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摘要：為了使學(xué)生更加全面的理解靜電力，本文將靜電學(xué)的內(nèi)容拓展到電解質(zhì)溶液體系，在混合價態(tài)的離子溶液中，利用泊松—玻爾茲曼理論，解決關(guān)于電解質(zhì)溶液中靜電力是否為短程力的爭論。

關(guān)鍵詞：靜電力；長程力；短程力；電解熔液；泊松—玻爾茲曼理論

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）23-0216-02

一、引言

靜電學(xué)為大學(xué)物理學(xué)的重要內(nèi)容之一，靜電場中的庫侖定律表明真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力分別與其所帶電荷大小成正比，與二者之間距離平方成反比。若將靜電學(xué)問題拓展到電解質(zhì)溶液環(huán)境，由于平衡離子需要在最大熵及最小能量之間達成妥協(xié)，在帶電體表面形成電雙層結(jié)構(gòu)[1]。一般認(rèn)為，由于靜電屏蔽效應(yīng)減少了帶電體之間的相互作用的有效范圍，導(dǎo)致溶液體系中靜電力具有短程性，但有工作指出溶液中靜電雙層力為長程力（Electrostatic double-layer forces are long-ranged）[2]，導(dǎo)致電解質(zhì)溶液中靜電力是否具有長程性存在爭議[1，2]。

二、泊松—玻爾茲曼理論

生物膜處于對稱電解質(zhì)溶液中，電解質(zhì)溶液離子電量為±ze，在生物膜附近，異號電荷離子會被吸引至其附近，同號電荷離子則被排斥，當(dāng)電場對離子作用勢與離子的熵達到平衡，在生物膜表面形成電雙層機構(gòu)。距離生物膜無窮遠處，電勢為0，離子分布幾乎不受生物膜的影響，即c+=c-=c∞。若生物膜尺度為無限大，生物膜附近電荷分布為：

c（x）=c∞e

c（x）=c∞e

如圖1所示，c（x）表示坐標(biāo)位置x處的溶液中正離子的濃度分布，c（x）表示坐標(biāo)位置x處的溶液中負(fù)離子的濃度分布，V（x）是位置x處的電勢，KB是玻爾茲曼常量，T為熱力學(xué)溫度。式中±zeV（x）是正負(fù)離子在電勢V（x）處的電勢能。

生物膜附近任一點的電荷密度可以表示為：

ρ（x）=zec+（x）-zec-（x） （2）

電荷密度與電勢之間的關(guān)系可以由泊松方程表示：

=- （3）

將（1）、（2）代入（3）即可得到：

=（e-e） （4）

（4）式描述鹽溶液中電勢的非線性微分方程，即泊松—玻爾茲曼方程[1]。

三、一價、二價對稱電解質(zhì)混合溶液中的電勢分布

設(shè)無窮遠處電勢為0，電解質(zhì)溶液由一價、二價對稱電解質(zhì)構(gòu)成。c、c分別表示坐標(biāo)x處一價正、負(fù)離子的濃度。c、c分別表示坐標(biāo)x處二價正、負(fù)離子濃度，

e為單位電荷數(shù)，V（x）為電勢。ε、ε分別為空氣介電常數(shù)，電解質(zhì)溶液的相對介電常數(shù)，于是有：

c=×ce，c=×ce，c=×ce，c=×ce

令γ=eV（x）/kBT，則有：

=×=×（e-e）+×（e-e）

定義N=，N=，則上式變?yōu)椋?/p>

=Nsinh（γ）+2Nsinh（2γ）

將公式的左右兩邊同時乘以2，則可得到：

2=2Nsinh（γ）+4Nsinh（2γ）

解方程化簡可以得到：

=-2

若邊界條件為：γ=0，=0。

如表1，控制N大小等于0.01不變，改變N=，從而控制與N對應(yīng)的c1；同樣，控制N等于0.01大小不變，改變N=，從而控制與N對應(yīng)相應(yīng)的c2（如表2），進而確定表1、表2對應(yīng)條件下，生物膜附近電勢分布情況。

圖2（a）對應(yīng)二價電解質(zhì)溶液濃度確定的情況下，電勢隨著一價電解質(zhì)溶液濃度變化的情況，而圖2（b）對應(yīng)一價電解質(zhì)溶液濃度確定的情況下，電勢隨著二價電解質(zhì)溶液濃度變化的情況，顯然，隨著離子濃度的增加，生物膜附近電勢急劇衰減，而且二價電解質(zhì)溶液濃度變化引起的衰減較一價電解質(zhì)溶液濃度變化引起的衰減顯著。

四、結(jié)果討論

對于一價、二價混合對稱電解質(zhì)溶液，隨著離子濃度的增加，生物膜附近電勢均顯著衰減，而有效電勢距離均處在20nm以內(nèi)，若其他帶電體與生物膜發(fā)生相互作用，必須處于有效電勢范圍之內(nèi)，因此電解質(zhì)溶液中靜電力為短程力。

參考文獻：

[1]Physical Biology：energy，information and life，Philip C.Nelson，W.H. Freeman and Company，New York，2004.

[2]The colloidal domain，where Physics，Chemistry，Biology，and Technology meet，D.Fennell Evans and Hakan Wennerstrom，WILEY-VCH，New York，1999.