穆瑞楠，譚述君,2，吳志剛,2，齊朝暉

(1. 大連理工大學工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024；2. 大連理工大學航空航天學院，大連 116024)

0 引 言

以空間太陽能電站為代表，各類超大柔性空間結(jié)構(gòu)概念相繼出現(xiàn)[1-2]。這種結(jié)構(gòu)的尺寸通常要達到千米量級，遠超人類現(xiàn)有最大的空間結(jié)構(gòu)——百米量級的國際空間站。隨著結(jié)構(gòu)尺寸的大幅增加，空間結(jié)構(gòu)具有高柔性、質(zhì)量分布高分散性、高面質(zhì)比等特性。在環(huán)境干擾作用下，姿態(tài)運動和結(jié)構(gòu)振動之間的耦合效應(yīng)增強，有可能引發(fā)不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此，需要分析姿態(tài)運動與結(jié)構(gòu)振動之間的耦合作用，以及系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。

在這一方面，已有學者以不同的簡化模型開展了相關(guān)研究。以超大空間啞鈴模型為簡化研究對象，Sanyal等[3]推導了平衡位置處的線性化模型，分析了在兩種平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定性。穆瑞楠等[4]通過仿真分析，發(fā)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動引起的姿態(tài)運動不穩(wěn)定現(xiàn)象。此外，以超大空間桿梁連續(xù)體模型為簡化研究對象，Ashley[5]分析了不同姿態(tài)運動條件下的彈性桿結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定性問題，指出姿態(tài)運動對結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定性具有影響。Silva[6]給出考慮環(huán)境干擾的柔性梁平衡位置處非線性擾動方程，并用擾動分析方法討論了系統(tǒng)可能出現(xiàn)的共振現(xiàn)象。Liu[7]考慮動力剛化效應(yīng)，提出參數(shù)激勵模型(PEM)，可更精確地描述在自旋姿態(tài)運動時的結(jié)構(gòu)振動。Kumar 等[8]在小初始姿態(tài)角條件下，建立了3階Hill方程形式的柔性梁振動方程，并發(fā)現(xiàn)對于模態(tài)頻率與軌道角速率之比的平方較低時引起的不穩(wěn)定現(xiàn)象。Shrivastava等[9]在Kumar等人的工作基礎(chǔ)上，引入結(jié)構(gòu)阻尼，并利用攝動方法考慮結(jié)構(gòu)阻尼對結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定性的影響。魏乙等[10]在約束Hamilton體系下建立了繩系構(gòu)型的軌道、姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動的耦合模型，發(fā)現(xiàn)平臺總體質(zhì)量變化對其振動周期具有影響。Ishimura等[11]基于同一構(gòu)型，分析了質(zhì)量比、頻率比以及長度比對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，仿真結(jié)果表明頻率比影響最大，在某些參數(shù)范圍內(nèi)質(zhì)量比影響較大。同時，Ishimura等[12]從勢能角度提出評估系統(tǒng)穩(wěn)定性的新方法，給出太陽能陣列平臺在平衡位置附近的結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定性。McNally 等[13]基于算盤構(gòu)型，分析了超大柔性空間結(jié)構(gòu)在拉普拉斯軌道下的耦合動力學特性。Zhang等[14]建立了空間熱輻射與結(jié)構(gòu)振動的耦合模型，分析了在熱輻射作用下的結(jié)構(gòu)振動穩(wěn)定性。Gettliffe[15]分析了帶有電磁機構(gòu)的繩系空間結(jié)構(gòu)的運動穩(wěn)定性。

本文在前期工作[4,16]的基礎(chǔ)上，建立柔性梁在圓軌道下的姿態(tài)運動與彎曲振動的耦合動力學模型，分析姿態(tài)運動與重力梯度對模態(tài)頻率的影響，并將柔性振動模態(tài)方程化為Mathieu方程形式，分析姿態(tài)運動幅度對柔性振動穩(wěn)定性的影響。

1 在軌柔性梁的動力學建模

考慮細長的Euler-Bernoulli梁，建立超大柔性空間結(jié)構(gòu)的動力學模型。假設(shè)空間結(jié)構(gòu)在圓軌道運行，其姿態(tài)運動和彎曲變形均在軌道平面內(nèi)，如圖1所示，其中Oe表示地心，Re表示地球半徑，rc表示空間結(jié)構(gòu)質(zhì)心處所在的軌道半徑。

慣性坐標系和軌道坐標系分別用Oexeye和Ooxoyo表示，其坐標原點均位于地心。而浮動坐標系用Cxy表示，其坐標原點位于柔性梁的質(zhì)心。梁上任一點P的坐標向量和變形向量分別用ρP和wP表示?；谫|(zhì)心浮動坐標系的定義，這兩個向量滿足以下三個條件：

(1)

(2)

(3)

rp=Teorc+TeoToa(ρP+wP)

(4)

其中Teo和Toa分別表示從軌道坐標系到慣性坐標系和從浮動坐標系到軌道坐標系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣。由此得到柔性梁的動能為

(5)

(6)

其中ms表示結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量，I表示結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量，其表達式為

柔性梁的重力勢能可表示為

(7)

引入空間結(jié)構(gòu)尺寸與軌道半徑的尺寸比，重力勢能的分母可展開成泰勒級數(shù)的形式為

(8)

其中ic表示軌道半徑rc方向的單位向量。

基于Sincarsin[17]研究工作中的高階慣性矩的遞推定義，重力勢能可近似表示為

(9)

其中特殊算子?表示并乘算子。將第一個簡化條件式(1)代入式(9)，則重力勢能可簡化為

(10)

柔性梁的彈性勢能可表示為

(11)

其中D材料的剛度系數(shù)矩陣，εE表示彈性應(yīng)變。

對于在軌道平面內(nèi)運動的柔性梁結(jié)構(gòu)，可定義相應(yīng)的向量和坐標轉(zhuǎn)換矩陣。其中，在軌道坐標系內(nèi)定義的軌道半徑向量rc和軌道運動的角速度ωeo為

其中θ表示平面軌道角，而ωo表示軌道角速度。在浮動坐標系內(nèi)定義的位置向量ρP、彎曲變形向量wP以及姿態(tài)運動的角速度ωoa分別為

其中x表示柔性梁的軸向坐標，w表示柔性梁的橫向變形，而φ表示平面姿態(tài)角。坐標轉(zhuǎn)換矩陣為

引入模態(tài)疊加法，彎曲變形可表示為

w(x,t)=φT(x)q(t)

(12)

其中φ(x)自由振動的彎曲模態(tài)函數(shù)列陣，q(t)表示模態(tài)坐標列陣。

以姿態(tài)角φ和模態(tài)坐標q(t)為廣義坐標。利用Hamilton原理建立姿態(tài)運動和彎曲變形的耦合動力學模型，其中重力梯度項保留至尺寸比的二次項(參考式)。

qTR2q(15sin2φ-11)sinφ)=0

(13)

2R2q(5cos2φ-4)cosφ)=0

(14)

其中總質(zhì)量ms、轉(zhuǎn)動慣量I、模態(tài)質(zhì)量矩陣Mq、模態(tài)剛度矩陣K、以及模態(tài)函數(shù)的積分列陣和矩陣可表示為

2 結(jié)構(gòu)振動頻率影響分析

通過簡化結(jié)構(gòu)振動方程式，彎曲振動的第一階頻率可以表示為

(15)

其中ωs表示結(jié)構(gòu)彎曲振動基頻。從式可以看出，結(jié)構(gòu)振動頻率受到系統(tǒng)轉(zhuǎn)動和重力梯度兩方面影響，等式右端第二項為轉(zhuǎn)動耦合項，等式右端第三項為重力梯度項。在無主動控制的重力梯度穩(wěn)定情況下，系統(tǒng)的姿態(tài)運動接近于簡諧運動，由式可以看出，結(jié)構(gòu)振動的頻率會隨姿態(tài)變化而波動。

將姿態(tài)運動近似表示為φ=φ0cosτ，其中φ0為初始姿態(tài)角，τ=kωot定義為廣義時間，其中kωo為姿態(tài)運動頻率。k與φ0的取值相關(guān)，通過近似的姿態(tài)運動響應(yīng)與由耦合模型仿真得到的姿態(tài)運動響應(yīng)相擬合，得到不同初始姿態(tài)角下的k取值，如圖2(a)所示，而其擬合精度如圖2(b)所示。由圖可見在[ 0, 0.4π rad )范圍內(nèi)，擬合精度小于5%，因此這種近似是合理的。

(16)

圖3給出式(16)中的轉(zhuǎn)動耦合項和重力梯度項對結(jié)構(gòu)振動頻率隨時間變化的影響曲線。對于小幅姿態(tài)運動情況(φ0= 0.1 rad)，對應(yīng)的k=1.726，圖3(a)中可見，在姿態(tài)運動幅度較小時，重力梯度作用使結(jié)構(gòu)振動頻率增加近似一倍軌道頻率，但轉(zhuǎn)動耦合項使結(jié)構(gòu)振動頻率降低約一倍軌道頻率，二者影響近似相互抵消，此時結(jié)構(gòu)振動頻率變化幅度較小。對于大幅姿態(tài)運動(φ0= π/4 rad)，對應(yīng)的k=1.469，從圖3(b)可以看出，重力梯度項波動幅度增大至一倍軌道頻率，時而使結(jié)構(gòu)振動頻率增大，時而使其減小。轉(zhuǎn)動耦合項仍使結(jié)構(gòu)振動頻率降低，其量級增大至兩倍軌道頻率。

3 穩(wěn)定性分析

通過對彎曲振動模態(tài)方程式(14)的合理簡化，可化為Mathieu方程形式。忽略式中重力梯度的尺寸比二次項，則第n階的模態(tài)方程為

(17)

不失一般性的假設(shè)姿態(tài)運動為φ=φ0sinτ，其中τ=kωot+π/2。同時，引入簡化變量

將假設(shè)的姿態(tài)角φ的表達式代入模態(tài)方程式(17)，并用τ的微分式替換t的微分式，同時代入簡化變量ε和δn，則模態(tài)方程式(17)化為

(18)

從(18)式可見，模態(tài)方程由此化為高階Mathieu方程，其中ε為小參數(shù)?；诜€(wěn)定性的攝動分析方法，令模態(tài)坐標qn和參數(shù)δn為

qn=qn 0+εqn 1+ε2qn 2

(19)

(20)

將模態(tài)坐標qn和參數(shù)δn的表達式代入Mathieu方程式(18)，比較小參數(shù)ε同冪次頂系數(shù),得

(21)

(22)

(23)

由小參數(shù)ε的零次冪方程式解得

qn 0=a0cos(δn 0τ)+b0sin(δn 0τ)

(24)

其中a0和b0為待定常數(shù)，由彎曲變形的初始條件決定。由于Mathieu方程的特點，在式(18)的小參數(shù)一次項的余弦函數(shù)中，廣義時間的系數(shù)為1，因此參數(shù)δn 0=1/2及其附近為主要共振區(qū)域。將式(24)及參數(shù)δn 0代入小參數(shù)ε的一次冪方程式(22)。為了消除一次冪方程中的永年項，出現(xiàn)兩種情況，分別為

(25)

(26)

qn 0=a0cos(0.5τ)

將qn 0和qn 1的表達式代入小參數(shù)ε的二次冪方程，并為了消除二次冪方程中的永年項，可得

(27)

解得

(28)

由式(25)和式(27)可得，第一種情況下的參數(shù)δn表達式為

(29)

(30)

由式(29)和式(30)，得到不同初始姿態(tài)角下的穩(wěn)定區(qū)域如圖4所示。由圖2(a)可知，隨著初始姿態(tài)角增大，姿態(tài)運動頻率與軌道角速度之比k減小，而不穩(wěn)定區(qū)域增大。

4 結(jié) 論

本文以超大柔性空間柔性梁為研究對象，基于Hamilton原理建立其姿態(tài)運動-柔性振動的耦合動力學模型，分析了彎曲振動的影響因素以及其穩(wěn)定性。得到結(jié)論如下：

1)在小初始姿態(tài)角下，重力梯度和轉(zhuǎn)動耦合項相互抵消。而在大初始姿態(tài)角下，重力梯度項呈簡諧波動，其幅度約一倍軌道頻率。轉(zhuǎn)動耦合項使結(jié)構(gòu)振動頻率降低約兩倍軌道頻率。

2)初始姿態(tài)角影響結(jié)構(gòu)振動的穩(wěn)定區(qū)域，隨著初始姿態(tài)角的增大，姿態(tài)運動頻率降低，結(jié)構(gòu)振動的不穩(wěn)定區(qū)域增大。