涂 異，汪金能，朱曲平，安雪瑋，梅 藝，陳東祖

(重慶工程學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，重慶 400000)

水文水資源及水利工程中，有大量問題涉及時(shí)間序列，如徑流量預(yù)測、蒸發(fā)量預(yù)測等。而這些問題正是水利工作者決策時(shí)所需參考的關(guān)鍵因素之一[1,2]。

有大量數(shù)學(xué)方法被引入水文時(shí)間序列預(yù)測之中。如周秀平等[3]應(yīng)用最小二乘支持向量機(jī)進(jìn)行年徑流量預(yù)測，并通過馬爾科夫鏈對模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，進(jìn)而組合得到最終結(jié)果；蔣曉輝等[4]提出了徑流預(yù)測的混合回歸模型，將該模型應(yīng)用于黃河三門峽站年徑流量預(yù)測之中，并取得了較為滿意的應(yīng)用效果；覃光華等[5]采用小波方法對徑流序列進(jìn)行分解，以獲取其確定性項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，爾后采用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)再次建模，建立了WA-GRNN組合模型，并將該模型應(yīng)成功應(yīng)用于沱江中上游三皇廟水文站年徑流預(yù)測之中；崔文東[6]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于徑流預(yù)測中，同時(shí)比較了單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF網(wǎng)絡(luò)和GRNN網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用效果，結(jié)果表明后三者都能取得較前者更好的結(jié)果。另外，還有灰色理論等諸多數(shù)學(xué)模型被用于水文時(shí)間序列的預(yù)測之中[7]。

由上述可見采用數(shù)據(jù)驅(qū)動建模進(jìn)行水文時(shí)間序列預(yù)測是目前的一種較為可靠的方法。極限學(xué)習(xí)機(jī)是一種典型的數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法，其實(shí)質(zhì)上是一種單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定該方法具有運(yùn)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，目前已在滑坡位移預(yù)測、風(fēng)力預(yù)測等工程領(lǐng)域得到了一定應(yīng)用。但標(biāo)準(zhǔn)極限學(xué)習(xí)機(jī)也存在一些缺點(diǎn)，如其前饋層網(wǎng)絡(luò)權(quán)值仍需隨機(jī)給定，一定程度上降低了該方法的穩(wěn)健性。針對上述不足，一些修正極限學(xué)習(xí)機(jī)的方法如核極限學(xué)習(xí)機(jī)也被陸續(xù)提出，大大改善了其原有的性能[8-9]：最為典型的即是參照最小二乘支持向量機(jī)(LSSVM)的特點(diǎn)，將核方法引入極限學(xué)習(xí)機(jī)中，即核極限學(xué)習(xí)機(jī)(limit learning machine with kernel function, KELM)。研究表明核極限學(xué)習(xí)機(jī)能夠取得更優(yōu)于LSSVM的結(jié)果。但由于核函數(shù)有多種類型，典型的有RBF核函數(shù)和多項(xiàng)式核函數(shù)，選擇不同的核函數(shù)對模型結(jié)果具有較大的影響。從目前的研究上來看：融合多種核函數(shù)的混合核函數(shù)方法能夠獲得較為滿意的結(jié)果。

鑒于上述分析，本文擬提出一種水文時(shí)間序列預(yù)測的新方法，即混合核PSO-KELM模型。應(yīng)用蘭州站年徑流量和金沙河流域年徑流量實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證新方法的合理性。

1 混合核PSO-KELM模型

1.1 模型的構(gòu)建

極限學(xué)習(xí)機(jī)[8](ELM)是一種簡單、有效的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。因其結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)，已在工程領(lǐng)域得到了一定應(yīng)用。與BP模型不同，ELM模型無需對網(wǎng)絡(luò)中的連接權(quán)值進(jìn)行迭代調(diào)整，僅通過設(shè)置網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)量就能夠通過解析計(jì)算得出網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值，因此擁有計(jì)算速度快和泛化性能好的優(yōu)點(diǎn)。

盡管ELM方法擁有上述眾多優(yōu)點(diǎn)，但由于其輸入權(quán)值和隱含層偏差是在網(wǎng)絡(luò)初始化時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生的，在一定程度上導(dǎo)致了算法輸出權(quán)值的不穩(wěn)定[9]。為此KELM通過引進(jìn)核函數(shù)替換ELM算法中原有的隨機(jī)映射函數(shù)，改善了ELM方法輸出權(quán)值不穩(wěn)定的缺點(diǎn)[9]。給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)p，其期望輸出值表示為t。按照標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化的觀點(diǎn)，KELM的訓(xùn)練函數(shù)可表示為：

(1)

其中，ξ=[ξi,1,ξi,2,…,ξi,m]T表示樣本xi的模型實(shí)際輸出與期望輸出的誤差；β是隱含層與輸出層節(jié)點(diǎn)間的連接權(quán)值；C表示懲罰系數(shù)；h(xi)為訓(xùn)練樣本xi的隱含層輸出值。根據(jù)KKT理論，可以將式(1)等效為式(2)：

(2)

式中：αi,j是Lagrange乘子；βj為連接隱含層和第j個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)值向量，且β=[β1,β2,…,βm]。據(jù)KKT優(yōu)化條件，有：

(3)

其中，ai=[ai1,…,aim]T,a=[ai1,…,aiN]T，再對式(2)進(jìn)行求解，整理得到如下表達(dá)式：

(4)

根據(jù)Mercer條件，定義KELM 的核矩陣為：

Ω=HHT:Ωi,j=h(xi)·h(xj)=K(xi,xj)

(5)

則KELM模型的輸出表達(dá)式為：

(6)

通常認(rèn)為，滿足Mercer條件的函數(shù)即可作為KELM的核函數(shù)。按照多核學(xué)習(xí)的思想，定義混合核函數(shù)[10,11]如下：

K=aKpoly+(1-a)Krbf=

(7)

構(gòu)造的混合核函數(shù)K結(jié)合了全局函數(shù)多項(xiàng)式核函數(shù)Kpoly和局部函數(shù)RBF核函數(shù)Krbf的優(yōu)點(diǎn)。a表示Kpoly和Krbf之間的調(diào)節(jié)系數(shù)，當(dāng)a趨向1 時(shí)，此時(shí)的K的功能就偏向于Kpoly；同理，當(dāng)a趨向于0時(shí)，K就偏向于Krbf。

對式(7)進(jìn)行分析，可知需對式(7)中3個(gè)變量δ、q、a優(yōu)選，而上述的懲罰系數(shù)C也可用優(yōu)化方法進(jìn)行尋優(yōu)[11]。則混合核KELM的求解問題可歸結(jié)為關(guān)于四個(gè)變量的優(yōu)化問題，即x=[C,δ,q,α]。目前，解決這類問題的一個(gè)有效方法是運(yùn)用智能算法進(jìn)行尋優(yōu)。其中，智能算法包括遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)、人工蜂群算法(ABC)等，本文選擇最易實(shí)現(xiàn)的PSO算法優(yōu)化混合核KELM的四個(gè)參數(shù)。PSO算法的核心是粒子更新速度和位置，即[12]：

(8)

式中：w表示慣性權(quán)重，通常取值從0.9到0.4遞減；c1、c2表示學(xué)習(xí)因子，通常取值均為2；r1、r2表示兩個(gè)隨機(jī)數(shù)。

應(yīng)用PSO算法對混合核KELM的待優(yōu)化參數(shù)x=[C,δ,q,α]進(jìn)行尋優(yōu)，選用適應(yīng)度最佳的一組參數(shù)作為混合核KELM模型的參數(shù)，其中適應(yīng)度的計(jì)算公式如下：

(9)

1.2 模型的進(jìn)一步分析

由上述分析可見，PSO-KELM模型本質(zhì)上也是一種黑箱模型，即其建模機(jī)理是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動，故該種模型具有普適性，只需要求數(shù)據(jù)樣本不能過少。正如引言所指出，這類基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模方法擅長處理非線性問題。而與其他數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法，如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、RBF模型相比，新模型在穩(wěn)健性上有了較大的改進(jìn)，這主要是新模型避免了隨機(jī)產(chǎn)生輸入權(quán)值和隱含層偏差的不足。另外，新模型綜合了核方法的優(yōu)點(diǎn)，使用徑向基核函數(shù)和多項(xiàng)式核函數(shù)相混合的方式，這能夠最大程度的保證模型的穩(wěn)健性。下文將以實(shí)例驗(yàn)證，對比新模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、RBF模型的應(yīng)用效果，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窈侠怼?/p>

2 工程實(shí)例

2.1 蘭州站年徑流量實(shí)例預(yù)測

本文以蘭州站年徑流量預(yù)測為例，檢驗(yàn)PSO-KELM是否有效。蘭州站1955-1982年年徑流量實(shí)測數(shù)據(jù)見圖1[7]。取1995-1977年的實(shí)測數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練模型，以獲取模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，后5年的實(shí)測數(shù)據(jù)用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，作為對比，同時(shí)和水文時(shí)間序列中采用較多的BP模型進(jìn)行徑流預(yù)測，以比較兩者方法之優(yōu)劣性。PSO-KELM模型和BP模型的預(yù)測結(jié)果見圖2。本文所有計(jì)算結(jié)果均由MATLAB實(shí)現(xiàn)。

圖1 蘭州站1955-1982年年徑流量實(shí)測數(shù)據(jù)Fig.1 Measured data of annual runoff of LanZhou Railway Station in 1955-1982

圖2 模型預(yù)測結(jié)果比較Fig.2 Comparison of model prediction results

兩種模型的相對誤差統(tǒng)計(jì)見表1：在1978～1980年間和1982年，顯然PSO-KELM模型精度高于BP模型，而在1981年，PSO-KELM模型精度低于BP模型，這可能與樣本的分布有關(guān)，這也是數(shù)據(jù)驅(qū)動建模的特點(diǎn)，即預(yù)測結(jié)果取決于樣本質(zhì)量。但從整體誤差統(tǒng)計(jì)上分析，無論是最大、最小、平均誤差，PSO-KELM模型精度都優(yōu)于BP模型。

表1 兩種模型的相對誤差Tab.1 Comparison of model relative error

2.2 金溝河流域年徑流量預(yù)測

以位于金溝河流域的八家戶站年徑流量實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀行?。金溝河流?957-2003年年徑流量數(shù)據(jù)見圖3所示[13]。以1957～1995年的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，1996-2003年的數(shù)據(jù)用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。作為比較，同時(shí)計(jì)算了BP模型和RBF模型的結(jié)果，三種模型的比較見圖4。

圖3 金沙河流域1957-2003年徑流量實(shí)測數(shù)據(jù)Fig.3 Measured data of annual runoff of Jinsha River Basin in 1957-2003

圖4 模型預(yù)測結(jié)果比較Fig.4 Comparison of model prediction results

三種模型的預(yù)測相對誤差對比見表2，可見除2003年外，PSO-KELM模型的預(yù)測結(jié)果都優(yōu)于前BP和RBF模型。仍然從整體誤差上分析，由表2可見，整體預(yù)測性能PSO-KELM模型最優(yōu)、其次為RBF模型、BP模型的性能最差。

表2 模型的相對誤差Tab.2 Comparison of model relative error

需要說明的是，在復(fù)雜性程度上，PSO-KELM模型與BP和RBF模型相比，既省卻了繁瑣的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程，又保證了預(yù)測準(zhǔn)確度；而與ELM相比，增加了核函數(shù)參數(shù)搜索的步驟，但由于采用PSO算法進(jìn)行搜索，可較為快速的獲取到最優(yōu)參數(shù)。同時(shí)，由于PSO-KELM避免了ELM可能存在的結(jié)果不穩(wěn)健的缺點(diǎn)，在實(shí)用性上更強(qiáng)。而與LSSVM(該模型同樣存在參數(shù)，也需要通過優(yōu)化算法獲取最優(yōu)參數(shù)值[14])等模型相比，新模型能夠在同等精度的條件下?lián)碛懈〉挠?jì)算量。據(jù)此可判斷：PSO-KELM模型應(yīng)用于水文時(shí)間序列預(yù)測是可靠的。

3 結(jié) 語

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法，以典型的水文時(shí)間序列為例，研究所提出方法的合理性，取得結(jié)論如下。

(1) 提出了一種預(yù)測水文時(shí)間序列的混合核PSO-KELM模型：按照多核學(xué)習(xí)思想，將典型的全局核函數(shù)(多項(xiàng)式核函數(shù))和典型局部核函數(shù)(RBF核函數(shù))加權(quán)得到混合核函數(shù)，代入極限學(xué)習(xí)機(jī)模型中，并通過PSO算法獲取最優(yōu)的模型參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)水文時(shí)間序列的預(yù)測。

(2) 通過蘭州站年徑流量預(yù)測實(shí)例表明：PSO-KELM模型的平均誤差較BP模型大大減??；通過金溝河流域年徑流量預(yù)測實(shí)例表明，PSO-KELM模型的預(yù)測精度要高于RBF模型和BP模型。同時(shí)PSO-KELM模型省卻了BP模型等存在的繁瑣的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程，便于工程應(yīng)用。

(3) 實(shí)例分析中表明，PSO-KELM模型仍然具有一定的誤差，這可能是樣本量造成的。故建議在實(shí)際應(yīng)用中增加更多的樣本訓(xùn)練以保證模型準(zhǔn)確度。