宋 江 馬亮亮

（重慶大學(xué)， 重慶 401331）

梁是土木工程結(jié)構(gòu)中的一個(gè)重要構(gòu)件，梁承受著多種形式的荷載，于是，對(duì)梁的研究就很有必要。目前，研究梁的變形的方法主要有積分法和疊加法，這是廣大結(jié)構(gòu)工程師最熟悉的方法，這兩種方法的應(yīng)用非常廣泛。除此之外，研究人員根據(jù)理論分析和試驗(yàn)檢驗(yàn)，也提出了其他的解決梁變形的方法。這些方法主要有：傳遞矩陣法[1]，能量法[2]，等效剛度法[3]，奇異函數(shù)法[4]，曲線擬合法[5]，懸臂梁法[6]。這些方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，本文將主要介紹這些求解梁變形的特殊方法的原理以及算例分析。此外，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，計(jì)算機(jī)技術(shù)已經(jīng)滲透到各個(gè)學(xué)科之中，土木工程也不例外。因此，本文還將就計(jì)算機(jī)技術(shù)在梁變形中的應(yīng)用提出展望，以期能豐富梁變形方面的研究。

1 梁變形特殊求解方法

目前，研究梁變形的方法主要有兩種，即疊加法和積分法，這兩種方法應(yīng)用很廣泛，然而，許多學(xué)者也提出了其他的關(guān)于梁變形的求解方法，下面，本文將依次介紹傳遞矩陣法，能量法，等效剛度法，曲線擬合法以及懸臂梁法這五種求解梁變形的方法。

1.1 傳遞矩陣法

1.1.1. 傳遞矩陣法的基本原理

圖1 任意段等截面梁

在多段梁中，取任意的 ij段等截面梁，其抗彎剛度為EI，如圖1所示，其中 i端的位移分量為 Vi和iθ，內(nèi)力分量為Mi和iQ,載荷集度為 qi； j端的位移分量為 Vj和 jθ,內(nèi)力分量為Mj和Qj,載荷集度為 qj,分布載荷在梁段內(nèi)為線性分布。各量的正、負(fù)號(hào)規(guī)定與通常的規(guī)定相同,圖中所示的均為正。梁段內(nèi)的彎矩方程[7]為:

在線彈性小變形的情況下，有：

如果梁段內(nèi)沒(méi)有分布荷載，（8）式可寫(xiě)為：

1.2 能量法

在工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常需要計(jì)算結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的變形。使用一般的方法進(jìn)行變形計(jì)算時(shí)，需要分析結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的具體變形形式，計(jì)算量非常大。因此工程上通常采用能量原理完成結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的變形分析。本文主要討論的是莫爾定理，又稱為單位荷載法。

1.1.2. 莫爾定理的推證

以下通過(guò)應(yīng)變能概念推導(dǎo)莫爾定理。為了簡(jiǎn)化推證過(guò)程，以簡(jiǎn)支梁彎曲變形為例說(shuō)明莫爾積分的基本概念。然后根據(jù)功能原理，推廣到任意的桿系結(jié)構(gòu)。

假設(shè)簡(jiǎn)支梁在任意荷載作用下，如圖 3 所示，其彎矩方程為 M( x)，應(yīng)變能為

式（14）為莫爾定理（Mohr’s theorem）的表達(dá)式.由于施加了廣義單位力，故又稱為單位力

法（Unit-load method）.

對(duì)于組合變形桿件，略去剪力對(duì)變形的影響，莫爾定理的一般表達(dá)式為：

圖2 任意荷載作用下的簡(jiǎn)支梁

1.3 曲線擬合法

本節(jié)從數(shù)學(xué)的角度出發(fā),采用光滑曲線對(duì)梁的撓曲線進(jìn)行擬合,根據(jù)梁上載荷作用面及支座處撓度各階導(dǎo)數(shù)的物理性質(zhì)和邊界條件、連續(xù)條件求出擬合曲線的系數(shù),從而得到撓曲線的數(shù)學(xué)方程。計(jì)算過(guò)程中不必寫(xiě)出梁的彎矩方程,且可以直接求解超靜定梁的變形。

1.1.3. 曲線擬合法的基本原理

梁的撓曲線是一條光滑曲線，由積分法可知，在均布載荷作用下，撓曲線為四次曲線；在集中載荷作用下為

1.4 懸臂梁法

展望

本文所有的方法都是基于簡(jiǎn)單梁進(jìn)行綜述的，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，受力復(fù)雜的梁，僅僅依賴材料力學(xué)和理論力學(xué)的基本知識(shí)已經(jīng)無(wú)法解決。當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展，已經(jīng)融入了各行各業(yè)，土木工程也不例外，計(jì)算機(jī)技術(shù)與土木工程的結(jié)合促使了有限元方法的巨大進(jìn)步。對(duì)于復(fù)雜的梁的研究基本上都是基于有限元方法的。曾森等利用位移矢量插值法對(duì)空間曲梁的大變形進(jìn)行了有限元分析[8]。朱寶田等利用空間扭曲梁有限元方法對(duì)汽輪機(jī)長(zhǎng)葉片的動(dòng)力和靜力特性進(jìn)行了研究[9]。

陶榮杰等對(duì)連續(xù)墻梁進(jìn)行了有限元分析并且提出了簡(jiǎn)化計(jì)算的方法[10]。

宋子威等對(duì)鐵路通用的B型梁進(jìn)行了有限元分析，計(jì)算了自重和中-活載作用及荷載組合下的位移和應(yīng)力、梁體的自振特性【11】。Rogério Carrazedo等討論了層壓板和殼體的有限元解決方案【12】。以上的學(xué)者補(bǔ)充了對(duì)各種復(fù)雜梁的有限元分析研究，未來(lái)，隨著有限元的進(jìn)一步發(fā)展，可以期望新的梁的有限元研究成果會(huì)越來(lái)越多。