性磁球在E面和H面的雙站雷達(dá)散射截面圖，電尺寸和材料參數(shù)為：其中根據(jù)不同的畫出了3條雷達(dá)散射截面曲線圖。由圖4可以看出，當(dāng)?shù)闹祻?0μ增加到90μ時(shí)，E面的諧振角往左有明顯的偏移，而在H面，諧振角往右有著明顯偏移。

圖5給出了3層旋磁各向異性球在E面和H面的雷達(dá)散射截面圖，該散射結(jié)構(gòu)的電尺寸和圖4相同，對(duì)于每一層的電磁參數(shù)，選取了4組參數(shù)，變化范圍為從圖5可以看出隨著的增加，E面和H面的雷達(dá)散射截面有著不規(guī)則的變化。因此可以預(yù)見通過(guò)改變的值來(lái)對(duì)散射場(chǎng)進(jìn)行控制有困難。

圖6給出了一個(gè)中等電尺寸的5層無(wú)耗旋磁媒質(zhì)球在E面和H面的雷達(dá)散射截面，材料參數(shù)為表1所示。從圖6可以看出，當(dāng)電尺寸變大以后，雷達(dá)散射截面曲線變得十分振蕩，這與圖4和圖5有所不同。同時(shí)也可以看出當(dāng)入射波長(zhǎng)和散射體大小相當(dāng)時(shí)，雷達(dá)散射截面圖的分布特性。

圖5 3層旋磁各向異性球體在E面和H面的雙站雷達(dá)散射截面

表1 5層無(wú)耗旋磁各向異性球體的電尺寸以及材料參數(shù)

圖6 5層無(wú)耗旋磁各向異性球體在E面和H面的雙站雷達(dá)散射截面

6 結(jié)束語(yǔ)

本論文以T矩陣方法為基礎(chǔ)，得到了旋磁各向異性非均勻球體散射特性的新的解析解。根據(jù) Lorenz-Mie 散射理論，入射場(chǎng)、散射場(chǎng)以及球體內(nèi)部各區(qū)域的場(chǎng)被展開為球矢量波函數(shù)的線性疊加形式。通過(guò)在非連續(xù)表面匹配邊界條件得到各區(qū)域場(chǎng)的展開系數(shù)以及散射系數(shù)。通過(guò)與有限元法計(jì)算得到的雷達(dá)散射截面數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，很好地驗(yàn)證了本文公式的正確性和有效性。最后通過(guò)幾個(gè)算例對(duì)該模型的電磁散射特性進(jìn)行了詳細(xì)分析和討論。對(duì)于旋磁材料，利用球形多層非均勻結(jié)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)雷達(dá)散射截面的增強(qiáng)或者減弱的優(yōu)化設(shè)計(jì)。