劉雙榮，周金柱，唐寶富，徐文華

(1. 西安電子科技大學(xué)， 陜西 西安 710071； 2. 南京電子技術(shù)研究所, 江蘇 南京 210039)

引 言

隨著通信、國防需求、空間科學(xué)的不斷發(fā)展和變化，對高集成、大口徑、輕薄陣列天線的需求越來越迫切。超大口徑輕型陣列天線不僅可以收集更多的能量、降低天線重量，同時可以實現(xiàn)多目標(biāo)探測、跟蹤與識別[1]。但大口徑、輕型化會導(dǎo)致陣列天線的剛度降低，尤其是天線的服役環(huán)境復(fù)雜、多變時，天線陣面受到隨機(jī)、時變的動態(tài)載荷的作用而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，同時太陽輻射、濕度等也會引起陣面結(jié)構(gòu)材料參數(shù)的變化，導(dǎo)致天線陣面變形，使天線服役時可靠性降低[2-3]。為保障陣列天線在復(fù)雜、多變環(huán)境下工作的可靠性，很多學(xué)者將智能結(jié)構(gòu)引入天線陣面的結(jié)構(gòu)設(shè)計當(dāng)中[4-5]。

目前，利用智能結(jié)構(gòu)控制天線陣面形狀已受到廣泛關(guān)注[6-9]。智能結(jié)構(gòu)控制陣面形狀主要完成有限量作動器或傳感器的布局和作動器調(diào)整量的確定。在陣面形狀控制中，作動器的位置至關(guān)重要，恰當(dāng)?shù)淖鲃悠鞑贾貌粌H可以實現(xiàn)陣面形狀可控，而且所消耗的能量也最少[10]?，F(xiàn)階段已有部分文獻(xiàn)對結(jié)構(gòu)控制中作動器的布局進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[11]分析總結(jié)了結(jié)構(gòu)控制中作動器優(yōu)化配置的準(zhǔn)則，并結(jié)合典型的數(shù)值仿真案例進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[12]基于懸臂板模型的最優(yōu)二次型建立目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法求解黎卡提代數(shù)矩陣方程，保證解P的跡最小，以P跡的最小值給出了作動器的最優(yōu)布局；文獻(xiàn)[13]從被控系統(tǒng)的可控性和可觀性角度出發(fā)，考慮模態(tài)截斷引起的誤差或溢出效應(yīng)，基于最小控制力建立作動器配置的目標(biāo)函數(shù)，并利用遺傳算法給出了最佳作動器配置；文獻(xiàn)[10]基于參考輸入的特征函數(shù)展開，在模態(tài)坐標(biāo)系下依次刪除互不相關(guān)的模態(tài)，選擇不同的作動器位置以保證模型可控矩陣的奇異值最大；文獻(xiàn)[14]基于模型最小存儲能量和最小控制力建立了作動器優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，通過混沌粒子群算法給出了最優(yōu)作動器配置；文獻(xiàn)[15]考慮了模型參數(shù)的不確定性，通過保證模型的格拉姆矩陣可控的最大化來進(jìn)行作動器布局優(yōu)化，并利用遺傳算法進(jìn)行作動器的優(yōu)化配置；文獻(xiàn)[16]通過虛功原理推導(dǎo)了反射面天線變形的均方根誤差與作動器輸入電壓的關(guān)系，保證反射面天線變形的均方根誤差最小，以此優(yōu)化配置作動器；文獻(xiàn)[17]以輸入能量吸收率為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，給出了壓電作動器抑制結(jié)構(gòu)振動時的最佳作動器配置。通過以上分析可知，已有文獻(xiàn)對作動器的優(yōu)化配置僅單方面考慮模型可控的最大化或精度最小，并未考慮模型可控時作動器布局方式能否滿足精度需求，或滿足模型期望精度時作動器布局方式是否可以保證模型可控。

1 形狀控制的原理

利用智能結(jié)構(gòu)控制輕薄陣列天線陣面形狀的原理如圖1所示。天線陣面受到復(fù)雜、惡劣環(huán)境載荷的影響，導(dǎo)致陣面變形，首先，通過分布在陣面上的傳感器來監(jiān)測陣面結(jié)構(gòu)變形；然后，經(jīng)基于控制算法的控制器產(chǎn)生驅(qū)動信號，進(jìn)而控制作動器補(bǔ)償陣面結(jié)構(gòu)形狀，間接保障天線電性能。

圖1 輕薄陣列天線陣面形狀補(bǔ)償原理

利用有限元分析軟件對被控輕薄陣列天線的陣面模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖2所示。假設(shè)作動器布置在陣面有限元模型的第j節(jié)點處，可得到作動器在第j節(jié)點處施加某一作用力時第i節(jié)點的位移[18]：

(1)

圖2 節(jié)點間位移關(guān)系示意圖

用天線陣面有限元模型上所有節(jié)點的位移的均方根值來表示陣面變形誤差：

(2)

式中：m表示節(jié)點數(shù)。

令w=Δδ2，知w取最小值時存在：

(3)

由式(1)～式(3)可得：

F=(MN)-1(MG)

(4)

式中：

F=[f1f2…fn]T

當(dāng)天線陣面作動器位置已知時，可通過式(4)給出保證陣面變形均方根誤差最小的任一作動器的輸出力大小。由于壓電類力矩作動器的輸出位移較小，處于微米級，因此，本文主要考慮輕型力作動器，作動器與陣面的連接關(guān)系示意見圖3。接下來討論作動器位置的確定方式。

2 作動器布局優(yōu)化準(zhǔn)則

對于連續(xù)輕薄陣列天線陣面系統(tǒng)，有下式成立：

(5)

式中：M∈m×m、C∈m×m、K∈m×m分別表示系統(tǒng)的總質(zhì)量陣、總阻尼陣、總剛度陣；m×1分別為節(jié)點位移、速度、加速度列向量；F(t)∈m×1表示節(jié)點所受外載荷列向量；T(X)∈m×n、u(t)∈n×1分別為作動器的位置矩陣、輸出力向量；X為作動器的位置變量，這里用天線陣面有限元模型的單元節(jié)點編號表示作動器位置；n為作動器數(shù)目；m為節(jié)點數(shù)。

對矩陣T(X)作如下定義：

T(X)=[T1(X1)T2(X2) …Tn(Xn)]m×n

(6)

式中：Xi表示第i作動器的節(jié)點編號；Ti(Xi)∈m×1表示第i作動器所在位置列向量。

Ti(Xi)=[T1i(Xi)T2i(Xi) …Tji(Xi)]T

(7)

式中：i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

(8)

式中：1表示布置作動器；0表示無作動器。

假設(shè)天線陣面系統(tǒng)無阻尼，利用經(jīng)典模態(tài)分析方法，天線陣面的固有頻率ωi(i=1,2,…,m)和振型矩陣Φ∈m×k(k表示截斷模態(tài)數(shù))可以很方便地獲得。通常，存在ΦTMΦ=I∈m×m，ΦTKΦ=Λ∈m×m，其中，同時，根據(jù)模態(tài)疊加原理，將式(5)用狀態(tài)空間方程表示為：

(9)

為保證作動器補(bǔ)償后陣面變形均方根誤差最小，同時作動器輸出能量最小，則對于連續(xù)天線陣面系統(tǒng)有：

(10)

式中：Q、R分別表示輸出權(quán)系數(shù)對稱矩陣和控制權(quán)系數(shù)對稱矩陣，且Q為半正定矩陣，R為正定矩陣；t0、tf分別表示有限時間控制器的時間上、下界。

公式(10)的最優(yōu)解為：

(11)

式中：x0表示狀態(tài)向量x(t)的初始值；P、δ、φ見式(12)～式(14)。

(12)

(13)

(14)

式(11)～式(14)中P為正定對稱矩陣的充分條件為：Q=Im×m且(A,B)完全能控。

根據(jù)式(9)可知，變量X≠0時，總有矩陣M滿秩，這里選取Q=Im×m，證明如下：

∵M(jìn)= [BAB…A2k-1B]=

而元素ΦTT(X)和-ΛΦTT(X)都非零，因此rank(M)=2k，即矩陣M滿秩，(A,B)完全能控。

▽J*(x0)=Px0-δ=0

(15)

時，J*最小。解得x0=P-1δ。

因此公式(10)的最優(yōu)解為：

(16)

其中：

在形狀控制中，作動器的位置是保證被控系統(tǒng)在控制力的作用下獲得最佳精度或性能的關(guān)鍵，而如何布置作動器的位置是一類組合優(yōu)化問題。根據(jù)上述分析，可得如下的作動器布置的優(yōu)化模型：

Findh=(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)

(17)

3 遺傳算法

遺傳算法是1975年美國密歇根大學(xué)的Holland教授提出的一種仿生算法，即模擬生物進(jìn)化的算法。它是從一個初始種群出發(fā)，不斷重復(fù)執(zhí)行選擇、交叉和變異的過程，使種群變化越來越接近某一目標(biāo)。此類算法可以有效地解決0-1組合優(yōu)化問題，因此本文選取遺傳算法來確定作動器的布置，以公式(17)中的目標(biāo)函數(shù)作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)。本優(yōu)化模型的設(shè)計變量為離散整數(shù)變量，優(yōu)化時將其視為連續(xù)變量產(chǎn)生種群，然后對種群內(nèi)各個體進(jìn)行取整運(yùn)算，再映射至附近的節(jié)點，最后進(jìn)行適應(yīng)度評估。

4 數(shù)值仿真

為了驗證本文優(yōu)化準(zhǔn)則的適用性和有效性，證明該方法可以有效地實現(xiàn)系統(tǒng)的靜態(tài)形狀控制和作動器位置布局，將其應(yīng)用到懸臂式陣列天線和圓形孔徑陣列天線。

4.1 懸臂式陣列天線

目前，機(jī)翼天線和星載天線多為懸臂式，此類型天線具有陣面輕薄、服役中易產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形等缺點，且在翼根處表現(xiàn)為小變形，翼尖處表現(xiàn)為大變形。因此本文采用如圖4所示的懸臂式天線有限元模型進(jìn)行應(yīng)用驗證，天線安裝方式為懸臂式安裝。選取此有限元模型為shell63單元，模型約束方式可根據(jù)文獻(xiàn)[12]確定。對懸臂式陣列天線有限元模型施加重力載荷和-10 N的部分節(jié)點載荷(圖4中用紅色圓點表示)，產(chǎn)生初始形變量，其中彈性模量為21×1010N/m2，泊松比為0.3，密度為7 810 kg/m3，長寬高分別為500 mm、500 mm、2 mm。選取截斷模態(tài)數(shù)k= 6。與文獻(xiàn)[12]中的振型頻率作對比，如表1所示。

圖4 懸臂式陣列天線有限元模型

模態(tài)數(shù)對比模型/Hz本模型/Hz17.1906.936 9217.90017.045 0343.68242.625 0455.64454.381 0564.57162.125 06109.220108.770 0

通過文中所給的作動器位置優(yōu)化準(zhǔn)則，給定作動器個數(shù)n= 6，利用遺傳算法進(jìn)行布局優(yōu)化，設(shè)置作動器間距的最小值d0= 50 mm，遺傳算法各參數(shù)設(shè)置見表2，得到圖5所示的結(jié)果(黑色實心圓圈代表作動器位置)。根據(jù)作動器力計算公式(4)得到調(diào)整前后天線陣面變形圖，如圖6所示。

圖5 優(yōu)化后的作動器位置

種群大小交叉概率變異概率遺傳代數(shù)1000.880.01200

圖6 作動器調(diào)整前后陣面變形對比圖

通過以上數(shù)值分析可知，數(shù)學(xué)模型(17)確定的懸臂式陣列天線模型的作動器布局合理且有效。在此作動器布局下，天線陣面的變形得到調(diào)整，且精度提高了85%以上。

4.2 圓形孔徑陣列天線

在發(fā)射等幅輸出情況下，圓形孔徑陣列天線的發(fā)射最大副瓣低于矩形孔徑陣列天線，因此將圓形孔徑的陣列天線作為能量傳輸?shù)陌l(fā)射天線尤為合適，如空間太陽能電站的發(fā)射天線。但太空中環(huán)境復(fù)雜多變，圓形孔徑陣列天線不可避免會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，導(dǎo)致波束指向發(fā)生偏移，因此，需要有效地控制天線陣面變形。

考慮如圖7所示的圓形孔徑陣列天線的陣面模型，天線輻射單元為貼片單元，陣面背部安裝力作動器。支撐方式采用三點支撐，支撐半徑參考文獻(xiàn)[19]。陣面口徑為600 mm，陣面厚度為2 mm，陣面其余參數(shù)見表3。

圖7 圓形孔徑陣列天線陣面有限元模型

彈性模量/(N·m-2)泊松比密度/(kg·m-3)21×10100.37 810

分別取作動器個數(shù)n= 8和n= 12進(jìn)行仿真驗證，優(yōu)化模型見公式(17)，遺傳算法各參數(shù)設(shè)置同前例，仿真驗證結(jié)果見圖8和圖9。為方便表示，圖中作動器位置統(tǒng)一用紅色實心點表示，作動器間距最小值d0= 50 mm。

圖8 作動器(n=8)位置示意圖

圖9 作動器(n=12)位置示意圖

圓形孔徑陣列天線陣面作動器位置確定后，經(jīng)陣面形狀控制方程(式(4))計算得到陣面變形補(bǔ)償前后陣面位移云圖，如圖10所示。分析可知，天線陣面在重力作用下的陣面變形均方根誤差為0.098 8 mm，經(jīng)作動器補(bǔ)償后陣面變形均方根誤差減小了80%以上，尤其是當(dāng)作動器個數(shù)n= 12時，陣面變形均方根誤差減小了90%以上。

圖10 作動器補(bǔ)償前后位移云圖

5 結(jié)束語

現(xiàn)階段，對陣列天線的陣面或反射面天線的面板的主動調(diào)控越來越重要，而作動器的布局在天線陣面主動形狀控制中占據(jù)關(guān)鍵位置，不恰當(dāng)?shù)淖鲃悠魑恢脮?dǎo)致陣面系統(tǒng)不可控等不確定情況。本文在考慮天線陣面系統(tǒng)可控的基礎(chǔ)上，以作動器補(bǔ)償后陣面變形均方根誤差最小，同時所消耗的控制能量最小為目標(biāo)，給出了作動器布局優(yōu)化準(zhǔn)則。分析結(jié)果表明，在該準(zhǔn)則下確定的作動器布局可保證輕型陣列天線陣面的變形誤差減小80%以上，同時確定了遺傳算法對于給定數(shù)量的作動器可以有效得到其最佳位置。