王 毅 冀保峰 張松煒 閆利超 郭 慧 李春國 楊綠溪

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院電子通信工程學(xué)院， 河南鄭州 450046；2. 國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心， 河南鄭州 450002；3. 河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院， 河南洛陽 471023； 4. 東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院， 江蘇南京 210096)

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出(Massive MIMO)技術(shù)利用在基站部署的巨量天線陣列，獲得了相較傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)諸多不同的特性，特別是頻譜效率、能量效率、發(fā)送/接收機線性化操作、空間波束分辨率、空口延時和物理層控制信令開銷等方面取得了顯著的性能提升[1-3]。正因為如此，業(yè)內(nèi)普遍認(rèn)為未來5G移動通信系統(tǒng)關(guān)鍵性能指標(biāo)的實現(xiàn)有賴于大規(guī)模MIMO這一物理層關(guān)鍵技術(shù)的突破[4- 6]。

然而，大規(guī)模MIMO技術(shù)的優(yōu)異性能是以基站獲取可靠有效的信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)為前提，而CSI的精確程度也直接決定了系統(tǒng)的下行空間波束復(fù)用、資源分配、檢測接收等環(huán)節(jié)的性能[7- 8]。對于目前占主流的頻分雙工(Frequency Division Duplexing, FDD)制式蜂窩系統(tǒng)而言(全球范圍內(nèi)4G LTE FDD牌照超過300張，而時分雙工(Time Division Duplexing，TDD)牌照僅有40余張[9])，由于FDD制式中上下行信道不滿足互易性，必須通過基站發(fā)送下行導(dǎo)頻信號，在用戶側(cè)進行信道估計，進而反饋至基站再進行相應(yīng)的預(yù)編碼或波束成型方案設(shè)計[2]。由于基站配置了大規(guī)模天線陣列，采用下行正交導(dǎo)頻序列時，其導(dǎo)頻長度將會隨著天線數(shù)增加而成倍增加，從而導(dǎo)致消耗較大的系統(tǒng)資源，影響整個系統(tǒng)的頻譜利用率[7]。與此同時，業(yè)內(nèi)考慮到從4G FDD系統(tǒng)到5G系統(tǒng)的平滑過渡以及5G系統(tǒng)后向兼容性，必須著力解決FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的導(dǎo)頻開銷及導(dǎo)頻設(shè)計問題，這對于FDD制式下大規(guī)模MIMO技術(shù)的應(yīng)用推廣具有重要的現(xiàn)實意義[9]。

文獻[10]研究了非正交條件下的導(dǎo)頻設(shè)計問題，利用信道反饋信息對導(dǎo)頻序列進行迭代優(yōu)化。文獻[11]聯(lián)合考慮了信道的空時兩維度相關(guān)性，借助于信道的時間相干性進行信道預(yù)測，進而設(shè)計了開環(huán)和閉環(huán)條件下的低開銷導(dǎo)頻和信道估計方案。文獻[12]挖掘信道空間相干性，以經(jīng)典的信道估計均方誤差最小化為目標(biāo)，對導(dǎo)頻信號進行優(yōu)化設(shè)計。文獻[13]則利用信道時間相關(guān)性和卡爾曼濾波器，并考慮低實現(xiàn)復(fù)雜度的有限射頻鏈路(Radio Frequency Chain, RF Chain)預(yù)編碼方案，設(shè)計了一種低開銷的周期性訓(xùn)練序列發(fā)送方案。以上研究都考慮的是單用戶場景下的導(dǎo)頻設(shè)計，這是由于普通的多用戶場景下用戶的信道空時相關(guān)性各異，而基站發(fā)送的下行導(dǎo)頻是一致的，因此，無法使得單一導(dǎo)頻矩陣匹配所有用戶的信道特性。正如文獻[14]所述，針對FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)多用戶普適場景下的導(dǎo)頻設(shè)計問題仍是一個開放性熱點問題，所以，現(xiàn)有的研究中多數(shù)是基于單用戶場景或者具有某種特性信道條件的多用戶場景。文獻[15]就是通過對具有相同信道空間相關(guān)陣的多個用戶進行分組，在特殊的多用戶場景下，提出一種基于塊迫零的兩級預(yù)編碼方案。通過假設(shè)組間用戶的協(xié)方差陣正交性，利用第一級預(yù)編碼進行組間干擾抑制，從而降低組內(nèi)用戶的有效信道維度，從而減少可能的導(dǎo)頻開銷并簡化預(yù)編碼設(shè)計。然而，文獻[15]的重點在于兩級預(yù)編碼方案設(shè)計，而未給出相應(yīng)的導(dǎo)頻優(yōu)化設(shè)計方案。

另外值得注意的是，上述針對FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的導(dǎo)頻設(shè)計方案，仍是以信道估計的精確程度為準(zhǔn)則，即信道估計均方誤差，由此來設(shè)計低開銷的導(dǎo)頻方案。然而，導(dǎo)頻信號除了影響信道估計精度外，還將間接的影響基站下行波束向量的設(shè)計和信道匹配問題，進而影響系統(tǒng)的傳輸速率。與此同時，導(dǎo)頻信號所消耗的時長資源影響著后續(xù)的有效數(shù)據(jù)發(fā)送時長，也就會對系統(tǒng)的有效傳輸速率產(chǎn)生作用。而傳輸速率是通信系統(tǒng)所關(guān)注的重要指標(biāo)，也直接反應(yīng)系統(tǒng)性能的好壞。因此，以系統(tǒng)有效傳輸速率作為準(zhǔn)則來優(yōu)化設(shè)計導(dǎo)頻信號具有更實際的意義。而目前，尚未見到有針對FDD大規(guī)模MIMO中基于傳輸速率的導(dǎo)頻設(shè)計方案。

基于上述分析，本文著眼于單用戶FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的導(dǎo)頻信號設(shè)計問題。利用信道空間相關(guān)性，并結(jié)合信道估計和數(shù)據(jù)波束成型發(fā)送對導(dǎo)頻信號設(shè)計的影響，以系統(tǒng)下行遍歷可達速率為優(yōu)化目標(biāo)，并考慮系統(tǒng)總功耗約束，來優(yōu)化設(shè)計導(dǎo)頻信號矩陣。由于優(yōu)化問題的代價函數(shù)無解析表達式，借助于確定性等價方法，推導(dǎo)得出精確地近似閉合表達式，從而顯式的描述遍歷速率與導(dǎo)頻信號的數(shù)學(xué)關(guān)系?；诖耍M一步推導(dǎo)出了最優(yōu)導(dǎo)頻信號的矩陣結(jié)構(gòu)特征，從而將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為等價的導(dǎo)頻功率分配問題。再利用拉格朗日對偶法，獲得了最優(yōu)導(dǎo)頻信號的解析形式解。最后，通過數(shù)值仿真驗證了所提出的速率最大化導(dǎo)頻方案的有效性。

文中符號說明：(·)H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。Tr{·}表示矩陣的跡。{·}表示統(tǒng)計期望運算。diag{a}表示以向量a為主對角元素構(gòu)成的對角陣。表示服從均值向量為n協(xié)方差陣為R的循環(huán)對稱復(fù)高斯隨機分布。|·|，‖·‖和‖·‖0分別表示模運算，F(xiàn)robenius范數(shù)和0范數(shù)。R(i,j)表示矩陣R的第i行第j列元素。rank(R)表示矩陣R的秩。

2 系統(tǒng)模型

考慮如圖1所示的單用戶FDD大規(guī)模MIMO下行鏈路傳輸系統(tǒng)，其中，基站配置大規(guī)模天線陣列，且天線數(shù)為N?1，用戶配置單天線[10-12]。假設(shè)基站到用戶之間的信道滿足瑞利平坦衰落，且信道相干間隔(channel coherent interval)為Tc(以符號長度計)，即信道系數(shù)在Tc時長內(nèi)保持準(zhǔn)靜止，而在不同的相干間隔塊內(nèi)獨立變化[11]。在FDD制式下，基站需要通過下行信道估計、上行信道信息反饋和數(shù)據(jù)波束成型三個過程來完成下行鏈路數(shù)據(jù)傳輸[11,16]。

圖1 FDD大規(guī)模MIMO下行鏈路系統(tǒng)Fig.1 FDD massive MIMO downlink system

yp=XHh+np

(1)

(2)

根據(jù)MMSE估計的正交性原理[18]，可將信道向量h分解為

(3)

用戶獲得CSI估計值后，將其通過上行信道反饋至基站處。由文獻[11]和文獻[15]可知，在反饋信道條件較好時，即反饋信道處于發(fā)高射信噪比時，由反饋量化等因素帶來的誤差相對于信道估計誤差是可忽略的。由于本文著眼于基站側(cè)的聯(lián)合信道估計與下行波束成型兩個階段對導(dǎo)頻設(shè)計的影響，此處考慮完美的反饋信道條件，即零延遲和零誤差反饋信道，從而忽略反饋階段造成的影響，由此，基站可獲得精確的信道估計向量值[11,16]。

(4)

其中，ρd表示有效數(shù)據(jù)符號的發(fā)射功率，s表示具有單位功率的有效數(shù)據(jù)符號，即表示波束成型向量，且滿足功率歸一化表示數(shù)據(jù)發(fā)送階段用戶端受到的復(fù)加性高斯白噪聲。

由于用戶無法獲知信道估計誤差，根據(jù)最差情況不相干加性噪聲理論[18]，根據(jù)式(4)可以得到用戶的接收信噪比為

(5)

(6)

(7)

顯然，式(7)右邊為標(biāo)準(zhǔn)的瑞利瑞茲比形式。利用文獻[21]中類似的方法，可以直接得到最優(yōu)波束成型向量與對應(yīng)的最大接收信噪比分別為

(8)

(9)

由此，可以得到下行鏈路的遍歷可達速率為

R=

(10)

結(jié)合式(2)和式(10)可以看到，導(dǎo)頻信號不單影響信道估計精度性能，更直接影響著波束向量與信道的匹配程度以及由此對系統(tǒng)可達速率造成的影響?；诖?，以系統(tǒng)可達速率為目標(biāo)，并考慮發(fā)射功率約束，建立關(guān)于導(dǎo)頻信號的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，如下所示，

s.t. Tr(XXH)≤P

(11)

3 速率最大化導(dǎo)頻信號設(shè)計方法

3.1 遍歷速率解析表達式

對于式(10)中的遍歷速率表達式，其期望運算通常是非常困難的。然而，借助于大維隨機矩陣?yán)碚撝械拇_定性等價方法[18]，可以獲得遍歷速率的一種精確近似閉合表達式，如引理1所述。

引理1 當(dāng)基站采用式(8)中MRT波束成型向量進行下行數(shù)據(jù)發(fā)送時，用戶端的下行遍歷速率具有如下近似解析表達式，

(12)

證明過程參見附錄。

將式(12)代入式(11)中優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)，可以得到近似等價的優(yōu)化問題，如下所示

s.t. Tr(XXH)≤P

(13)

3.2 導(dǎo)頻優(yōu)化算法設(shè)計

由于優(yōu)化問題(13)中變量為矩陣，且函數(shù)形式較為復(fù)雜，不便于判斷凹凸性，因而，無法直接利用標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化方法進行求解。然而，根據(jù)主導(dǎo)理論[22]，可首先推導(dǎo)得出最優(yōu)導(dǎo)頻信號所有的矩陣結(jié)構(gòu)，如定理1所述。

定理1 若優(yōu)化問題(13)存在最優(yōu)解Xopt，則該最優(yōu)解具有如下形式，

Xopt=UQ

(14)

證明：將Ω=UΛUH代入式(13)中的目標(biāo)函數(shù)并化簡，可以得到

(15)

(16)

(17)

由于矩陣Z是對角陣，且其對角元素降序排列。當(dāng)且僅當(dāng)矩陣V為對角陣，且其對角線元素的順序與矩陣Z對角陣元素順序相反時，即V對角線元素為升序排列，才能達到式(17)的上界[22]。因為S為對角陣，且對角線元素升序排列。因此，D=UHXXHU必是對角陣，且其對角線元素為降序排列。又因為rank(D)≤m，由此可得D具有如下形式，

(18)

對D進行平方根運算，并構(gòu)造矩陣Q如下所示，

(19)

由此可以得到，

X=UQ

(20)

證畢。

進一步，利用定理1中導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)特性，并進行變量替換，可將優(yōu)化問題(13)中的導(dǎo)頻信號設(shè)計問題等價轉(zhuǎn)化為導(dǎo)頻序列的功率分配問題，如下所示，

(21)

根據(jù)文獻[23]中關(guān)于函數(shù)凹凸性的定義，容易驗證(21)中目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量q是凹的，且當(dāng)約束條件取等號時使得目標(biāo)函數(shù)達到最大值。因此，可利用拉格朗日對偶法求解該問題。由式(21)中目標(biāo)函數(shù)可得拉格朗日對偶函數(shù)為

(22)

其中，μ為非負的拉格朗日乘子，對應(yīng)于發(fā)射功率約束項。

(23)

(24)

(25)

進一步化簡式(25)可以得到，

(26)

將式(26)代入式(23)的右側(cè)等式，合并化簡后可以得到

(27)

再根據(jù)二次方程的求根公式可以直接得到方程(27)的解為

(28)

(29)

同時，在進行導(dǎo)頻序列功率分配后，其最終使用的導(dǎo)頻序列長度應(yīng)為‖q‖0，比預(yù)設(shè)的導(dǎo)頻序列長度可能會縮短，即‖q‖0≤K。這主要是因為導(dǎo)頻信號所使用的功率受制于系統(tǒng)的總功率約束。而從式(29)中也可以看到，在某些情況下，某些信道子特征方向上分配的導(dǎo)頻序列上功率值可能為0。然而，通常情況下，只有通過導(dǎo)頻功率分配后才能得到‖q‖0。另一方面，盡管無法預(yù)先獲知‖q‖0的值，但是，結(jié)合定理1推導(dǎo)過程及式(19)和式(20)可以發(fā)現(xiàn)，滿足優(yōu)化問題(13)中的導(dǎo)頻序列的最大長度(即Xopt的列維度)應(yīng)是小于等于N的。換句話說，在進行導(dǎo)頻長度預(yù)設(shè)時，只需設(shè)定K≤N即可。從物理意義上來講，由于下行信道向量存在于N個信道特征子方向構(gòu)成的特征子空間，因此，其所需要的導(dǎo)頻序列長度只需要對準(zhǔn)這N個子特征方向進行即可，而無需使用更長的導(dǎo)頻序列。

最終，根據(jù)經(jīng)典功率注水算法[23]，可以得到基于速率最大化的導(dǎo)頻信號設(shè)計算法的具體流程如下：

步驟1 初始化：計數(shù)變量n=1;

步驟2 Repeat;

步驟5 IFqm-n+1<0;

步驟6qm-n+1=0；

步驟7n=n+1；

步驟8 ENDIF;

步驟9 Untilql≥0,?l。

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)將給出不同系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置下，基于遍歷速率最大化的導(dǎo)頻方案的傳輸性能情況。為便于仿真并不失一般性，對系統(tǒng)參數(shù)做如下假設(shè)：基站到用戶的大尺度衰落因子歸一化為1，信道估計階段與數(shù)據(jù)傳輸階段的加性高斯白噪聲功率歸一化為1 W，信道相干間隔Tc=40，預(yù)設(shè)導(dǎo)頻序列長度K=10。對于信道相關(guān)矩陣Ω，此處采用滿足均勻線性天線陣列特性的指數(shù)衰減型模型，即Ω(i,j)=r|i-j|，(i,j=1,…,N)，其中，r∈(0,1)稱為信道空間相關(guān)性系數(shù)，用來表示信道的空間相關(guān)性強弱[16,24]，即信道相關(guān)性越強，r的取值越大，反正，r的取值越小。為了便于對比，給出兩種常用準(zhǔn)則下的資源分配算法：為了便于比較，以文獻[17]中基于最小化MSE的導(dǎo)頻方案和文獻[16]中的等功率分配正交導(dǎo)頻方案為基準(zhǔn)，進行性能比較。

圖2通過蒙特卡洛數(shù)值仿真驗證了本文引理1中給出的遍歷速率解析表達式的近似程度與精確性。由于引理2中涉及的導(dǎo)頻信號是任意形式的信號矩陣，為了便于仿真，此處采用大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中常用的列正交等功率導(dǎo)頻矩陣，且蒙特卡洛數(shù)值結(jié)果是由5000次獨立信道生成后取平均得到。從圖中可以看到，隨著天線數(shù)的增加，遍歷速率解析表達式所得到的近似值將越來越逼近于真實值，這表明采用該閉合表達式設(shè)計導(dǎo)頻信號具有有效性和精確性。

圖3給出了三種導(dǎo)頻方案下信道估計的歸一化均方誤差性能。首先，在不同的信道相關(guān)性條件下，基于MSE最小化的導(dǎo)頻方案所獲得信道估計性能始終是最好的，基于等功率分配正交導(dǎo)頻的方案性能居中，且其與MSE最小化導(dǎo)頻方案的性能差異相對較小，特別是在總功率較大時，二者幾乎重合，與文獻[17]中的結(jié)論一致。這是由于高發(fā)射功率區(qū)間，最小化MSE導(dǎo)頻方案就趨近于等功率分配。而本文所提出的導(dǎo)頻方案則在信道估計精度方面略差，特別是在強相關(guān)信道條件下，性能損失較為嚴(yán)重。其次，進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，在弱相關(guān)信道條件下，三種導(dǎo)頻方案的信道估計MSE性能差異很小，并且整體的信道估計精度相對于強相關(guān)信道條件下都大為降低。這主要是由于弱相關(guān)信道條件下，信道各個特征子方向上的強度趨于相同，想獲得好的精度則需要更長的導(dǎo)頻序列對準(zhǔn)到各個特征子方向上。相對于強相關(guān)信道而言，在有限的導(dǎo)頻長度和總功率約束下，其所能獲得信道估計精度就會受到較大影響。最后，隨著總功率的增加，三種導(dǎo)頻方案的信道估計精度都變得越來越好，并且在高信噪比時，三種方案的MSE性能達到一致。

圖3 不同導(dǎo)頻方案下的歸一化均方誤差性能對比(N=100,ρd=10 dB)Fig.3 Comparison of normalize mean square error (NMSE) performance with different pilot schemes (N=100,ρd=10 dB)

圖4描述了三種導(dǎo)頻方案的下行遍歷可達速率隨總功率約束的變化趨勢對比。從圖中可以看出，本文所提出的導(dǎo)頻方案具有最優(yōu)的性能，特別是在強相關(guān)信道下以及總功率處于中低值區(qū)間時，本文所提方案的遍歷速率的優(yōu)勢更加明顯。然而，對比圖3會發(fā)現(xiàn)，在強相關(guān)信道條件下，本文所提導(dǎo)頻方案的信道估計精度卻遠差于其他兩種導(dǎo)頻方案。本文所提方案在由較差的信道估計值條件下，卻帶來了較好的可達速率性能，而這主要歸功于本文所提方案在導(dǎo)頻序列功率分配上的特性以及實際的導(dǎo)頻序列占用長度。具體在于：強相關(guān)信道下，信道增益主要分布在少數(shù)幾個強特征方向上，即若干少量的特征值占據(jù)了整個信道增益的較大比例。因此，在本文所提的導(dǎo)頻方案中，給出的導(dǎo)頻序列功率主要集中在少量的特征方向上，并且使用了較少的導(dǎo)頻序列長度，也正是如此，使得一個相干間隔內(nèi)有更多的符號用于發(fā)送有效數(shù)據(jù)。結(jié)合圖5與圖6可以清晰看到，在總功率P=-10 dB和0 dB時，本文所提方案中的導(dǎo)頻序列長度分別為1和2，而此時MSE最小化的導(dǎo)頻方案卻使用了長度為4和9的導(dǎo)頻序列。值得注意的是，隨著信道相關(guān)性的減弱，三種導(dǎo)頻方案下的遍歷可達速率絕對值均有所下降，這主要是由于有限的導(dǎo)頻序列長度和總功率約束，使得三種導(dǎo)頻方案獲得的信道精度均大為下降，也削弱了本文所提導(dǎo)頻方案在可達速率方面的性能增益。綜上所述，本文所提方案以較少的信道估計精度損失，帶來了較好的遍歷可達速率增益，具有更好的使用價值，特別是在強相關(guān)信道下具有更強的應(yīng)用場景。

圖4 不同導(dǎo)頻方案下的下行遍歷可達速率性能對比(N=100,ρd=10 dB)Fig.4 Comparison of downlink ergodic achievable rate performance with different pilot schemes (N=100,ρd=10 dB)

圖5 總功率約束P=-10 dB時，導(dǎo)頻序列對應(yīng)于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.5 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=-10 dB (N=100,ρd=10 dB)

圖6 總功率約束P=0 dB時，導(dǎo)頻序列對應(yīng)于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.6 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=0 dB (N=100,ρd=10 dB)

圖5至圖8展示了不同總功率約束條件下，導(dǎo)頻序列對應(yīng)在不同的信道特征子方向分配的功率值。從圖中可以看到，兩種導(dǎo)頻方案均是在信道的強特征子方向上分配更多的功率，而弱信道特征方向上分配較少甚至為零功率。然而，所不同的是，本文所提出的導(dǎo)頻方案，在總功率較小時，會使用更少的導(dǎo)頻序列長度，而將功率盡可能多的分在強特征方向上。特別是在圖5中，本文所提導(dǎo)頻方案僅使用了一個導(dǎo)頻序列符號，并且將功率全部分配于該方向上，主要是為了在波束成型階段將功率匹配到最強的信道特征方向上，從而可以獲得更好地波束成型增益。盡管這樣做會對信道估計精度帶來一定影響，但是，從另一個角度來看，在一個信道相干間隔Tc內(nèi)，導(dǎo)頻長度的減小則意味著留出了更多的時長資源用于發(fā)送有效數(shù)據(jù)，從而對整個系統(tǒng)的有效數(shù)據(jù)傳輸速率是有益的。隨著總功率約束的增加，可以看到，基于MSE最小化的導(dǎo)頻方案則趨于等功率分配，而本文所提導(dǎo)頻方案則始終呈現(xiàn)出明顯的階差功率分配特性。同時，兩種導(dǎo)頻方案隨著總功率約束的增加，可使用的導(dǎo)頻序列長度也在逐漸增加。但是，本文所提方案中，導(dǎo)頻序列的實際使用長度隨著總功率約束呈現(xiàn)緩慢增加的趨勢，而MSE最小化準(zhǔn)則下的導(dǎo)頻方案，則是將有限的功率分配在盡可能多的導(dǎo)頻長度上。由此說明，不同的導(dǎo)頻設(shè)計方案下，導(dǎo)頻序列長度與實際系統(tǒng)的總功率有著迥異的關(guān)系。

圖7 總功率約束P=10 dB時，導(dǎo)頻序列對應(yīng)于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.7 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=10 dB (N=100,ρd=10 dB)

圖8 總功率約束P=20 dB時，導(dǎo)頻序列對應(yīng)于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.8 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=20 dB (N=100,ρd=10 dB)

5 結(jié)論

本文針對FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，聯(lián)合考慮信道空間相關(guān)性、信道估計進行以及下行波束成型方案對導(dǎo)頻信號設(shè)計過程中的影響，提出了一種以下行遍歷可達速率最大化為目標(biāo)、以系統(tǒng)總功耗為約束的導(dǎo)頻信號優(yōu)化方法。由于原始優(yōu)化問題的代價函數(shù)無精確解析形式，無法顯示的表達遍歷速率與導(dǎo)頻矩陣變量的關(guān)系，根據(jù)確定性等價原理推導(dǎo)得出了遍歷速率的閉合形式表達式，從而定量的描述遍歷速率與導(dǎo)頻矩陣的數(shù)學(xué)關(guān)系?；诖?，通過主導(dǎo)理論，推導(dǎo)出了最優(yōu)導(dǎo)頻信號的矩陣結(jié)構(gòu)特征，即列正交特性。該結(jié)構(gòu)特性與基于最小均方誤差最小化的導(dǎo)頻方案具有類似的結(jié)構(gòu)特性，也就是將導(dǎo)頻序列對準(zhǔn)信道子特征方向。進而，利用該導(dǎo)頻的結(jié)構(gòu)特性，將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于導(dǎo)頻序列的功率分配凹問題，再利用拉格朗日對偶法，得到了最優(yōu)導(dǎo)頻信號的解析解。從該最優(yōu)解表達式可以看到，所提出的導(dǎo)頻功率分配具有多級水平線注水特點，即針對不同強度的信道特征子方向，劃定不同的注水線。數(shù)值仿真結(jié)果首先驗證了遍歷速率閉合表達式與理論值的近似逼近程度，進而與基于最小均方誤差準(zhǔn)則導(dǎo)頻方案和等功率正交導(dǎo)頻方案進行了性能比較，分析了其性能增益的主要原因。

附錄

引理1證明

由于用到大維矩陣?yán)碚撝械臐u進性分析，根據(jù)文獻[18]和文獻[24]所述，假設(shè)信道相關(guān)陣Ω具有一致有界譜范數(shù)。進而，根據(jù)文獻[25]引理1(或文獻[18]引理4)，可以得到接收信噪比的確定性等價近似量為

(30)

(31)

進而，利用主導(dǎo)收斂和連續(xù)映射理論[18]，可以得到式(10)中下行遍歷可達速率的確定性等價近似值為

(32)

證畢。