陳茂林，張 雷，范澤華，崔雅洪

（重慶交通大學(xué)，重慶 400074）

高速公路收費(fèi)站擁堵的情況日益凸顯，車(chē)輛在收費(fèi)站停留時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，在一定程度上影響高速公路的通行效率和服務(wù)質(zhì)量，從而影響到交通的暢通程度。因此研究車(chē)輛在收費(fèi)廣場(chǎng)的耗時(shí)問(wèn)題，提高收費(fèi)站的通行能力，是改善高速公路擁堵?tīng)顩r的有效途徑，同時(shí)也是站點(diǎn)設(shè)立的理論依據(jù)。目前，收費(fèi)廣場(chǎng)主要以對(duì)底梯形為設(shè)計(jì)樣式，通過(guò)建立車(chē)輛的耗時(shí)模型，優(yōu)化車(chē)輛的通行時(shí)間，可以達(dá)到快速通過(guò)的目的。

1 車(chē)輛通過(guò)高速公路收費(fèi)廣場(chǎng)耗時(shí)數(shù)學(xué)模型

將車(chē)輛通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)分為進(jìn)入過(guò)渡段、等候服務(wù)段和離開(kāi)過(guò)渡段3部分，這3部分所耗費(fèi)的時(shí)間分別為T(mén)n，Tw，Tu，所以總耗時(shí)T的模型為：

總耗時(shí)T的模型可以分為3個(gè)子模型，3個(gè)子模型之間由交通流量q0和交通流量v建立聯(lián)系。

1.1 收費(fèi)廣場(chǎng)進(jìn)入過(guò)渡段的耗時(shí)模型

假設(shè)交通流是自由流，并以初始交通流速v0和初始交通流量q0進(jìn)入收費(fèi)廣場(chǎng)過(guò)渡段，則依據(jù)交通流理論有：

式（2）中：k0為初始交通流密度。

在過(guò)渡段的x點(diǎn)處，交通流速為v（x），交通流密度為k（x），則它們與流通量q0的關(guān)系式為：

因交通流量在進(jìn)出消費(fèi)廣場(chǎng)的全程是保持不變的，所以可得交通流密度k（x）與過(guò)渡段寬度w（x）的關(guān)系為：

式（4）中：wn為進(jìn)站前5車(chē)道的寬度。

依據(jù)幾何原理，建立方程式如下：

式（6）中：wf為過(guò)渡段總寬度，即過(guò)渡段最大寬度；ln為過(guò)渡段的長(zhǎng)度。它們與收費(fèi)站個(gè)數(shù)n的關(guān)系式如下：

式（7）（8）中：a1為ln的特定系數(shù)，取值范圍常為（0.01，0.025），本處取0.02；d為單方向收費(fèi)個(gè)數(shù)。

綜上（2）～（8），得到車(chē)輛進(jìn)入過(guò)渡段耗時(shí)的平均時(shí)間Tn的最終表達(dá)式為

1.2 收費(fèi)廣場(chǎng)等待服務(wù)的耗時(shí)模型

因交通流量在進(jìn)出消費(fèi)廣場(chǎng)的全程是保持不變的，所以從進(jìn)入過(guò)渡段到離開(kāi)過(guò)渡段整個(gè)過(guò)程3個(gè)階段的交通流量皆相等，即q0＝q1＝q2.依照流體力學(xué)原理，車(chē)流量是平均分配到各個(gè)收費(fèi)車(chē)道的，所以每個(gè)收費(fèi)路口的車(chē)流量為q1/n.根據(jù)排隊(duì)論，每個(gè)收費(fèi)路口服從M/M/1系統(tǒng)，則第2階段所有收費(fèi)路口服從M/M/c系統(tǒng)，即多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)。假設(shè)平均到達(dá)率為λ，平均服務(wù)率為μ，則可算出車(chē)輛在收費(fèi)廣場(chǎng)等待服務(wù)所耗時(shí)間為又有λ＝q1/n，所以，車(chē)輛在等候服務(wù)耗時(shí)的平均時(shí)間

1.3 離開(kāi)收費(fèi)廣場(chǎng)過(guò)渡段耗時(shí)模型

假設(shè)車(chē)輛離開(kāi)收費(fèi)廣場(chǎng)等候服務(wù)階段有個(gè)初始速度v2、車(chē)流量q1，最后以車(chē)流量q2匯流進(jìn)入主線，第3階段與第1階段相似，因此省略其推導(dǎo)過(guò)程，直接給出車(chē)輛離開(kāi)過(guò)渡段耗時(shí)的平均時(shí)間Tu的表達(dá)式為：

2 車(chē)輛通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)耗時(shí)數(shù)學(xué)模型求解

綜上分析，可以得到車(chē)輛通過(guò)高速公路收費(fèi)廣場(chǎng)耗時(shí)T的目標(biāo)函數(shù)為：

此處假設(shè)高速公路是標(biāo)準(zhǔn)的橫斷面，則一條車(chē)道的寬度為3.75 m，五車(chē)道的高速公路兩方向的主線寬度wn，wu都為18.75 m，每個(gè)收費(fèi)路口的寬度皆為5 m。假設(shè)平均服務(wù)率為600 pcu/h，平均到達(dá)率為4 186 pcu/h，車(chē)輛進(jìn)站的初始速度為40 km/h，離開(kāi)收費(fèi)廣場(chǎng)的速度為20 km/h，各參數(shù)的具體設(shè)置值如表1所示。

表1 各參數(shù)的具體設(shè)置值

由于模型的變量只有收費(fèi)站個(gè)數(shù)n，確定n就能確定通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)的總耗時(shí)。又因?yàn)閚的值只能取整數(shù)且不能太大，所以我們變換n值就可以接觸通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)3個(gè)階段的時(shí)間及總時(shí)間，從而取得總體的最優(yōu)值。

為確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，平均到達(dá)率為λ總是小于平均服務(wù)率為μ，以免造成收費(fèi)廣場(chǎng)的癱瘓。因?yàn)棣耍絨1/n，有n的約束條件為n＞q0/μ，所以可得n從8到16的變化過(guò)程中，用MATLAB求出所對(duì)應(yīng)的每個(gè)Tn，Tw，Tu如表2所示。

表2 對(duì)應(yīng)每個(gè)n的通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)的總時(shí)間和各階段時(shí)間

3 結(jié)果分析

根據(jù)表2可以得出：①隨著收費(fèi)站站點(diǎn)的增加，進(jìn)入過(guò)渡段和等待段的時(shí)間卻增加了。從主觀方面考慮，原則上是收費(fèi)站的數(shù)量越多，等待時(shí)間越短。但是隨著收費(fèi)站的數(shù)量的增加，收費(fèi)廣場(chǎng)的面積同步擴(kuò)大與增長(zhǎng)，從而導(dǎo)致進(jìn)入過(guò)渡段和等待段的通過(guò)時(shí)間增長(zhǎng)。②站點(diǎn)的增加使得離開(kāi)過(guò)渡段的時(shí)間減少了。隨著站點(diǎn)的增加，離開(kāi)過(guò)渡段的面積在擴(kuò)大，這在一定程度上降低了減速排隊(duì)的等待時(shí)間，提高了出站的通行暢通度。

4 結(jié)束語(yǔ)

單純地提高收費(fèi)站中收費(fèi)亭的數(shù)量在一定程度上是可以提高通行能力的。由于收費(fèi)站增加的同時(shí)會(huì)擴(kuò)大和增大過(guò)渡段的面積和長(zhǎng)度，更重要的一點(diǎn)是增加了投入的費(fèi)用。根據(jù)預(yù)估車(chē)流量和車(chē)輛通行時(shí)間來(lái)設(shè)定相應(yīng)的收費(fèi)亭，得到的結(jié)果更加具有實(shí)際應(yīng)用意義。