邱雪松，任志博，桂 朋，魏亞坤

(燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，秦皇島 066004)

0 引 言

太陽帆板作為月球車的重要部件[1]，其展開過程動態(tài)特性不僅影響帆板自身的展開精度及可靠性，同時會對月球車本體上精密儀器的工作產(chǎn)生強烈干擾，直接影響月球車性能。而帆板結(jié)構(gòu)的柔性和各級帆板鉸鏈間隙則是導(dǎo)致帆板在展開過程中呈現(xiàn)復(fù)雜動力學(xué)行為的重要因素。目前，太陽帆板逐漸向輕質(zhì)化和柔性化發(fā)展[2]，且含隙鉸對可展機構(gòu)的不利影響已在多種空間機構(gòu)中體現(xiàn)，影響系統(tǒng)的精確運行。因此可展機構(gòu)的動力學(xué)建模必須考慮鉸間隙和柔性因素的影響。

目前，學(xué)者在建立各類含間隙機構(gòu)動力學(xué)模型時多考慮了結(jié)構(gòu)柔性的影響，并進行了深入的研究[3]。Schwabeta等[4]研究了轉(zhuǎn)動副間隙機構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，分別建立了含剛性構(gòu)件、柔性構(gòu)件的模型，并介紹了一種估算間隙內(nèi)碰撞產(chǎn)生的最大接觸力的方法；Chunmeietal等[5]用統(tǒng)一的動態(tài)模型分析含間隙柔性四連桿機構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，并分析間隙和桿件彈性對機構(gòu)動態(tài)特性的影響；考慮關(guān)節(jié)處元件柔性、間隙、摩擦的影響，Shiau等[6]分析了考慮間隙和構(gòu)件柔性的并聯(lián)機構(gòu)的非線性動態(tài)特性；Khemili和Romdhane[7]研究了含間隙柔性曲柄滑塊機構(gòu)的動態(tài)特性，利用ADAMS進行仿真分析，并進行實驗驗證。結(jié)果表明：間隙對機構(gòu)的響應(yīng)有明顯影響，且桿件的柔性緩解了間隙產(chǎn)生的影響；Bauchau和Rodrigez[8]兩人研究了間隙和潤滑對轉(zhuǎn)動副和球副的影響，在能量守恒和衰減時間積分的基礎(chǔ)上構(gòu)建方程，通過數(shù)值實例校驗了所用方法的有效性和準確性；Liu等[9]提出了一種近似模型描述間隙圓柱副接觸性能。通過適當假設(shè)，分析有限元結(jié)果中的接觸區(qū)域、壓力以及最大持續(xù)應(yīng)力，并將銷作為剛性楔體以及將彈性板作為簡單的溫克勒彈性地基，最終建立了含間隙的圓柱副接觸問題的近似模型；Erkaya和Uzmay[10]使用試驗和理論的方法研究了間隙對機械振動和噪聲的影響，結(jié)果表明含運動副間隙時的振動和噪音均高于不含間隙時；Flores等[11]通過數(shù)值和實驗方法對含間隙曲柄滑機構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)進行研究；趙和白[12]研究了含間隙空間機械手的動態(tài)特性，使用非線性等價彈簧阻尼模型建立了間隙接觸模型；在考慮摩擦的情況下，利用庫侖摩擦模型。Tian等[13]提出一種建立含圓柱副間隙的空間柔性多體系統(tǒng)模型的方法，即利用絕對坐標法建立柔性部件模型，使用自然坐標法建立剛性部分模型，研究圓柱鉸鏈間隙處的干摩擦和潤滑對系統(tǒng)動力性能的影響，通過兩個例子校驗了方法的正確性。郭軍等[14]基于柔性桿件的有限段模型，使用拉格朗日方程建立了含剛性支座的雙聯(lián)桿柔性機械臂的剛、柔混合多體動力學(xué)模型。結(jié)果表明：該模型即可宏觀上模擬柔性桿件的大范圍剛體運動，又可以在微觀層次上模擬各柔性臂的彈性變形。Oskar等[15]學(xué)者以柔性帆板為研究對象，利用SIMPACK軟件分析了帆板柔性對可展機構(gòu)展開過程的動力學(xué)特性影響。谷勇霞等[16]利用ADMAS軟件建模分析了含柔性和間隙的二級太陽帆板展開過程的動力學(xué)行為，得出間隙數(shù)目的增加會增加鉸鏈處碰撞的劇烈程度和頻率的結(jié)論。孫紅麗等[17]利用有限元方法對帆板進行離散化，使用Kane方程建立了柔性展開機構(gòu)的動力學(xué)模型。史加貝等[18]基于共旋坐標法和板殼理論，建立了大型太陽電池陣展開過程的動力學(xué)模型。段柳成等[19]基于Jourdain速度變分原理和單向遞推組集方法，建立太陽陣展開與鎖定過程的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動力學(xué)模型，預(yù)測了太陽陣展開歷程及航天器本體姿態(tài)擾動情況。

上述以一般環(huán)境的活動件或一次性空間可展機構(gòu)為研究對象進行的研究，為具有柔性特征的含間隙機構(gòu)的建模、仿真研究奠定了基礎(chǔ)。結(jié)合月球車兩級往復(fù)可展太陽帆板(下文簡稱可展帆板)在低重力條件下重復(fù)折展的工作特點，采用L-N模型描述運動副間隙引發(fā)的接觸碰撞，使用修正庫倫模型描述鉸間隙的摩擦力，利用有限元法對帆板進行柔性化[20]，建立多間隙-柔性耦合的動力學(xué)模型，對其展開過程進行分析，為后續(xù)的非線性動態(tài)特性的深入研究提供前提，為改善多級可展太陽帆板性能、提高展開精度及可靠性提供理論基礎(chǔ)。

1 可展帆板機構(gòu)及工作原理

可展帆板主要由基體、內(nèi)外帆板、同步傳動機構(gòu)等組成，參見圖1。同步傳動機構(gòu)將鋼絲繩內(nèi)錯纏繞并固定在兩鋼絲繩輪，使用伺服電機驅(qū)動，實現(xiàn)兩級帆板同步異向展開。同步傳動機構(gòu)的兩帶輪半徑相同以保證展開角速度大小相同。該驅(qū)動方式可控制帆板的展開角度、展開速度，實現(xiàn)帆板的重復(fù)折疊展開，以適應(yīng)帆板月夜折疊、月晝展開的功能需求。含間隙鉸鏈由滑動軸承和銷軸組成，轉(zhuǎn)動副的運動功能使得滑動軸承與銷軸之間必然存在間隙。當帆板展開時，含隙鉸的軸承與銷軸因間隙而表現(xiàn)出偏心，從而引發(fā)二者間不斷的分離-接觸-碰撞沖擊，進而影響系統(tǒng)的動態(tài)特性、帆板的展開精度及穩(wěn)定性。由于可展帆板為平面機構(gòu)，因此在建立帆板鉸間隙模型時僅考慮徑向間隙變化。

2 柔性可展帆板含隙鉸模型

2.1 間隙描述

圖2表達了機構(gòu)運轉(zhuǎn)時，鉸間隙的一般狀態(tài)，即由于軸套與軸頸的偏心引起二者的偏心斜碰撞，并因碰撞而產(chǎn)生彈性變形。建立絕對坐標系XOY，各矢量的位置見圖2。

間隙偏心矢量e：

e=rO1-rO2=[ex,ey]T

(1)

軸承與銷軸碰撞引起的碰撞變形即碰撞深度為：

(2)

式中：RO1,RO2分別為軸承與銷軸的半徑。

2.2 間隙鉸模型

如圖2所示，接觸點P和Q的絕對坐標為：

(3)

則可得到法向速度和切向速度：

(4)

式中：n為偏心矢量的單位法向量，大小為

(5)

綜合考慮能量損失、碰撞體材料、彈性變形等因素，采用L-N模型描述法向力：

(6)

式中：ce為恢復(fù)系數(shù)。

(7)

式中：νi為泊松比；Ei為彈性模量；σi為中間量。

為防止切向相對速度vt為0時接觸力出現(xiàn)突變, 采用修正的Coulomb模型處理摩擦影響,切向摩擦力表達為：

(8)

式中：cf為靜摩擦系數(shù)；cd為動摩擦系數(shù)：

(9)

式中：v0,v1為給定的速度極限值。

綜上，間隙處接觸碰撞力矢量Fp表達為：

Fp=(Fn+Ft)+

(10)

下標“+”表示當δ≥0表示軸套與軸頸發(fā)生接觸碰撞，此時間隙處產(chǎn)生接觸碰撞力；當δ<0表示間隙運動副元素間沒有發(fā)生碰撞，此時間隙處沒有產(chǎn)生接觸碰撞力，即Fp= 0。

3 柔性可展帆板含間隙動力學(xué)模型

柔性可展帆板動力學(xué)模型是基于剛性可展帆板模型，采用有限元法對帆板進行柔性處理后建立，基本方法如下：

(1) 基于理想剛體，分析可展帆板運動特性。

(2) 基于剛性可展帆板運動分析，解析系統(tǒng)慣性力及瞬時外力。將帆板瞬時固定，施加慣性力及此瞬時外力，分析帆板瞬時的彈性變形運動。

(3) 將剛性可展帆板運動與可展帆板的瞬時彈性運動相互疊加，建立柔性可展帆板動力學(xué)模型。

3.1 剛性可展帆板含間隙動力學(xué)模型

由于二級帆板機構(gòu)展開過程是平面運動，故將其簡化為平面連桿機構(gòu)。帆板等效處理后，受力如圖3所示。

基于牛頓-歐拉法，建立可展帆板1，2的剛體動力學(xué)方程，分別如下:

(11)

式中：Rj2為銷軸半徑，j=A,B；Jm為繞m點的轉(zhuǎn)動慣量，m=O2,O4；li為帆板i的長度；Gi為帆板i所受的重力；lsi為帆板i質(zhì)心與鉸鏈中心距離；θi為帆板i位姿角；φi為接觸角；axi,ayi為帆板i質(zhì)心沿X,Y方向的加速度；Ti為作用在帆板i上的轉(zhuǎn)矩，i=1,2；F31x,F31y,F21x,F21y,F12x,F12y為間隙碰撞力。

3.2 可展帆板柔性化

假定桿單元的節(jié)點坐標為δ1,δ2,δ3,δ4,δ5,δ6，如圖4所示。其上任一點H距節(jié)點1的距離為x，變形為u,w，寫成矩陣形式為m=[uw]T,u,w分別為點H沿桿長方向以及垂直桿方向的變形。

基于上述假設(shè)，建立帆板1變形函數(shù)：

(12)

則可得到帆板1單元廣義力：

(13)

式中：P1，P2分別為帆板1在X,Y方向上的慣性力，P3為繞帆板質(zhì)心的慣性力矩。

則可建立帆板1的單元廣義力矢量：

Q1=[Q1Q2Q3Q4Q5Q6]T

(14)

同理，可得到帆板2的單元廣義力矢量Q2=[Q7Q8Q9]T，則可得到系統(tǒng)的單元廣義力矩陣：

Q=[Q1Q2]T

(15)

根據(jù)形函數(shù)可以得到桿的彈性應(yīng)變能U，動能T：

(16)

式中，E為帆板的彈性模量，A為帆板橫截面積，I為截面慣性矩，ρ為單位長度的質(zhì)量。

式(17)拉格朗日方程：

(17)

式中，Qn為節(jié)點坐標δn下的單元廣義力。

將式(16)帶入式(17)，可得到展開機構(gòu)展開過程中的質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K。

3.3 含雙間隙柔性可展帆板動力學(xué)模型

基于剛性及彈性運動的等效運動疊加，建立含間隙柔性可展帆板動力學(xué)模型：

(18)

4 數(shù)值求解和結(jié)果分析

給定兩級帆板展開運動規(guī)律：帆板1的運動規(guī)律為θ1=-0.25πcos(0.2πt)+0.25π，帆板2的運動規(guī)律為θ2=0.25πcos(0.2 πt)-0.25π。給定初始間隙值c=0.05 mm，摩擦系數(shù)cf= 0.01，帆板運行時長為5 s。其他相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 可展帆板幾何與慣性參數(shù)Tabble 1 Geometrical and inertial parameters of plane

含間隙可展帆板間隙處的碰撞一般為低速、頻繁碰撞，可根據(jù)前后碰撞體穿透深度來判別碰撞。設(shè)δ(t)、δ(t+Δt)分別為t時刻和t+Δt時刻鉸鏈間隙處碰撞體穿透深度，當δ(t+Δt)·δ(t)≤0成立時，可判定在時間Δt內(nèi)間隙處運動副元素之間至少發(fā)生一次碰撞。利用MATLAB軟件進行數(shù)值求解[21],數(shù)值求解過程如圖6。

4.1 帆板柔性對帆板展開過程的影響

保持帆板展開規(guī)律不變，數(shù)值仿真分析帆板柔性變形對帆板展開過程的影響，參見圖7和圖8。圖7表示帆板展開過程中柔性對帆板質(zhì)心加速度的影響。結(jié)合圖(a)、(b)分析可知，含間隙柔性可展帆板的質(zhì)心加速度的上下波動，是由帆板彈性變形和鉸鏈處間隙共同作用引起的。在帆板展開初始時期，對帆板質(zhì)心加速度產(chǎn)生影響的因素中，間隙起主要作用；隨著時間變化，間隙影響迅速減小，此時帆板彈性變形起主要作用。

圖8為柔性引入對帆板間隙處碰撞力的影響。由圖8(a)和(b)比較分析可知，帆板柔性會減弱間隙處碰撞的劇烈程度，減小碰撞力幅值，但帆板機構(gòu)趨于平穩(wěn)運行狀態(tài)的時間明顯延長，且達到平穩(wěn)狀態(tài)的過程中碰撞力變化是相對連續(xù)的。這是因為帆板柔性對碰撞有緩沖作用，減小了碰撞能量和能量損失速度，使碰撞-分離-碰撞的次數(shù)變多。

4.2 雙間隙對帆板展開動態(tài)特性影響

保持展開規(guī)律不變，數(shù)值仿真分析單、雙間隙對柔性帆板展開的影響。圖 9顯示銷軸中心軌跡。比較圖9(a)和(c)可知，機構(gòu)中多間隙的存在，使鉸鏈間隙縮小碰撞范圍：比較圖9(a)和(b)可知，間隙鉸鏈相對于機架的位置直接影響鉸鏈間隙碰撞的幅度及范圍；且間隙的影響可疊加耦合至機架處鉸鏈，引起其碰撞幅度及范圍的減小。因此，多間隙的存在，引起鉸鏈間隙動態(tài)特性耦合和遠端間隙碰撞能量消耗，間接減小了機架處鉸鏈間隙碰撞的范圍。

圖10顯示帆板間隙處碰撞力的變化情況。比較圖10(a)和(c)可知，多間隙的存在，增加了碰撞力峰值和碰撞頻率，并使趨于穩(wěn)定狀態(tài)的時間縮短，但最終碰撞力的大小都穩(wěn)定在200 N左右；比較圖10(a)，(b)，(c)可知，間隙鉸鏈相對于機架的位置直接影響鉸鏈間隙處的碰撞力，且遠端鉸鏈間隙的影響可疊加耦合至機架處鉸鏈間隙。因此，多間隙的存在可引起動態(tài)特性的耦合，增大鉸鏈間隙的接觸碰撞力。

5 結(jié) 論

(1)用修正的庫倫模型和L-N接觸碰撞力模型描述間隙，利用有限元法對帆板柔性處理，是對含間隙機構(gòu)進行柔性動力學(xué)研究的有效方法。應(yīng)用該方法描述可重復(fù)折展太陽帆板展開過程，可方便分析帆板柔性、間隙對可展帆板動態(tài)性能的影響。

(2)在不影響展開機構(gòu)剛度的前提下，帆板柔性可補償因鉸間隙引起的加速度波動，進而改善帆板展開機構(gòu)的動態(tài)特性。

(3)帆板展開過程中間隙鉸運動副元素間的碰撞力將加速鉸鏈的疲勞破壞，對展開機構(gòu)動態(tài)特性產(chǎn)生不良影響。通過分析碰撞力響應(yīng)可知，帆板柔性特性會減弱間隙處碰撞的劇烈程度，減小碰撞力幅值，但帆板機構(gòu)趨于平穩(wěn)運行狀態(tài)的時間明顯滯后。

(4)鉸鏈間隙數(shù)目的增加，碰撞力峰值和頻率也隨之變大。間隙鉸鏈相對于機架的位置則影響鉸鏈間隙處的接觸-碰撞狀態(tài)，且遠端鉸鏈間隙的影響可疊加耦合至機架處鉸鏈間隙。