劉文飛， 劉志明， 薛 海， 賈裕祥

(1. 北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院， 北京 100044； 2. 包頭北方創(chuàng)業(yè)有限責(zé)任公司， 內(nèi)蒙古 包頭 014032)

概率疲勞壽命曲線(以下簡稱P-S-N曲線)是進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞可靠性設(shè)計與評定的基礎(chǔ)。利用疲勞試驗數(shù)據(jù)擬合高精度的P-S-N曲線是疲勞研究者與統(tǒng)計學(xué)者長期關(guān)注的重點之一[1]。根據(jù)抽樣理論，試驗樣本量越大，試驗評估準(zhǔn)確度就越高，越能夠真實地反映產(chǎn)品質(zhì)量水平[2]。但由于疲勞試驗成本高且耗時長等條件的限制，一般情況下很少能滿足抽樣理論中大樣本數(shù)據(jù)的要求，尤其對于尺寸較大的結(jié)構(gòu)件或比較貴重的零部件只能基于小子樣或極小子樣進(jìn)行疲勞壽命統(tǒng)計推斷。目前國內(nèi)外學(xué)者對基于小子樣的結(jié)構(gòu)疲勞壽命統(tǒng)計推斷進(jìn)行了相關(guān)研究，如在艦船、航空、鐵路等領(lǐng)域基于小子樣疲勞試驗數(shù)據(jù)采用貝葉斯方法進(jìn)行疲勞壽命評估[3-5]，擬合S-N曲線時常采用最小二乘法、極大似然法、異方差理論等方法與理論[6-7]，也有采用現(xiàn)代智能算法與其他算法相結(jié)合的方式對小子樣進(jìn)行壽命評估[8-9]。此外，國家標(biāo)準(zhǔn)中金屬材料疲勞試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計方案與分析方法也給出了小子樣疲勞試驗數(shù)據(jù)的處理方法[10]。但上述研究尚未提及樣本的疲勞壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平變化規(guī)律不惟一時的處理方法，而此現(xiàn)象在零部件疲勞試驗中時有發(fā)生。

本文基于中壽命區(qū)對數(shù)疲勞壽命分布規(guī)律與壽命等效原理，針對小子樣的疲勞壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平整體呈近似線性關(guān)系，但在部分應(yīng)力水平下不呈線性關(guān)系時，提出了樣本信息重構(gòu)方法，有效降低了部分應(yīng)力水平下小樣本與異常樣本對疲勞壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差的影響，確保樣本疲勞壽命等效轉(zhuǎn)換的精確度，并通過與壽命等效原理相結(jié)合，最大限度地應(yīng)用了疲勞試驗信息，形成了基于樣本信息重構(gòu)并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法與基于樣本信息重構(gòu)的最小二乘法，通過應(yīng)用疲勞試驗數(shù)據(jù)對本文提出的兩種方法與傳統(tǒng)的極大似然法與最小二乘法進(jìn)行對比分析，最終確定了基于小子樣試驗數(shù)據(jù)擬合高精度P-S-N曲線的方法。

1 基于樣本信息重構(gòu)的壽命等效原理

1.1 S-N曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式

S-N曲線代表了材料的疲勞性能，通常用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述其規(guī)律。對于金屬材料，在中壽命區(qū)的S-N曲線可用冪函數(shù)形式表示，即

SmN=C

( 1 )

式中：S為應(yīng)力水平；N為在S應(yīng)力水平下材料的壽命；m、C是與材料、應(yīng)力比、加載方式等有關(guān)的參數(shù)，由試驗確定。

對式( 1 )兩端分別取對數(shù)，則有

lgN=lgC-mlgS

( 2 )

令

X=lgSY=lgNA=lgCB=-m

( 3 )

可得

Y=A+BX

( 4 )

由式( 4 )可知，疲勞壽命N與應(yīng)力水平S在對數(shù)坐標(biāo)系中呈線性關(guān)系。

1.2 基本假設(shè)

大量的疲勞試驗已證實，在中壽命區(qū)對數(shù)疲勞壽命一般遵循正態(tài)分布[7]。假設(shè)試驗有n個應(yīng)力水平，試樣總數(shù)為m，第i個應(yīng)力水平下的試樣數(shù)為mi，第i個應(yīng)力水平下的第j個試樣的疲勞壽命為Yij，結(jié)合式( 3 )，其概率密度函數(shù)為

( 5 )

式中：i=1,2,…,n；j=1,2,…,mi；μi與σi分別為試樣在第i個應(yīng)力水平下的對數(shù)疲勞壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差。

其概率分布函數(shù)為

( 6 )

1.3 疲勞壽命等效原理

由式( 1 )可知，當(dāng)加載方式、應(yīng)力比、載荷形式，以及試驗方法等確定后，在指定應(yīng)力水平下，試樣的壽命受材料自身性能與試樣加工質(zhì)量等因素的影響。在試驗過程中，雖然無法實現(xiàn)對同一試樣在不同應(yīng)力水平下進(jìn)行疲勞試驗，但是由“壽命概率分位點一致性原理”[11]可知，在中壽命區(qū)范圍內(nèi)，同一試樣在不同應(yīng)力水平下其壽命具有相同的概率分布，即同一試樣在不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命概率分布F(Yij)恒定，結(jié)合式( 6 )可得

( 7 )

式中:T為常數(shù)。

由式( 7 )可知，根據(jù)各應(yīng)力水平下的對數(shù)壽命的均值與方差，可實現(xiàn)同一樣本的疲勞壽命可以在不同應(yīng)力水平下相互等效，此方法可根據(jù)現(xiàn)有試驗樣本，增加不同應(yīng)力水平下的樣本數(shù)量，最大限度地利用了試驗全部樣本信息，特別為小子樣在不同應(yīng)力水平下的樣本擴展提供了較好的方法。但此方法是基于可獲得各應(yīng)力水平下精度較高的壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差，而壽命均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別與應(yīng)力水平存在著一定的內(nèi)在聯(lián)系，因此找出其較理想的對應(yīng)關(guān)系尤為重要。

1.4 壽命均值與應(yīng)力水平關(guān)系的確定方法

在第i個應(yīng)力水平下試樣的疲勞壽命均值計算方法為

( 8 )

由式( 4 )可知，在中壽命區(qū)疲勞壽命與應(yīng)力水平相關(guān)，且大量試驗表明，試驗樣本的壽命均值與應(yīng)力水平在對數(shù)坐標(biāo)系下有較好的線性對應(yīng)關(guān)系，可采用最小二乘法進(jìn)行擬合，即使在個別應(yīng)力水平下存在極小子樣的情況，也可保證中值S-N曲線的擬合精度。

1.5 壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平關(guān)系的確定方法

為了獲得P-S-N曲線，疲勞試驗通常采用升降法在4～5個應(yīng)力水平下進(jìn)行，對于可靠性試驗一般在每個應(yīng)力水平下需要15個樣件，但是即使在試驗控制的非常精確的時候，疲勞試驗結(jié)果也有可能出現(xiàn)較大的差異。這種差異部分來自于試樣的化學(xué)成分、熱處理、表面狀態(tài)等的不一致性，部分來自于工程材料的內(nèi)稟特性——疲勞失效的隨機過程[10]。一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差代表樣本的分散度，標(biāo)準(zhǔn)差計算方法為

( 9 )

在小子樣或極小子樣的情況下，試驗數(shù)據(jù)分布情況很難準(zhǔn)確地說明真實分布情況，甚至有可能出現(xiàn)與真實分布相悖的情形。例如，雖然對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差與對數(shù)應(yīng)力水平在整體上呈線性關(guān)系，但在部分應(yīng)力水平下，存在低應(yīng)力水平的壽命標(biāo)準(zhǔn)差比高應(yīng)力水平的壽命標(biāo)準(zhǔn)差小的情形，與一些學(xué)者認(rèn)同的線性異方差理論或同方差理論相悖[12-13]。為了遵循不同材料的自身特性，本文給出了3種不同情形下應(yīng)力水平與標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系的確定方法。

(1) 當(dāng)不同應(yīng)力水平下對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差與對數(shù)應(yīng)力變化規(guī)律近似呈線性關(guān)系時，可采用線性異方差理論或最小二乘法進(jìn)行擬合。

(2) 當(dāng)不同應(yīng)力水平下對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差近似相等時，可將不同應(yīng)力水平下對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差求均值后作為各應(yīng)力水平下的標(biāo)準(zhǔn)差。

(3) 當(dāng)壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平的變化規(guī)律不惟一時，可采用樣本信息重構(gòu)方法對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后采用最小二乘法擬合重構(gòu)后的應(yīng)力水平與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系曲線。

1.6 樣本信息重構(gòu)方法

大量試驗結(jié)果顯示，在中壽命區(qū)絕大部分金屬材料的對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平近似存在線性關(guān)系[14]，但在試驗中常常會發(fā)生部分高應(yīng)力水平下壽命標(biāo)準(zhǔn)差比低應(yīng)力水平下壽命標(biāo)準(zhǔn)差大或相等的情形，因此本文重點給出樣本的對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差與對數(shù)應(yīng)力水平整體呈線性關(guān)系，但在部分相鄰的應(yīng)力水平下不呈線性關(guān)系時的處理方法，具體方法如下：

當(dāng)相鄰的2個應(yīng)力水平下的對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差隨對數(shù)應(yīng)力水平變化的趨勢與整體變化趨勢不一致時，將2個應(yīng)力水平合并為1個應(yīng)力水平，在新的應(yīng)力水平下有

(10)

當(dāng)相鄰的3個應(yīng)力水平下的對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差隨對數(shù)應(yīng)力水平變化的趨勢與整體變化趨勢不一致時，將3個應(yīng)力水平合并為1個應(yīng)力水平，在新的應(yīng)力水平下有

(11)

2 基于小子樣P-S-N曲線擬合方法

對于1.5節(jié)中基于前2種情形時的P-S-N曲線擬合，國內(nèi)外學(xué)者已給出較多的處理方法，且基本已有定論。本文針對當(dāng)壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平的變化規(guī)律不惟一的情形，提出了2種擬合P-S-N曲線的方法，分別為：基于樣本信息重構(gòu)并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法與基于樣本信息重構(gòu)的最小二乘法，最終通過應(yīng)用疲勞試驗數(shù)據(jù)對2種方法進(jìn)行對比分析，選出了1種擬合精度較高且偏于安全的方法。

2.1 極大似然法擬合P-S-N曲線的基本原理[15]

極大似然法測定疲勞性能曲線時，首先在每個應(yīng)力水平Si下分別使用一個試樣進(jìn)行試驗，相應(yīng)的對數(shù)疲勞壽命為Yi，然后在某一指定應(yīng)力水平Sd下，試驗一組試件，獲得q個對數(shù)疲勞壽命觀測值Ydj(j=1,2,…,q)，同時在中等壽命區(qū)線段，采用2個假定：對于各級應(yīng)力水平，對數(shù)疲勞壽命都遵循正態(tài)分布；正態(tài)母體平均值和母體標(biāo)準(zhǔn)差均與對數(shù)應(yīng)力水平成線性關(guān)系，即

μi=μd+αXi-Xd

(12)

σi=σd+βXi-Xd

(13)

式中：Xi、Xd分別為Si與Sd在對數(shù)坐標(biāo)系下的值；μd與σd分別為試樣在應(yīng)力水平Sd下的對數(shù)疲勞壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差；α、β是待定常數(shù)。

破壞概率為p的對數(shù)疲勞壽命為

Yp=μ+upσ

(14)

根據(jù)上述假定，似然函數(shù)可寫為

(15)

將式(12)、式(13)代入式(15)，并且兩邊取自然對數(shù)可得

當(dāng)lnL達(dá)到最大值時，對應(yīng)的α、β就是參數(shù)α、β的極大似然估計；或?qū)ι鲜椒謩e求α、β的偏導(dǎo)，并分別令其為零，也可求出α、β的值，即

通過上述方法可得出P-S-N曲線方程為

Yp=μd+upσd+(α+upβ)(Xi-Xd)

(16)

2.2 基于樣本信息重構(gòu)并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法

本文提出的極大似然法是將樣本信息重構(gòu)與壽命等效原理相結(jié)合，提高樣本壽命標(biāo)準(zhǔn)差的準(zhǔn)確度，保證壽命等效的精度，最終采用極大似然法對等效后的數(shù)據(jù)進(jìn)行P-S-N曲線擬合，具體步驟為：

Step1根據(jù)1.4節(jié)的壽命均值與應(yīng)力關(guān)系的確定原則擬合出對數(shù)應(yīng)力水平與對數(shù)壽命均值直線，然后通過該直線計算出不同應(yīng)力水平下的壽命均值。

Step2根據(jù)1.5節(jié)中給出的第(3)種方法計算出各應(yīng)力水平下的壽命標(biāo)準(zhǔn)差。

Step3根據(jù)壽命等效原理，結(jié)合Step1與Step2得出的壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差，將不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命等效到特定的應(yīng)力水平下，一般以樣本數(shù)量較多的應(yīng)力水平確定為特定應(yīng)力水平，實現(xiàn)疲勞壽命在不同應(yīng)力水平下的等效。

Step4采用極大似然法對等效后的數(shù)據(jù)進(jìn)行P-S-N曲線擬合。

2.3 基于樣本信息重構(gòu)的最小二乘法

最小二乘法對各應(yīng)力水平下的樣本數(shù)量無特殊要求，因此本文提出的基于樣本信息重構(gòu)的最小二乘法無需進(jìn)行壽命等效，具體擬合步驟為：

Step1根據(jù)2.2節(jié)中的Step1與Step2得出樣本重構(gòu)后各應(yīng)力水平下的壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差。

Step2通過式(14)，計算出不同應(yīng)力水平下破壞概率為p的對數(shù)壽命Yp。

Step3采用最小二乘法對不同應(yīng)力水平下的對數(shù)壽命Yp進(jìn)行擬合，得出P-S-N曲線。

3 算例分析

為了驗證本文提出的基于小子樣的P-S-N曲線擬合方法的精度，本文對切割光滑板材T型接頭的Q450NQR1試樣進(jìn)行疲勞試驗，加載方式為軸向拉-拉循環(huán)，應(yīng)力比R=0.1，正弦波加載，加載頻率為70 Hz左右，壽命循環(huán)數(shù)控制在105～2×106之間，采用升降法進(jìn)行試驗[16]，試驗數(shù)據(jù)見表1。

表1 Q450NQR1疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)

采用1.4節(jié)的確定原則對表1中的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，擬合后的樣本壽命均值與應(yīng)力水平的關(guān)系為

Xi=3.555 5-0.249 4μi

(17)

采用1.5節(jié)中的第(3)種方法對相鄰2個應(yīng)力水平下的樣本信息進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的應(yīng)力水平與標(biāo)準(zhǔn)差見表2，擬合后的壽命標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平的關(guān)系為

σi=0.548 4-0.238 4Xi

(18)

同時根據(jù)式(17)可得出重構(gòu)后的應(yīng)力水平對應(yīng)的壽命均值見表2。

表2 樣本信息重構(gòu)后的壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差

3.1 極大似然法擬合P-S-N曲線

根據(jù)式(17)與式(18)，可得出各應(yīng)力水平下的壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差，見表3。

表3 擬合后的壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差

試驗數(shù)據(jù)在110 MPa應(yīng)力水平下的樣本數(shù)量相對較多，且比100 MPa應(yīng)力水平更接近其他應(yīng)力水平，因此選110 MPa為特定應(yīng)力水平。

根據(jù)1.3節(jié)中的壽命等效原理，將表1中試驗數(shù)據(jù)直接進(jìn)行壽命等效，等效后的數(shù)據(jù)見表4。

表4 試驗數(shù)據(jù)的等效壽命

將表1中的對數(shù)壽命與表3中的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行壽命等效，等效后的數(shù)據(jù)見表5。

表5 樣本信息重構(gòu)后的等效壽命

采用極大似然法對表1與表4中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，擬合后的P-S-N曲線稱為極大似然法1，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Yp=6.069 0+0.056 7up-

(3.839 6+0.177 8up)(Xp-2.041 4)

采用極大似然法對表3與表5中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，擬合后的P-S-N曲線稱為極大似然法2，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Yp=6.059 0+0.067 6up-

(3.930 5+0.277 2up)(Xp-2.041 4)

根據(jù)以上給出的2種擬合方式，分別擬合存活率p為50%、90%、99.9%時的P-S-N曲線，見圖1。

從圖1擬合效果可知：

(1) 采用2種極大似然法擬合的曲線未出現(xiàn)存活率高的曲線上穿存活率低的曲線，符合疲勞壽命分布的客觀規(guī)律，同一方法隨著應(yīng)力水平的降低與存活率的增大，疲勞壽命偏差逐漸增大，符合疲勞壽命的分散度隨應(yīng)力水平降低而增大的規(guī)律。

(2) 采用2種極大似然法擬合的中值S-N曲線隨著應(yīng)力水平的降低，疲勞壽命趨為一致。

(3) 極大似然法2比極大似然法1更偏于安全，是因為極大似然法2擬合的數(shù)據(jù)是經(jīng)樣本信息重構(gòu)與壽命等效后的數(shù)據(jù)，而極大似然法1是對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行直接壽命等效，未考慮樣本數(shù)量與異常樣本對整體樣本分布的影響，從而使得極大似然法2的壽命標(biāo)準(zhǔn)差要稍大一些。

3.2 最小二乘法擬合P-S-N曲線

根據(jù)最小二乘法直接對表1中的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的曲線稱為最小二乘法1；根據(jù)2.3節(jié)的方法對表2的數(shù)據(jù)分析處理，擬合的曲線稱為最小二乘法2，采用兩種方法分別擬合存活率p為50%、90%、99.9%時的P-S-N曲線，見圖2。

從圖2擬合效果可知:

(1) 采用最小二乘法與上述極大似然法擬合的曲線整體特征基本一致。

(2) 通過對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本信息重構(gòu)和壽命等效，在高應(yīng)力區(qū)最小二乘法1在最小二乘法2的下方，但在低應(yīng)力區(qū)呈相反趨勢。

(3) 在存活率大的條件下，最小二乘法2比最小二乘法1要更偏于安全，是因為經(jīng)樣本信息重構(gòu)與壽命等效后的壽命標(biāo)準(zhǔn)差要稍大一些。

3.3 對比分析

為了確定最優(yōu)的擬合方法，采用上述4種方法分別擬合存活率p為50%與99.9%時的重構(gòu)或等效后的試驗數(shù)據(jù)，見圖3。

從圖3擬合效果可知：

(1) 存活率為50%時，疲勞試驗數(shù)據(jù)中對數(shù)壽命均值與對數(shù)應(yīng)力水平自身有較好的線性關(guān)系，因此通過極大似然法或最小二乘法擬合S-N曲線基本趨于一致。

(2) 存活率為99.9%時，最小二乘法1在最上方，極大似然法2在最下方，因此極大似然法2給出了更偏于安全的擬合結(jié)果。

4 結(jié)論

(1) 本文提出了樣本信息重構(gòu)的方法，有效降低了個別異常樣本與小子樣對壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差的影響，提高了各應(yīng)力水平下壽命均值與標(biāo)準(zhǔn)差的精度，保證了疲勞壽命等效的準(zhǔn)確度。

(2) 本文提出了基于樣本信息重構(gòu)的壽命等效原理，不僅考慮了不同應(yīng)力水平下樣本數(shù)量對樣本整體分布的影響；而且將所有應(yīng)力水平下的樣本疲勞壽命等效到特定的應(yīng)力水平下，擴展了樣本數(shù)量，修正了壽命均值與方差，最大程度逼近材料的真實疲勞壽命。

(3) 采用基于樣本信息重構(gòu)并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法，基于樣本信息重構(gòu)的最小二乘法與傳統(tǒng)的極大似然法，最小二乘法對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了P-S-N曲線擬合，并通過對比分析4種方法的擬合效果，最終得出基于樣本信息重構(gòu)并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法擬合的P-S-N曲線精度較高，且偏于安全。