陳菊華

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學上的一種重要思想，亦是一種實用的數(shù)學方法。數(shù)形結(jié)合思想，是指借助圖像使抽象的數(shù)學概念、復雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡單化的一種數(shù)學思想，同時，復雜的形體也可以用簡單的數(shù)量關(guān)系來表示。數(shù)和形是數(shù)學這個古老學科的研究對象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。我國著名數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形失少直觀，形缺數(shù)時難入微?！背浞株U述了數(shù)與形的辯證關(guān)系。在解決實際問題中，數(shù)與形的相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，完美結(jié)合，能將抽象的語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，通過對圖形的處理，解釋數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，能有效開拓學生的思路，發(fā)展其數(shù)學思維，降低題目的難易程度，有效提高學生的解題能力。那么，“數(shù)形結(jié)合”思想在小學數(shù)學中有哪些教學價值呢？

一、數(shù)形結(jié)合，把抽象的概念教學直觀化、形象化

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，簡潔明了，具有高度的概括性和抽象性。當教師進行概念教學時，如果只是照本宣科、干巴巴地解釋相關(guān)內(nèi)容，由于概念的抽象和枯燥，會使得學生聽得云里霧里，似是而非，知其然而不知其所以然，事倍而功半，教學效果不盡如人意。如果教師能通過“數(shù)形結(jié)合”這把思想利劍，借助直觀圖像，使教學過程形象化、直觀化，就能幫助學生在輕松愉快的氛圍中掌握相關(guān)知識。

如：一列火車21：30從廣州出發(fā)，到第二天5：30到達目的地，這列火車一共行駛了多長時間？這題是在學生掌握了常用的時間單位（年、月、日、時、分、秒）及經(jīng)過時間的計算的基礎(chǔ)上進行考查的，主要考查學生對經(jīng)過時間的計算能力。由于小學生年齡較小，理解能力較弱，解決起來困難比較大，尤其是涉及分段計時的情況。這題可借助鐘表教具，讓學生喚醒回憶：鐘面上一個大格表示一個小時，21時就是時針走了一大圈又9個大格，并形象地理解0時和24時是在同一個點上。這時，再讓學生動手操作，在鐘面上表示出21：30，分針指向6，時針指向9和10的中間，由于到達時間是第二天的5：30，分針指向不變，計算時針從9到下一圈的5走了多少圈就是經(jīng)過了多少小時，結(jié)合動手實踐和鐘面的形象性，學生能非常直觀地得出答案。如果手頭沒有鐘面，我們也可以用線段圖來表示經(jīng)過的時間（見圖1）。

由線段圖中我們可以清楚地看到，從21：30到24時經(jīng)過了2小時30分，再加上第二天的5小時30分，火車一共經(jīng)過了8小時，讓具體的形和抽象的數(shù)字完美結(jié)合，相輔相成。

二、數(shù)形結(jié)合，讓復雜的算理簡單化、明了化

小學數(shù)學中，計算教學可謂占了大半江山，對算理的理解，有助于學生正確計算，如果連算理都不懂，試問如何正確解題？如：一根木料，鋸成兩段，要3分鐘，如果鋸成6段需要多少分鐘？大部分學生看到這題都覺得很簡單：鋸成2段要3分鐘，那么鋸1段就只要1.5分鐘，6段就只要9分鐘。那么的理所當然，那么的理直氣壯！只有個別學生保持了清晰的頭腦，在題目下方畫了示意圖：?發(fā)現(xiàn)鋸2段只需要1次，繼續(xù)畫圖：發(fā)現(xiàn)鋸6段只要鋸5次，每次要3分鐘，5次只要15分鐘。其實本題并不難，只是相當具有迷惑性，關(guān)鍵在于學生有無意識地畫出示意圖，若能結(jié)合示意圖，答案一目了然。這么高的錯誤率也提醒了我，在教學中，應(yīng)以清晰的理論來指導學生理順思路，提醒學生遇到類似題型應(yīng)結(jié)合示意圖來理解算理，在此基礎(chǔ)上掌握計算方法。數(shù)形結(jié)合，就是幫助學生正確理解算理的一種很好方式。

三、數(shù)形結(jié)合，使數(shù)量關(guān)系簡潔化、明朗化

運用數(shù)形結(jié)合，往往能使一些復雜的數(shù)量關(guān)系明了、簡潔，內(nèi)在聯(lián)系變得直觀，降低了解題的難度，能有效提高解題的效率。如：兩車同時從AB兩地相對開出，甲車每小時行駛48km，乙車每小時行駛54km，兩車在離中點36km處相遇，求AB兩地的距離。這是一道較為復雜的行程問題，跟一般的行程問題不同，這題沒有兩車相遇時的時間。學生也想到了線段圖（見下頁圖2）。

線段圖是畫出來了，卻還是不能從中獲取更多有用的信息，因為路程差這個條件實在是隱藏得太深了。若換個思路，假設(shè)兩車是同向行駛，其他條件不變，則可以畫出以下線段圖（見圖3）。

在這個線段圖中，學生能非常容易看出乙車比甲車多走了2個36km，也就是路程差是2×36=72（km）。路程差這個難點解決了，我們再來看看，相同時間內(nèi)兩輛車行駛的路程為什么會相差這么多？那是因為甲乙兩車每小時速度相差了54-48=6（km），因此，利用“相遇時間=路程差÷速度差”，算出了相遇時間，再用“總路程=相遇時間×速度和”計算出AB兩地的距離。在分析此類較為復雜的行程問題時，我們經(jīng)常把已知條件和問題及數(shù)量關(guān)系完整地體現(xiàn)在線段圖中，但有時候圖中并不能順利找出隱藏的條件時，要根據(jù)實際情況，調(diào)整一下線段圖（前提是不能改變題目意思），把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的關(guān)系，或把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，都能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化繁為簡，化難為易，調(diào)動起學生解決問題的積極性，提高學習自信心。

四、數(shù)形結(jié)合，將抽象的幾何問題具體化、數(shù)量化

“數(shù)形結(jié)合”還能幫助學生建立起初步的幾何直觀，發(fā)展空間觀念。幾何直觀可以幫助學生直觀理解數(shù)學，在一些抽象的幾何題中，如能運用數(shù)形結(jié)合方法加以分析，則事半功倍。

如：用一根長16cm的鐵絲圍一個長方形，怎樣圍能使圍成的圖形面積最大？由于鐵絲具有自身的特性，不易折成長方形，想用鐵絲來實際操作不太容易。這時鐵絲的長度就是圍成圖形的周長，如果借助表格形式，把長方形的周長與長寬的關(guān)系顯示出來，長方形的周長=（長+寬）×2，因此，只要長與寬的和是8cm就符合題意，列表如下（為了方便計算，長和寬的長度用整數(shù)表示）。

從表格中非常直觀看出，當長方形的長和寬相等（已是正方形）時，圍成的圖形面積最大。這也從旁驗證了周長相等的長方形和正方形，正方形的面積最大。教師在引導學生探索時，充分利用表格，以數(shù)輔形，讓學生在觀察、分析、比較、概括的過程中，學會使用這一思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想的運用特別廣泛，小到比多比少的問題，倍數(shù)問題、和倍差倍問題，大到復雜的行程問題、植樹問題、雞兔同籠問題等等，我們在解決問題的過程中都能發(fā)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的影子，教學價值相當高。蘇聯(lián)教育學家贊科夫說過：“教會學生思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢?！惫耪Z亦有云：“授之以魚，不如授之以漁?！痹诮虒W中，我們應(yīng)認真研讀教材，對整個小學階段的各個知識點呈現(xiàn)的先后及呈現(xiàn)的方式有個完整的認知，熟悉每個知識點的來龍去脈，充分挖掘教材中的核心內(nèi)容，適時將“數(shù)形結(jié)合”思想滲透于具體的問題情境中，合理地進行教學，教會學生“數(shù)形結(jié)合”的方法，有意識地培養(yǎng)學生自覺運用該思想的意識和能力，學會利用各種示意圖如直觀圖、點子圖、色條圖、線段圖、集合圖、數(shù)軸等等，把抽象的概念教學直觀化、形象化，把復雜的數(shù)量關(guān)系明朗化、簡單化，把復雜的形體關(guān)系具體化、數(shù)量化，有利于啟發(fā)思維，開拓思路，實現(xiàn)形象思維和抽象思維的互補，提高解決問題的能力，提升學生的思維水平，讓它真正成為一把利器，為后續(xù)學習高效服務(wù)。