葉惠芳 林輝慶

(杭州市余杭高級中學 浙江 杭州 311100)

1 一個電磁感應問題及常見解答

【題目】如圖1所示，兩足夠長的光滑平行金屬導軌MN和PQ間的距離L=0.4 m，金屬導軌所在平面與水平面的夾角θ=37°，M和P間連接電阻R=2.0 Ω，質量m=0.04 kg，電阻r=3.0 Ω的金屬棒AB垂直放置在導軌上，與導軌接觸良好且與MP距離x0=0.5 m.在MPNQ區(qū)域有垂直于導軌向上隨時間變化的勻強磁場，已知t=0時刻磁感應強度B0=0.5 T,若此刻無初速釋放金屬棒AB，它將沿導軌勻加速下滑.已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.試求：

(1)金屬棒勻加速下滑的加速度大小；

(2)從t=0時刻開始磁感應強度B隨時間t應如何變化.

圖1 題圖

常見解答：AB能勻加速下滑，則可知電路中的感應電流為零，故其加速度

a=gsin37°=6 m/s2

由電路中感應電流為零可知感應電動勢為零，回路中磁通量不發(fā)生變化，即

解得

(1)

2 對常見解答的質疑

常見解答隱含著如下的矛盾：在t=0時刻，AB速度為零，不切割磁感線，則動生電動勢E動為零，但磁感應強度B隨時間t是變化的，因此可能會產生感生電動勢，這樣回路中就可能會有感應電流，導體棒AB可能會受安培力作用，不會以加速度a=gsinθ下滑.

讓我們來計算一下t=0時感生電動勢E感的大小

雖然這里驗證了當磁感應強度B隨時間t以式(1)變化，AB以a=gsinθ勻加速下滑，但這里仍存在更普遍的問題：如果B隨時間按其他方式變化，AB是否也能以其他加速度勻加速下滑？

3 對一般解答的探討

設磁感應強度B以B=B(t)方式變化，AB以加速度a勻加速下滑，AB與MP的距離

t時刻的磁通量為

Φ=LxB

感生電動勢為

感應電流為

AB棒所受的安培力

FA=BIL

由牛頓第二定律有

mgsinθ-FA=ma

聯(lián)立以上各式解出

(2)

代入有關數(shù)據得到

(3)

從理論上講，對任何一個a值，由式(3)都能求出對應的B=B(t).

把a=gsinθ代入式(2)得到

化為

對上式兩邊積分即可得到

(4)

其中C是積分常數(shù).將t=0時,B=B0=0.5 T代入上式，即得C=0.25 T·m.

可見當a=gsinθ時式(1)只是式(3)對應的一個特殊解.

讓我們再看另一種特殊情況，即a=0，導體棒AB靜止在導軌上，式(2)為

化為

mgsinθ(R+r)dt=BL2x0dB

解出

(5)

在一般情況下，式(2)是非線性微分方程，我們無法由它求出B(t)的解析式.但我們可以根據這個方程，用微元數(shù)值計算法得到函數(shù)B=B(t)對應不同時刻(例如每隔Δt=0.01 s)的B值，并由此作出B-t圖像.

(6)

求出

在t1=0.01 s時

0.5 T+10×0.01 T=0.6 T

(7)

求出

在t2=0.02 s時刻

0.6 T+8.282×0.01 T=0.683 T

(8)

求出

同理求出以后各時刻的B值如表1所示.

表1 a=4 m/s2時各時刻對應的B值

作出B-t圖像如圖2所示.

圖2 a=4 m/s2時的B-t圖像

假如要使棒AB靜止釋放后以5 m/s2的加速度向上運動，即取a=-5 m/s2，同理可以求出對應的B=B(t)在不同時刻的值，如表2所示.

表2 當a=-5 m/s2時各時刻對應的B值

作出B-t圖像如圖3所示.

圖3 a=-5 m/s2時的B-t圖像

用同樣的方法可以求出對應棒AB以任一加速度運動，磁感應強度B隨時間t的變化方式.

4 結論

通過上面的研究知道，常規(guī)解法得到的結果，只是一個特殊解，并不是這個問題的唯一解.實際上，只要磁場以恰當?shù)姆绞阶兓?，導體棒能以任一加速度沿導軌向下勻加速運動，也能以任一加速度沿導軌向上勻加速運動，還可以保持靜止不動.