蔣 豹，張 強，崔 巍，劉昱良，蔣 婷

(東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江 大慶 163318)

階梯軸在實際工作中常常發(fā)生斷裂事故：某減速器齒輪箱在實際運行了約250d后，齒輪軸載聯(lián)軸器發(fā)生斷裂事故[1]；某石油化工廠在正常運行情況下，高壓除焦水泵的泵軸突然發(fā)生斷裂，引起生產(chǎn)裝置停產(chǎn)[2]；某45鋼減速器軸在使用過程中發(fā)生斷裂。經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)這些事故都是因軸變徑處存在嚴重的應(yīng)力集中等因素所引發(fā)的[3]。因此，在階梯軸的設(shè)計中，為了減少因應(yīng)力集中而造成的斷裂破壞事故，常常在階梯軸大小端過渡處設(shè)計合理尺寸的圓角。在拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)等載荷作用下，研究有過渡圓角的階梯軸的應(yīng)力集中問題對軸類結(jié)構(gòu)的設(shè)計與應(yīng)用具有重要的意義。

早期人們多采用理論推導的方法來研究應(yīng)力集中問題。電測法、光彈性法、散斑干涉法、云紋法等實驗手段也常被用來研究應(yīng)力集中問題。隨著計算機、有限元法、邊界元法的快速發(fā)展，學者們開始運用有限元法來研究應(yīng)力集中問題：張明等[4]對受拉階梯軸的應(yīng)力集中問題進行了有限元分析，給出了應(yīng)力對圓角半徑的敏度曲線；陳博等[5]分析了彎曲和扭轉(zhuǎn)載荷下切口參數(shù)對軸的應(yīng)力場強的影響；王正廷等[6]采用有限元法，求出轉(zhuǎn)矩軸卸載槽的理論應(yīng)力集中系數(shù)；馬平[7]根據(jù)數(shù)值解擬合出了扭轉(zhuǎn)載荷作用時軸的各種切口處的應(yīng)力集中系數(shù)公式。

本文使用ANSYS有限元軟件，模擬階梯軸在拉力、扭矩、彎矩作用下的應(yīng)力集中現(xiàn)象，分析有限元模型中的影響因素，通過實驗法驗證有限元計算的可靠性。

1 基準應(yīng)力與應(yīng)力集中系數(shù)

1.1 基準應(yīng)力

基準應(yīng)力是根據(jù)部件結(jié)構(gòu)形式選取的某個截面上的平均應(yīng)力。其選取原則有：1)如果造成應(yīng)力集中的因素不存在，取結(jié)構(gòu)未減小截面上的平均應(yīng)力；2)如果是多截面結(jié)構(gòu)，取結(jié)構(gòu)最小截面上的平均應(yīng)力；3)如果結(jié)構(gòu)較長，取遠離應(yīng)力集中處的截面上的平均應(yīng)力[8]。

本文的基準應(yīng)力按原則2取階梯軸小端截面上的平均應(yīng)力。不同載荷作用下的結(jié)構(gòu)尺寸及力學模型示意圖如圖1所示,圖中D為階梯軸大端直徑,P為軸向拉力,M為彎矩,T為扭矩,d為階梯軸小端直徑。

圖1 階梯軸力學模型示意圖

拉伸時基準應(yīng)力σnom1為

(1)

彎曲時基準應(yīng)力σnom2為

(2)

扭轉(zhuǎn)時基準應(yīng)力σnom3為

(3)

1.2 應(yīng)力集中系數(shù)

在實際工程應(yīng)用中，有些結(jié)構(gòu)必須存在切口、圓角、孔隙等特征，勢必造成截面尺寸發(fā)生變化。很多學者通過實驗和理論分析研究，發(fā)現(xiàn)在這些截面發(fā)生突變的地方，應(yīng)力分布不均勻，有應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象。而這種因為幾何尺寸的突變引起應(yīng)力急劇變化的現(xiàn)象，被稱為應(yīng)力集中[8]。

應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力值σmax與選取的基準應(yīng)力σnom的比值，定義為應(yīng)力集中系數(shù)k[9]。

(4)

2 有限元模型

2.1 模型參數(shù)

階梯軸大小端圓軸長度L=200mm，小端直徑d=50mm，大端直徑D=100mm，圓角半徑r=10mm。材料彈性模量E=210GPa，泊松比μ=0.3。

使用ANSYS有限元軟件，將階梯軸離散成solid186結(jié)構(gòu)實體單元，該單元為高階三維20節(jié)點單元，采用二次位移插值形函數(shù)，可很好地適應(yīng)圓角處的曲線邊界。圓角處進行局部網(wǎng)格細化，有限元模型如圖2所示。

圖2 圓軸階梯軸有限元模型

2.2 載荷及邊界條件

邊界條件：階梯軸大端B截面為固定端約束，階梯軸小端A截面施加載荷。

載荷：基準應(yīng)力取100MPa，將幾何尺寸代入式(1)～式(3)，分別求出基準應(yīng)力對應(yīng)的拉力、扭矩和彎矩，將載荷施加在階梯軸小端A截面上，求出過渡圓角處的最大應(yīng)力，其值除以100便是圓角處的應(yīng)力集中系數(shù)k。

由于實體單元只有3個方向的平動自由度，無法施加力矩。為了施加扭矩和彎矩，根據(jù)多點約束方程理論[10]，本文采取將階梯軸A截面上的節(jié)點捆綁在A截面中心的導航節(jié)點的方法。具體操作是將階梯軸A截面上的所有節(jié)點創(chuàng)建為一個節(jié)點組，同時在A截面的中心位置處創(chuàng)建一個新的節(jié)點(即導航節(jié)點)，導航節(jié)點具有3個平動和3個轉(zhuǎn)動自由度，然后將之前創(chuàng)建的節(jié)點組與導航節(jié)點捆綁需要的自由度。如A截面受到軸力作用時，捆綁y方向的平動自由度；分別受到扭矩和彎矩作用時，分別捆綁y和z方向的轉(zhuǎn)動自由度。通過對導航節(jié)點施加集中力和集中力矩，實現(xiàn)對實體單元載荷的施加。

3 影響因素分析

為了研究應(yīng)力集中系數(shù)和階梯軸圓角半徑與小端圓軸直徑比值的關(guān)系，首先需要排除其他因素對應(yīng)力集中系數(shù)的影響。通過分析得出可能的影響因素有局部網(wǎng)格細化等級n、圓周截面份數(shù)m和圓軸長度L。下面對這些影響因素進行計算分析。

3.1 局部網(wǎng)格細化等級的影響

圖3給出的是在拉力、扭矩和彎矩作用下，階梯軸圓角網(wǎng)格細化等級n與應(yīng)力集中系數(shù)k的曲線圖。從圖可以看出,細化等級對拉力作用的應(yīng)力集中系數(shù)影響最大，其次是扭矩，對彎矩作用影響最小。同時可以看出，當n≥2時，應(yīng)力集中系數(shù)都趨于平穩(wěn)，說明在圓角局部細化時，細化等級的增加不影響應(yīng)力的大小，所以后續(xù)計算時n取為2即可。

圖3 圓角網(wǎng)格細化等級的影響

3.2 圓周單元份數(shù)的影響

圖4給出的是在拉力、彎矩和扭矩作用下，階梯軸在圓周截面上劃分的份數(shù)m與應(yīng)力集中系數(shù)k的曲線圖。從圖可以看出,圓周份數(shù)對拉伸應(yīng)力集中系數(shù)沒有影響，對扭轉(zhuǎn)和彎曲時的應(yīng)力集中系數(shù)有一定的影響，但當截面圓周份數(shù)m≥24時也趨于平穩(wěn)。綜合考慮3種載荷情況，在之后的計算中截面圓周份數(shù)m取為24即可。

圖4 圓周份數(shù)的影響

3.3 圓軸長度的影響

圖5給出的是不改變直徑，在拉力、彎矩和扭矩作用下，圓角的應(yīng)力集中系數(shù)隨L/d的變化曲線。從圖可以看出,當L/d≤4時，對應(yīng)力集中系數(shù)影響較大，這是因為邊界條件對圓角的應(yīng)力集中情況產(chǎn)生了影響。當L/d>4時，應(yīng)力集中系數(shù)趨于平穩(wěn)，說明此時邊界條件對圓角應(yīng)力的大小不再產(chǎn)生影響，因此之后的計算中取L/d=4即可。

圖5 L/d的影響

4 階梯軸應(yīng)力集中分析

在前面影響因素分析的基礎(chǔ)上，選取n=2、m=24、L/d=4進行計算。階梯軸過渡圓角半徑r取不同值，階梯軸小端直徑d取50mm，大端直徑D取100mm，則軸大、小端的長度L都取為200mm。

4.1 應(yīng)力集中系數(shù)分析

圖6給出的是在拉力、彎矩和扭矩作用下階梯軸圓角處的應(yīng)力集中系數(shù)隨r/d變化的曲線，可見隨著r/d的增大，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，應(yīng)力集中現(xiàn)象逐漸不明顯。

圖6 應(yīng)力集中系數(shù)隨r/d變化曲線

由圖6(a)可見，當r/d=0.010時，應(yīng)力集中系數(shù)實驗解[11]為3.524 3，有限元解為3.484 5，誤差為1.14%；當r/d=0.030時，應(yīng)力集中系數(shù)實驗解為2.851 0，有限元解為2.886 0，誤差為1.23%；當r/d=0.100時，實驗解為1.965 0，有限元解為2.047 5，誤差為4.20%。當r/d≥0.200時，實驗解與有限元解最大誤差為2.58%，最小誤差為0.43%。誤差都在5%以內(nèi)，說明在計算拉力作用下的階梯軸應(yīng)力集中系數(shù)方面采用有限元方法是合理的。

由圖6(b)可見，當r/d=0.030時，實驗解[11]為2.374 6，有限元解為2.344 8，誤差為1.27%；當r/d=0.100時，實驗解為1.802 0，有限元解為1.745 3，誤差為3.25%；當r/d>0.100時，實驗解與有限元解最大誤差為2.51%，最小誤差達到0.48%。誤差相對較小，即有限元法與實驗法比較吻合，說明采用有限元法計算彎矩作用下的階梯軸應(yīng)力集中系數(shù)是合理的并且精度較高。

由圖6(c)可見，因為實驗擬合公式有一定的適用范圍，所以圖中只給出了0.125≤r/d≤0.500的實驗解[11]。當r/d=0.125時，實驗解為1.682 4，有限元解為1.645 3，誤差為2.25%；當r/d≥0.200時，實驗解與有限元解最大誤差為3.73%，最小誤差達到0.86%。誤差較小，在允許范圍內(nèi)，說明采用有限元法計算扭矩作用下的階梯軸應(yīng)力集中系數(shù)也是合理準確的。

因為隨著r/d的增加，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，所以在對工程結(jié)構(gòu)進行強度校核時，若結(jié)構(gòu)不滿足強度要求，可通過適當增大圓弧倒角半徑以減小集中應(yīng)力，使之滿足強度要求。

4.2 應(yīng)力集中位置分析

為了將應(yīng)力集中的位置表達清楚，繪制如圖7所示的應(yīng)力集中位置示意圖。B點為圓角與大圓軸的切點位置，A點為圓角與小圓軸的切點位置，C點為圓弧上任意一點，令BC段弧長為S1，BA段弧長為S，用S1/S表示圓角上任意一點的位置。

圖7 圓弧倒角應(yīng)力集中位置

圖8給出的是在拉力、彎矩和扭矩作用下，r/d=0.200時階梯軸的過渡圓角處的應(yīng)力云圖。圖9給出的是不同r/d的階梯軸，在拉力、彎矩和扭矩作用下過渡圓弧上的應(yīng)力分布曲線。

圖8 r/d=0.200時的過渡圓角處應(yīng)力云圖

從圖8剖面圖可以看出，應(yīng)力集中的位置均在階梯軸小端圓軸表面與過渡圓弧的切點附近，此外還可看出不同載荷作用時最大應(yīng)力分布的范圍大小略有差別。

從圖9可以看出，r/d越小最大應(yīng)力越大，且最大應(yīng)力在圓弧上分布的范圍越大，這樣結(jié)構(gòu)破壞的可能性就越大。在圖7中以E點表示應(yīng)力集中的位置，應(yīng)力集中系數(shù)手冊[8]中給出應(yīng)力集中的位置E滿足5°≤∠AOE≤10°，即0.89≤S1/S≤0.94。從圖9可以看出，3種載荷作用下，不同r/d的應(yīng)力集中系數(shù)都在S1/S=0.89的位置處，即角度∠AOE=5°，與應(yīng)力集中手冊中給出的位置相吻合。

圖9 不同r/d時過渡圓弧上的應(yīng)力分布曲線

4.3 受拉伸和彎曲組合作用

此處以r/d=0.25為例，驗證應(yīng)力集中現(xiàn)象是否符合疊加原理。

圖10給出的是拉力、彎矩組合作用和拉力單獨作用、彎矩單獨作用的應(yīng)力集中系數(shù)隨位置變化曲線?？梢钥闯鼋M合作用和單獨作用應(yīng)力集中的位置相同。拉力單獨作用時，最大應(yīng)力為78.543MPa，應(yīng)力集中系數(shù)為0.785；彎矩單獨作用時，最大應(yīng)力為68.323MPa，應(yīng)力集中系數(shù)為0.683；組合作用時，最大應(yīng)力為146.601MPa，應(yīng)力集中系數(shù)為1.466，等于單獨作用的代數(shù)和，符合疊加原理。應(yīng)力云圖如圖11所示。

圖10 應(yīng)力集中系數(shù)隨位置變化曲線

圖11 應(yīng)力云圖

5 結(jié)論

本文使用有限元法，對階梯軸過渡圓角應(yīng)力集中系數(shù)進行計算，得出以下結(jié)論：

1) 根據(jù)多點約束方程理論，實現(xiàn)了實體單元集中力與集中力矩的施加。

2) 分析了拉力、扭矩、彎矩作用下有過渡圓角臺肩的應(yīng)力集中系數(shù)的影響因素，得到了應(yīng)力集中系數(shù)與影響因素的關(guān)系曲線。

3) 得到了拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲狀態(tài)下不同r/d的臺肩過渡圓角上不同位置的應(yīng)力集中系數(shù)曲線，可以看出最大應(yīng)力出現(xiàn)在過渡圓角與小端圓柱切點位置附近。

4) 在排除其他影響因素的條件下，計算了軸力、扭矩、彎矩作用下臺肩過渡圓角處的應(yīng)力集中系數(shù)。得到的應(yīng)力集中系數(shù)k與r/d的關(guān)系曲線，與應(yīng)力集中系數(shù)手冊中的光彈性實驗解吻合程度較高，證明了有限元法的準確性，為工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)力集中分析提供了一種有效的有限元計算方法。同時，可以通過查找應(yīng)力集中系數(shù)曲線對設(shè)計結(jié)構(gòu)進行強度校核，以指導結(jié)構(gòu)設(shè)計。