廣東 鄭榮坤

一、試題的解法

學(xué)生在求解該試題的過程中，暴露出線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)比較薄弱，如何讓學(xué)生全面地掌握線性規(guī)劃問題？筆者嘗試從多個(gè)視角思考這道線性規(guī)劃試題.

二、從約束條件的視角

1.“變”出區(qū)域面積

解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，

計(jì)算出交點(diǎn)A(3,3)，B(0,2)，C(1,0).

直線BC的方程為2x+y-2=0，

2.“變”出區(qū)域內(nèi)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)

解法1：畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖所示，在平面區(qū)域中畫網(wǎng)格線，由圖可見，平面區(qū)域內(nèi)有5個(gè)整數(shù)點(diǎn).

解法2：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖(變式1圖)所示，計(jì)算出交點(diǎn)A(3,3)，B(0,2)，C(1,0)，則0≤x≤3,x∈Z.

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，此時(shí)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

綜上所述，平面區(qū)域內(nèi)有5個(gè)整數(shù)點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】從約束條件考慮，考查二元一次不等式組主要有：求不等式組所表示區(qū)域的面積，求不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù).求平面區(qū)域面積方法：畫出區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接計(jì)算出平面圖形的面積.這個(gè)考點(diǎn)比較簡單，學(xué)生也掌握得較好.而求平面區(qū)域內(nèi)整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，雖然解法有兩種，但解法1學(xué)生很難操作，而解法2大部分學(xué)生沒有接觸過，因此，教師重點(diǎn)介紹解法2，由于解法2避免了畫圖操作難的問題，因此非常受學(xué)生歡迎.

三、從目標(biāo)函數(shù)的視角

1.“變”出線性最值

解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，

計(jì)算出交點(diǎn)A(3,3)，B(0,2)，C(1,0).目標(biāo)函數(shù)z=x+2y在點(diǎn)A(3,3)處取得最大值，在點(diǎn)C(1,0)處取得最小值，所以zmax=3+2×3=9，zmin=1+2×0=1，故z=x+2y的取值范圍為[1,9].

2.“變”出斜率型最值

3.“變”出兩點(diǎn)距離型最值

【點(diǎn)評(píng)】從目標(biāo)函數(shù)考慮，自然考慮將其變?yōu)椋壕€性最值、斜率型最值、距離型最值，因?yàn)檫@三種為最基本的類型.由于學(xué)生接觸得多，學(xué)生自然做得較好.但學(xué)生在求解距離型最值時(shí)，仍然有許多學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)為在B(0,2)處取得最小值，所以教師要強(qiáng)調(diào)，不一定在交點(diǎn)處取得最值，可能在邊界線上取得最值，要認(rèn)真分析.

四、從含參數(shù)的視角

1.“變”出參數(shù)求值

2.“變”出參數(shù)求取值范圍

3.“變”出最優(yōu)解非唯一

【點(diǎn)評(píng)】從目標(biāo)函數(shù)考慮，自然考慮將其變?yōu)椋簠?shù)求值、參數(shù)求取值范圍、最優(yōu)解非唯一，因?yàn)樗鼈兪呛瑓?shù)問題的基本類型.不管參數(shù)在線性約束條件還是在目標(biāo)函數(shù)，關(guān)鍵抓不變量，尋找參數(shù)幾何意義.最優(yōu)解非唯一就是目標(biāo)函數(shù)取得最值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，說明目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的平行直線與可行域內(nèi)的一邊所在直線平行.

五、從知識(shí)交匯的視角

1.“變”出與命題交匯

( )

A.p∧q_____________________B.p∨q

2.“變”出與條件交匯

( )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：如圖所示，條件p所表示的平面區(qū)域Ω為以E(1,1)為圓心，3為半徑的圓周及其內(nèi)部，條件q所表示的平面區(qū)域Ω1為△ABC邊界及其內(nèi)部.由于區(qū)域Ω包含區(qū)域Ω1，則p是q必要不充分條件，故選B.

3.“變”出與不等式交匯

4．“變”出與三角函數(shù)交匯

5.“變”出與概率交匯

6.“變”出與向量交匯

7.“變”出與解析幾何交匯

【點(diǎn)評(píng)】雖然線性規(guī)劃并非高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，卻備受命題者的青睞，以靈活多變的形式頻頻出現(xiàn)，命題新、立意高，以簡單線性規(guī)劃知識(shí)為載體，與其他知識(shí)的交匯，從而使學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃應(yīng)接不暇.所以從知識(shí)交匯而變式，拓展學(xué)生綜合能力是非常必要的.

六、從應(yīng)用的視角

1.“變”出應(yīng)用于數(shù)列

變式16：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.若4a1≤a3+3，a4≤2a1+6，S2≥2，則數(shù)列 {an}的前4項(xiàng)和S4的最大值為_______.

解析：該題可用線性規(guī)劃來求解，

如圖所示，S4在點(diǎn)A(3,3)處取得最大值，

即當(dāng)a1=d=3時(shí)，(S4)max=4×3+6×3=30.

2.“變”出應(yīng)用于方程實(shí)根分布

3.“變”出應(yīng)用于函數(shù)

【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃實(shí)質(zhì)上是采用幾何的方法求解代數(shù)中二元條件最值，只要二元條件最值中，約束條件為二元一次不等式組，就可以應(yīng)用線性規(guī)劃思想去求解.