徐磊 ，董明，陳靖

（1.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030；2.上海外國(guó)語大學(xué) 國(guó)際工商管理學(xué)院，上海 200083）

補(bǔ)貼作為一種利用資金幫助企業(yè)和消費(fèi)者以促進(jìn)社會(huì)福利的手段，一直以來都被國(guó)內(nèi)外政府或非營(yíng)利機(jī)構(gòu)廣泛地采用。其應(yīng)用范圍也十分廣泛，從傳統(tǒng)的農(nóng)業(yè)（如糧食[1]、棉花[2]）、日常食品（如燕麥牛奶[3]等）和生活必需品（如藥物[4-6]、眼鏡[7]等），到現(xiàn)代的綠色科技（如太陽能[8]、新能源汽車[9]）和優(yōu)質(zhì)生活（如健康飲食[10-11]）等方面。

實(shí)踐證明，具體的對(duì)企業(yè)或個(gè)人的補(bǔ)貼方式的制定和執(zhí)行，對(duì)補(bǔ)貼策略的影響十分顯著。同時(shí)，由于社會(huì)福利等傳統(tǒng)指標(biāo)的難以刻畫性，加之在大部分情境下，促進(jìn)市場(chǎng)整體消費(fèi)量都是比較合理的目標(biāo)和方向，特別是在新興產(chǎn)業(yè)、或求過于供的疫苗案例[12]等情況下。因此，總銷售量成為另一個(gè)重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)。特別是市場(chǎng)總銷售量與補(bǔ)貼總成本之間的平衡這一研究問題，因其廣泛的應(yīng)用背景而獲得了較多的關(guān)注，如太陽能技術(shù)[13]、新能源汽車[9]等需要一定數(shù)量的消費(fèi)者采用才能形成規(guī)模效應(yīng)，使得整體獲益；瘧疾藥物或疫苗應(yīng)當(dāng)達(dá)到一定的普及程度，才能對(duì)整個(gè)地區(qū)的疾病控制有比較好的效果。

然而，長(zhǎng)期以來，相關(guān)的研究主要集中在經(jīng)濟(jì)政策領(lǐng)域，討論稅收等具體方式的實(shí)施與效果[14-19]。Fullerton等[16]較為詳盡地呈現(xiàn)了該領(lǐng)域中非完全競(jìng)爭(zhēng)模型下較為經(jīng)典的一些研究成果，他們假設(shè)面對(duì)的是同質(zhì)的企業(yè)，研究討論稅收對(duì)市場(chǎng)中參與競(jìng)爭(zhēng)的企業(yè)數(shù)量的影響，進(jìn)而考察稅收作為一種補(bǔ)貼方式對(duì)消費(fèi)者的影響。Leahy等[20]在線性需求的假設(shè)下，考慮在國(guó)際貿(mào)易競(jìng)爭(zhēng)中，政府應(yīng)當(dāng)選擇如何利用補(bǔ)貼工具調(diào)控本國(guó)企業(yè)的產(chǎn)量，以使得己方社會(huì)福利最大化。但是在模型假設(shè)中，政府能夠直接選擇本國(guó)企業(yè)產(chǎn)量；同時(shí)，進(jìn)一步假設(shè)已知政府資金的機(jī)會(huì)成本，故并未體現(xiàn)出補(bǔ)貼如何具體產(chǎn)生作用的過程。

運(yùn)營(yíng)范疇內(nèi)相關(guān)的研究在近年來逐漸增加。以最大化銷售量為目標(biāo)，Taylor 等[12]及Berenguer等[21]均直接選擇了作為補(bǔ)貼對(duì)象的某一企業(yè)或非營(yíng)利組織展開研究，前者以多階段模型討論采購補(bǔ)貼和銷售補(bǔ)貼對(duì)企業(yè)的影響，后者則重點(diǎn)比較該兩種方式分別實(shí)施在企業(yè)與非營(yíng)利組織上的效果。目標(biāo)同樣是促進(jìn)社會(huì)整體消費(fèi)量，Levi等[22]集中討論了在不完全競(jìng)爭(zhēng)下，補(bǔ)貼對(duì)象為行業(yè)中所有企業(yè)且每單位補(bǔ)貼均相同這一補(bǔ)貼方式的效果。盡管在假設(shè)中企業(yè)是存在差異的，但是文中并未對(duì)企業(yè)之間的比較和選擇進(jìn)行討論。Lobel等[13]以最小化補(bǔ)貼總額為目標(biāo)，討論了政府應(yīng)當(dāng)如何制定補(bǔ)貼策略以鼓勵(lì)選擇太陽能的消費(fèi)者達(dá)到一定數(shù)量。此研究中，補(bǔ)貼直接作為安裝補(bǔ)助費(fèi)用，直接發(fā)放至消費(fèi)者。

本文的研究方向與上述文獻(xiàn)一致，目的為討論補(bǔ)貼政策制定者如何能夠在整個(gè)市場(chǎng)的銷售量達(dá)到期望增量的基礎(chǔ)上盡可能降低補(bǔ)貼總成本。理論貢獻(xiàn)在于采用了文獻(xiàn)中普遍使用的線性需求為假設(shè)，從理論上分析面對(duì)兩家競(jìng)爭(zhēng)型企業(yè)時(shí)，如何選擇補(bǔ)貼對(duì)象（包括企業(yè)和消費(fèi)者）并制定相對(duì)應(yīng)的每單位補(bǔ)貼額度。同時(shí)，由于目標(biāo)和假設(shè)的一般性，理論研究結(jié)果的適用范圍將較為廣泛，不僅能夠使政府及社會(huì)建設(shè)參與度和影響力逐漸增加的非政府機(jī)構(gòu)對(duì)補(bǔ)貼對(duì)象的選擇有更深入的認(rèn)識(shí)，也能為這些補(bǔ)貼政策制定者在實(shí)踐中如何制定具體的補(bǔ)貼方式以平衡補(bǔ)貼費(fèi)用與市場(chǎng)銷售量提供一定的參考。

1 模型與假設(shè)

考慮兩家寡頭競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)A和B，分別生產(chǎn)銷售有差異的同類型產(chǎn)品A和產(chǎn)品B（為表述方便，A和B同時(shí)表示企業(yè)和產(chǎn)品，在無歧義的情況下不作區(qū)分）。根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，假設(shè)產(chǎn)品需求函數(shù)為

其中：a為市場(chǎng)容量；b∈[0，1]為產(chǎn)品B的定價(jià)p B對(duì)產(chǎn)品A的需求的影響，反映了兩者之間的替代性。當(dāng)bi=0 時(shí)，意味著兩者不可替代；當(dāng)bi=1時(shí)，則為完全替代品。

出資方考慮3種單一補(bǔ)貼方式，分別對(duì)應(yīng)不同的補(bǔ)貼對(duì)象，即將補(bǔ)貼發(fā)放給企業(yè)A，或企業(yè)B，或直接發(fā)放給消費(fèi)者。假設(shè)企業(yè)i所獲得的每單位產(chǎn)品補(bǔ)貼額度為w i≥0，消費(fèi)者所獲得每單位產(chǎn)品補(bǔ)貼額度為w C≥0。其優(yōu)化問題在于，如何制定補(bǔ)貼方式，以最少的花費(fèi)達(dá)到既定的目標(biāo)銷售額增量ΔQ。因此，整個(gè)博弈事件順序?yàn)椋?/p>

（1）出資方宣布補(bǔ)貼方式（w A，w B，w C），其中，w Aw B=w Bw C=w Cw A=0；

（2）企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)需求、補(bǔ)貼方式和成本ci，以最優(yōu)化利潤(rùn)為目標(biāo)，各自對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)pi；

（3）消費(fèi)者根據(jù)產(chǎn)品價(jià)格和補(bǔ)貼方式進(jìn)行選擇，產(chǎn)品i的銷量為

（4）出資方根據(jù)最初制定的補(bǔ)貼方式，發(fā)放對(duì)應(yīng)的補(bǔ)貼。

下文將采用倒序求解法，首先分析給定補(bǔ)貼方式（w A，w B，w C），企業(yè)的最優(yōu)決策和相應(yīng)的消費(fèi)者選擇；然后據(jù)此分析比較不同的補(bǔ)貼方式，進(jìn)而得到出資方的最優(yōu)決策。

1.1 企業(yè)最優(yōu)決策：無補(bǔ)貼情況

定理1企業(yè)i的最優(yōu)定價(jià)為

對(duì)應(yīng)的銷量為

證明企業(yè)i的收益為

對(duì)p i求一階導(dǎo)數(shù)，可得

根據(jù)一階導(dǎo)最優(yōu)條件，令其等于0求解可得。

證畢

根據(jù)定理1，可以進(jìn)一步比較兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)占有情況。

推論1產(chǎn)品A的銷量高于產(chǎn)品B的銷量（即當(dāng)且僅當(dāng)b A-b B＞α（c A-c B）滿足時(shí)，其中，α=（2-ba b B+b B）/（a+c B）。

由推論1可知，產(chǎn)品A擁有較高市場(chǎng)占有率主要有如下3種情況：

（1）產(chǎn)品A具有較好的替代性，同時(shí)還擁有較低的單位成本，即b A＞b B，并且c A＜c B。這種情況下，產(chǎn)品A在兩方面均具有競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，故而占據(jù)了較大的市場(chǎng)份額。

（2）產(chǎn)品A具有較好的替代性，但是單位成本較高，即b A＞b B，并且c A＞c B。此時(shí)，產(chǎn)品A若仍能占據(jù)較大的市場(chǎng)份額，其在替代性上的優(yōu)勢(shì)必須超過成本上的劣勢(shì)，即（b A-b B）/（c A-c B）＞α。

（3）產(chǎn)品A具有較差的替代性，但擁有低成本的優(yōu)勢(shì)，即b A＜b B，并且c A＜c B。該情況下，當(dāng)產(chǎn)品A較差的替代性的劣勢(shì)能夠被低成本的優(yōu)勢(shì)超過，即（c B-c A）/（b B-b A）＞1/α?xí)r，才能夠擁有較大的市場(chǎng)占有率。

總結(jié)而言，企業(yè)雙方在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)在于產(chǎn)品替代性（消費(fèi)者偏好）和成本兩方面。當(dāng)該企業(yè)產(chǎn)品在兩方面都能獲得競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，或在一方面的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)足夠大時(shí)，將能夠占據(jù)市場(chǎng)有利地位。

1.2 企業(yè)最優(yōu)決策：有補(bǔ)貼情況

當(dāng)企業(yè)i所獲得的每單位產(chǎn)品補(bǔ)貼額度為w i，消費(fèi)者所獲得每單位產(chǎn)品補(bǔ)貼額度為w C時(shí)，產(chǎn)品i的需求函數(shù)為

定理2給定每單位產(chǎn)品補(bǔ)貼額度（w A，w B，w C），企業(yè)i的最優(yōu)定價(jià)為

對(duì)應(yīng)的銷量為

證明企業(yè)i的利潤(rùn)為

對(duì)其求p i的一階導(dǎo)數(shù)，可得

令?πi（p i，p j，w A，w B，w C）/?pi=0，求解可得

證畢

因此，有補(bǔ)貼情況下的最優(yōu)價(jià)格和數(shù)量決策可以進(jìn)一步表示為：

由此可知，補(bǔ)貼的發(fā)放總是能夠使得對(duì)于消費(fèi)者而言的實(shí)際價(jià)格降低，整個(gè)市場(chǎng)的銷售量增加。若補(bǔ)貼對(duì)象為某一產(chǎn)品，則該產(chǎn)品的銷量將增加，另一產(chǎn)品的銷量將降低；若補(bǔ)貼對(duì)象為消費(fèi)者，則兩種產(chǎn)品的銷量均會(huì)增加。相同單位補(bǔ)貼額所帶來的具體補(bǔ)貼效果，即對(duì)銷售量的影響則是由兩種產(chǎn)品之間的相互替代性所決定的。

2 補(bǔ)貼對(duì)象的分析與選擇

本章將對(duì)出資方的決策進(jìn)行分析，考慮如何制定具體的補(bǔ)貼方案，使得達(dá)到給定目標(biāo)增量時(shí)所花費(fèi)的補(bǔ)貼總額最少。

令Q（w A，w B，w C）表示給定補(bǔ)貼方式（w A，w B，w C）下的市場(chǎng)總銷售量，QN表示無補(bǔ)貼時(shí)的市場(chǎng)總銷售量，于是有

同時(shí)有約束條件：

由于銷售量均隨單位補(bǔ)貼額度單調(diào)增加，而出資方的目標(biāo)在于最小化補(bǔ)貼總額，故最優(yōu)決策必然會(huì)使上述條件取等，否則總是可以在不改變不等式符號(hào)的條件下降低每單位補(bǔ)貼額度進(jìn)而減少補(bǔ)貼總額。

因此，如果選擇補(bǔ)貼企業(yè)A，則必然有

求解可得最優(yōu)的單位補(bǔ)貼額度：

所需要花費(fèi)的補(bǔ)貼總額為

同理可得選擇補(bǔ)貼企業(yè)B或消費(fèi)者時(shí)的最優(yōu)補(bǔ)貼決策。

定理3給定目標(biāo)增量ΔQ：

（1）若選擇補(bǔ)貼企業(yè)i，最優(yōu)單位補(bǔ)貼額度和補(bǔ)貼總額分別為：

其中，i，j∈｛A，B｝，i≠j。

（2）若選擇補(bǔ)貼消費(fèi)者，最優(yōu)單位補(bǔ)貼額度和補(bǔ)貼總額分別為：

通過定理3的結(jié)論可知，在任何一種補(bǔ)貼方式下，最優(yōu)單位補(bǔ)貼額度和補(bǔ)貼總額均隨目標(biāo)增量的單調(diào)增加，且補(bǔ)貼總額是關(guān)于目標(biāo)增量的凸函數(shù)。3種補(bǔ)貼方式的區(qū)別在于，由于產(chǎn)品替代性和成本的差異，故造成的增長(zhǎng)率不同。

2.1 補(bǔ)貼對(duì)象選擇：企業(yè)A 或企業(yè)B

首先考慮如果要選擇一家企業(yè)進(jìn)行補(bǔ)貼，應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行分析與比較。選擇企業(yè)A和企業(yè)B的補(bǔ)貼總額差異為

定理4假設(shè)b A≥bB：

（1）若

則當(dāng)ΔQ∈[0，+∞）時(shí)，ΔW A-B（ΔQ）≤0。

（2）若

則存在

當(dāng)ΔQ∈[0，ΔQAB]時(shí)，ΔW A-B（ΔQ）≥0；當(dāng)ΔQ∈（ΔQAB，+∞）時(shí)，ΔW A-B（ΔQ）＜0。

證明由于

b A和b B的差異決定了當(dāng)ΔQ足夠大時(shí)，兩者補(bǔ)貼總額的差異。即若b B-b A≤（＞）0，則當(dāng)ΔQ足夠大時(shí)，有ΔW A-B（ΔQ）≤（＞）0。因?yàn)槠髽I(yè)A、B在本文中處于對(duì)等的地位，所以，可以不失一般性地集中討論b A≥b B的情況。

令ΔW A-B（ΔQ）=0，可得

由定理4可知，若b A≥b B，隨著目標(biāo)增量ΔQ的提高，最終選擇產(chǎn)品A的補(bǔ)貼總額會(huì)低于產(chǎn)品B。這表明，當(dāng)目標(biāo)增量較大時(shí)，應(yīng)該更加關(guān)注產(chǎn)品的替代性，即消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的偏好在長(zhǎng)遠(yuǎn)上決定了補(bǔ)貼應(yīng)該選擇的對(duì)象企業(yè)，故在此情況下，應(yīng)該選擇產(chǎn)品替代性較好的企業(yè)。

而當(dāng)目標(biāo)增量相對(duì)較小時(shí)，則存在如下兩種情況：

（1）應(yīng)當(dāng)選擇產(chǎn)品A當(dāng)其替代性較好，即b A≥b B，且市場(chǎng)占有率不是特別高之時(shí)，即

（2）應(yīng)當(dāng)選擇產(chǎn)品B當(dāng)其替代性較差，即b B≤b A，同時(shí)市場(chǎng)占有率較低時(shí)，即

兩種情況的共性是，被選擇進(jìn)行補(bǔ)貼的產(chǎn)品均擁有相對(duì)較低的市場(chǎng)占有率和相對(duì)較高的成長(zhǎng)速率，所以，此時(shí)每單位補(bǔ)貼所帶來的效果會(huì)相對(duì)較大。因此，當(dāng)目標(biāo)增量較小時(shí)，選擇這種產(chǎn)品進(jìn)行補(bǔ)貼會(huì)見效比較快。

2.2 補(bǔ)貼對(duì)象選擇：企業(yè)或消費(fèi)者

考慮將補(bǔ)貼直接發(fā)放給消費(fèi)者，則此補(bǔ)貼方式所需的總額與補(bǔ)貼給企業(yè)i的總額的差異為

引理1對(duì)于i，j∈｛A，B｝，i≠j，有：

（1）若

當(dāng)ΔQ∈[0，+∞）時(shí)，ΔW C-i（ΔQ）≤0。

（2）若

則存在

當(dāng)ΔQ∈[0，ΔQCi]時(shí)，ΔW C-i（ΔQ）≥0；當(dāng)ΔQ∈（ΔQCi，+∞）時(shí)，ΔW C-i（ΔQ）＜0。

證明由于

故當(dāng)ΔQ足夠大時(shí)，將有ΔW C-i（ΔQ）＜0。

令ΔW C-i（ΔQ）=0，可得

引理1表明，當(dāng)目標(biāo)增量較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)直接補(bǔ)貼給消費(fèi)者。值得注意的是，此時(shí)在企業(yè)或消費(fèi)者的選擇上，產(chǎn)品替代性不再像之前在企業(yè)間選擇一樣具有決定性影響。原因在于，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，對(duì)于消費(fèi)者而言，相比較于產(chǎn)品的降價(jià)，最偏好的還是直接給予補(bǔ)貼。

而當(dāng)目標(biāo)增量較小時(shí)，則要根據(jù)具體情況進(jìn)行選擇，由于短期增長(zhǎng)速率的不同，企業(yè)或消費(fèi)者都有可能是最優(yōu)補(bǔ)貼對(duì)象，故需要對(duì)3個(gè)門檻值企業(yè)A或企業(yè)B（ΔQAB）、消費(fèi)者或企業(yè)A（ΔQCA）以及消費(fèi)者或企業(yè)B（ΔQCB）進(jìn)行進(jìn)一步的比較分析。

首先比較ΔQAB與ΔQCA。兩者的差異為

同理可得，ΔQAB與ΔQCA的差異為

不失一般性，僅討論b A≥b B的情況，可得此時(shí)最優(yōu)決策如定理5所述。

定理5假設(shè)b A≥b B：

（1）若

證明當(dāng)b A≥b B時(shí)，可知，βA＞0，βB＞0。

（1）若

則有

根據(jù)引理1可知，此時(shí)，ΔQCA≤0，ΔQCB≥0。同時(shí)，由定理4可知，ΔQAB≥0。于是可得ΔQCA≤0≤ΔQCB≤ΔQAB。

根據(jù)定理4和引理1的結(jié)論可知：

①當(dāng)ΔQ∈[0，ΔQCB）時(shí)，有：

故W B（ΔQ）≤W C（ΔQ）≤W A（ΔQ）。

②當(dāng)ΔQ∈[ΔQCB，ΔQAB）時(shí)，有：

故W C（ΔQ）≤W B（ΔQ）≤W A（ΔQ）。

③當(dāng)ΔQ∈[ΔQAB，+∞）時(shí)，有：

故W C（ΔQ）≤W A（ΔQ）≤W B（ΔQ）。

（2）若

則有

同時(shí)可知，ΔQAB＜0，ΔQCA＞0，ΔQCB＜0。因此，有ΔQAB＜ΔQCB＜0＜ΔQCA。

①當(dāng)ΔQ∈[0，ΔQCA）時(shí)，有：

故W A（ΔQ）≤W C（ΔQ）≤W B（ΔQ）。

②當(dāng)ΔQ∈[ΔQCA，+∞）時(shí)，有：

定理5表明，當(dāng)目標(biāo)增量較小時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇補(bǔ)貼給企業(yè)。原因在于，由于產(chǎn)品的替代性和成本之間的差異，在最初時(shí)，每單位補(bǔ)貼給產(chǎn)品A或是B所帶來的銷售量增加的效果不同，故此時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇某一家企業(yè)進(jìn)行補(bǔ)貼。當(dāng)補(bǔ)貼不同企業(yè)所帶來的邊際增量相同時(shí)，如果只能選擇某一家企業(yè)進(jìn)行補(bǔ)貼且每單位補(bǔ)貼均可進(jìn)行一次選擇，則應(yīng)當(dāng)是在兩者之間交替進(jìn)行。因此，在此情況下，選擇直接補(bǔ)貼消費(fèi)者更為明智，因?yàn)楸举|(zhì)上而言，相當(dāng)于是同時(shí)補(bǔ)貼兩家企業(yè)。

3 數(shù)值分析

本章將采用數(shù)值分析的方式，對(duì)不同環(huán)境參數(shù)條件下，對(duì)各種補(bǔ)貼方式進(jìn)行分析和比較。

3.1 補(bǔ)貼對(duì)象的比較與選擇

首先討論最優(yōu)補(bǔ)貼對(duì)象的選擇問題。根據(jù)上文的結(jié)論，不失一般性，在假設(shè)b A≥b B的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步討論。此時(shí)，又有兩種情況，即c A≥c B和c A＜c B。

考慮第1種情況，即c A≥c B時(shí)。令a=100，b A=0.8，b B=0.56，c A=10，c B=6，在無補(bǔ)貼時(shí)，產(chǎn)品A、B的最優(yōu)銷售量分別為=75.81，=71.03。當(dāng)目標(biāo)銷售額增量ΔQ從1增至11時(shí)，各補(bǔ)貼方式所需總額之差如圖1所示。

圖1 a=100，b A=0.8，bB=0.56，c A=10，c B=6 時(shí)，各補(bǔ)貼方式所需總額之差

為方便討論，定義

在此算例中，Condition=-13.15＜0，對(duì)應(yīng)于定理5中的第2部分的討論。根據(jù)圖1可知，面對(duì)同樣的目標(biāo)銷售增量，選擇單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A所需要的補(bǔ)貼總額總是少于單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)B所需的補(bǔ)貼總額，且兩者之間的差異隨目標(biāo)增量的增加而增加。同時(shí)，選擇單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)B所需的補(bǔ)貼總額總是多于選擇直接補(bǔ)貼消費(fèi)者所需的補(bǔ)貼總額，兩者之間的差異也隨目標(biāo)增量的增加而增加。但對(duì)于單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A和直接補(bǔ)貼消費(fèi)者之間，則需要進(jìn)一步考慮目標(biāo)銷售增量的大小。當(dāng)目標(biāo)增量較小時(shí)，即圖1 中小于8的部分，選擇單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A所需的補(bǔ)貼總額較少；而當(dāng)目標(biāo)增量大于某一值（圖1 的算例中為8）之后，則選擇直接補(bǔ)貼消費(fèi)者所需的補(bǔ)貼總額將較少，兩者之間的差異隨目標(biāo)增量的增加，先增加然后降低為0，之后又逐漸增加。因此，在補(bǔ)貼方式的選擇上，為在補(bǔ)貼增量低于某一門檻值時(shí)，選擇單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A，高于該門檻值之后，選擇直接補(bǔ)貼消費(fèi)者，與定理5的結(jié)論一致。

圖2考慮第2種情況，即c A＜c B時(shí)。其中參數(shù)取值分別為a=100，b A=0.8，b B=0.16，c A=10，c B=30，此情況下若無補(bǔ)貼，產(chǎn)品A、B的最優(yōu)銷售量分別為=41.69，Condition=7.6＞0，對(duì)應(yīng)于定理5中的第1部分的討論。圖2呈現(xiàn)了當(dāng)目標(biāo)增量從1增至7.5時(shí)，各補(bǔ)貼方式所需補(bǔ)貼總額之差。此情況下，面對(duì)相同的目標(biāo)銷售增量，單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A所需的補(bǔ)貼總額總是高于直接補(bǔ)貼消費(fèi)者所需的總額，且兩者之間的差異隨著目標(biāo)增量遞增。同時(shí)，單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A所需的補(bǔ)貼總額在目標(biāo)增量較小時(shí)，也高于單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)B所需的補(bǔ)貼總額，但當(dāng)目標(biāo)增量較大時(shí)，此算例中為大于4.5的部分，則前者所需的補(bǔ)貼總額少于后者，兩者之前的差異先增大后減少為0，此時(shí)較優(yōu)的選擇發(fā)生改變，后又逐漸增大。而單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)B和直接補(bǔ)貼消費(fèi)者相比，前者只有在目標(biāo)增量較小時(shí)所需的補(bǔ)貼總額較少，即算例中小于2的部分，前者優(yōu)勢(shì)逐漸減少為零后，后者的優(yōu)勢(shì)逐漸增大。由上述分析可知，在補(bǔ)貼方式的比較上，存在兩個(gè)門檻值，此算例中為補(bǔ)貼企業(yè)A和B之間的8，及補(bǔ)貼企業(yè)B和消費(fèi)者之間的2；在補(bǔ)貼方式的選擇上，只需考慮較小的門檻值，低于該值時(shí)，選擇補(bǔ)貼企業(yè)B，高于該值后則選擇直接補(bǔ)貼消費(fèi)者，亦與定理5的討論一致。

圖2 a=100，b A=0.8，c A=10，bB=0.16，c B=30時(shí)，各補(bǔ)貼方式所需總額之差

同時(shí)比較圖1、2兩個(gè)算例可以發(fā)現(xiàn)，盡管具體的優(yōu)劣有所區(qū)別，但是兩者之間整體的趨勢(shì)是非常相似的。在目標(biāo)增量超過一定要求后，三者相比，都是直接補(bǔ)貼消費(fèi)者最優(yōu)，補(bǔ)貼企業(yè)A次優(yōu)。而在目標(biāo)增量較小時(shí)，都應(yīng)當(dāng)選擇某個(gè)企業(yè)進(jìn)行補(bǔ)貼；同時(shí)，值得注意的是，選擇補(bǔ)貼企業(yè)的優(yōu)勢(shì)都呈現(xiàn)了先增加后減少的趨勢(shì)。

3.2 敏感性分析

由上文的分析可知，在補(bǔ)貼對(duì)象的比較和選擇上，存在一個(gè)門檻策略，接著將對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，進(jìn)一步檢驗(yàn)和理解門檻策略在不同參數(shù)環(huán)境下的變化，以供決策者在選擇和制定具體補(bǔ)貼方式參考。

首先討論關(guān)于參數(shù)a的敏感性分析，依舊在b A≥b B的基礎(chǔ)假設(shè)下，考慮c A≥c B和c A＜c B兩種情況。圖3展示了兩個(gè)典型算例的結(jié)果。圖3（a）為c A≥c B的一個(gè)算例，參數(shù)分別為：b A=0.8，b B=0.4，c A=10，c B=20。運(yùn)算結(jié)果顯示，當(dāng)a從56 增加至65時(shí)，Condition、ΔQAB和ΔQCB均呈遞減趨勢(shì)，且均由一個(gè)正值減至一個(gè)負(fù)數(shù)；與此同時(shí)，ΔQCA由一負(fù)值遞增至一正數(shù)。如定理5 討論結(jié)果一致，四者的正負(fù)變更點(diǎn)一致。圖3（b）為c A＜c B的一個(gè)算例，參數(shù)分別為：b A=0.6，b B=0.048，c A=10，c B=9。運(yùn)算結(jié)果顯示，盡管具體數(shù)值結(jié)果不同，但是整體趨勢(shì)與左側(cè)算例是相同的。

綜合兩個(gè)算例的結(jié)果可知，作為可選的補(bǔ)貼對(duì)象，企業(yè)或消費(fèi)者并沒有哪一個(gè)是在所有參數(shù)環(huán)境下都占優(yōu)勢(shì)的，且如定理5的討論結(jié)果所述，目標(biāo)增量較小時(shí)，補(bǔ)貼企業(yè)為較優(yōu)的選擇，而目標(biāo)增量較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇直接補(bǔ)貼消費(fèi)者。同時(shí)，可見，當(dāng)參數(shù)a增大時(shí)，由定理5中第1部分討論結(jié)果逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榈?部分討論的結(jié)果，即目標(biāo)增量較小時(shí)，單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)B的方式從占有優(yōu)勢(shì)，到逐漸失去優(yōu)勢(shì)至最終被單獨(dú)補(bǔ)貼企業(yè)A的方式所替代。并且，在最優(yōu)選擇不變的情況下，若最優(yōu)選擇為先補(bǔ)貼企業(yè)A，后直接補(bǔ)貼消費(fèi)者，則該目標(biāo)增量的門檻值隨著a的增加而增加；而若是最優(yōu)策略為先補(bǔ)貼企業(yè)B，門檻值則是隨著a的增加而遞減的。

圖3 參數(shù)a的敏感性分析

為了對(duì)參數(shù)b和c進(jìn)行敏感性分析的討論，定義

令a=30，b A=0.8，c A=10，圖4～7呈現(xiàn)了當(dāng)θb從0.01 遞增至0.91、θc從0.7 遞增至1.5 時(shí)，Condition、ΔQAB、ΔQCA以及ΔQCB的運(yùn)算結(jié)果。與圖1的結(jié)果相同，不存在唯一的補(bǔ)貼方式在所有參數(shù)環(huán)境下最優(yōu)。

由圖4結(jié)果可知，給定b A和c A時(shí)，Condition隨著θb的增大先減小后增大，且呈負(fù)值的區(qū)間隨著θc的增大而減小。同時(shí)，Condition的值隨著θc的增大由負(fù)值單調(diào)遞增至正值，并且，由負(fù)變?yōu)檎倪@一邊界值隨著θb的增加先增大后減小。這意味著在b B相對(duì)中等、c B相對(duì)較小時(shí)，補(bǔ)貼產(chǎn)品A是相對(duì)比較好的選擇，這也符合前文的分析，因?yàn)榇丝坍a(chǎn)品A的市場(chǎng)占有率不是特別高，每單位補(bǔ)貼所能帶來的銷售增量將更為有效；而當(dāng)b B與b A的差異較大，或c B較大時(shí)，補(bǔ)貼產(chǎn)品B成為了更好的選擇。

圖4 參數(shù)b和c 關(guān)于Condition的敏感性分析

圖5 參數(shù)b和c 關(guān)于ΔQAB 的敏感性分析

圖6 參數(shù)b和c 關(guān)于ΔQCA 的敏感性分析

觀察圖5～7可知，ΔQAB和ΔQCB隨參數(shù)b、c的變化趨勢(shì)與Condition是一致的，而ΔQCA則相反。原因在于，當(dāng)目標(biāo)增量較大時(shí)，不管產(chǎn)品A、B之間的具體競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系如何，直接補(bǔ)貼消費(fèi)者都將是最好的選擇；而當(dāng)目標(biāo)增量較小時(shí)，總是應(yīng)當(dāng)在補(bǔ)貼A或B中進(jìn)行選擇。當(dāng)Condition為負(fù)值時(shí)，意味著選擇補(bǔ)貼企業(yè)A是較優(yōu)的，對(duì)于ΔQAB和ΔQCB而言也是如此，而對(duì)于ΔQCA則恰好相反。

圖7 參數(shù)b和c 關(guān)于ΔQCB 的敏感性分析

分析圖6中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)最優(yōu)決策為先補(bǔ)貼企業(yè)A后直接補(bǔ)貼消費(fèi)者時(shí)的目標(biāo)增量門檻值隨c B的增加而減小，隨b B的增加先增加后減小。而圖7中的結(jié)果則表明，當(dāng)最優(yōu)決策為先補(bǔ)貼企業(yè)B后直接補(bǔ)貼消費(fèi)者時(shí)，目標(biāo)增量的門檻值隨c B的增加而增大，隨b B的增加先減小后增大。上述觀察結(jié)果與圖5所呈現(xiàn)的結(jié)論相同，僅比較補(bǔ)貼企業(yè)A、B兩種方式時(shí)，補(bǔ)貼企業(yè)B占優(yōu)勢(shì)的目標(biāo)增量范圍，亦隨著c B的增加而增大，隨著b B的增加先減小后增大。

4 結(jié)論

本文研究了在雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)情境下，以增加一定的總銷售量的基礎(chǔ)上最小化補(bǔ)貼總成本為目的時(shí)，如何在補(bǔ)貼企業(yè)和消費(fèi)者中進(jìn)行選擇并制定相應(yīng)的單位補(bǔ)貼額度。研究表明，在補(bǔ)貼方式選擇上存在門檻策略，即當(dāng)目標(biāo)增量低于門檻值時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇補(bǔ)貼給企業(yè)；而高于門檻值時(shí)，則應(yīng)當(dāng)直接補(bǔ)貼消費(fèi)者。在不失一般性的情況下，假設(shè)企業(yè)A、B之間的產(chǎn)品替代性關(guān)系為b A≥b B。數(shù)值分析結(jié)果顯示，當(dāng)市場(chǎng)容量a相對(duì)較大，或兩者替代性的差異程度中等、或產(chǎn)品B的成本相對(duì)較低時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇先補(bǔ)貼企業(yè)A后直接補(bǔ)貼消費(fèi)者的方式，反之則應(yīng)選擇先補(bǔ)貼企業(yè)B。同時(shí)，若根據(jù)市場(chǎng)參數(shù)環(huán)境，最優(yōu)方式先補(bǔ)貼企業(yè)A后補(bǔ)貼消費(fèi)者，則目標(biāo)增量的門檻值隨a的增加而增大，隨c B的增加而減小，隨b B的增加先增大后減小。而若最優(yōu)補(bǔ)貼方式為先企業(yè)B后消費(fèi)者，該門檻值的敏感性則與前者恰好相反，將隨a的增加而減小，隨c B的增加而增大，隨b B的增加先減小后增大。

根據(jù)研究結(jié)果可知，在實(shí)踐中，政策制定者首先應(yīng)當(dāng)對(duì)補(bǔ)貼產(chǎn)品相關(guān)信息進(jìn)行調(diào)研，然后根據(jù)具體的市場(chǎng)環(huán)境參數(shù)、企業(yè)的具體運(yùn)營(yíng)情況以及補(bǔ)貼所期望達(dá)到的效果，參考上述研究結(jié)果，進(jìn)行綜合考量并制定相應(yīng)情境下較優(yōu)的補(bǔ)貼方式。

盡管混合補(bǔ)貼方式，即可以靈活選擇多個(gè)補(bǔ)貼對(duì)象的方式，必將優(yōu)于單一補(bǔ)貼方式，但是由于本文的目的在于較為深入地比較各補(bǔ)貼對(duì)象，分析其優(yōu)劣及適用環(huán)境，為實(shí)踐中補(bǔ)貼方案的制定提供一定的參考。同時(shí)，考慮到實(shí)踐中混合補(bǔ)貼方式實(shí)施的難度，故集中討論了單一補(bǔ)貼方式。若實(shí)踐條件允許采取混合補(bǔ)貼方式時(shí)，研究結(jié)論同樣可提供參考價(jià)值。如對(duì)產(chǎn)品A、B同時(shí)每單位補(bǔ)貼w C，將與對(duì)消費(fèi)者每單位補(bǔ)貼w C有相同的效果。而且結(jié)論具有一定的可推廣性，當(dāng)市場(chǎng)中競(jìng)爭(zhēng)的企業(yè)多于兩家時(shí)，雖然在企業(yè)之間比較和選擇時(shí)需要更多的討論，但是先企業(yè)后消費(fèi)者的整體框架不會(huì)改變。主要的局限性在于對(duì)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的刻畫較為單一，因?yàn)榭紤]到面對(duì)的是需要拓展市場(chǎng)需求的產(chǎn)品，所以只討論了線性需求假設(shè)下的雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)模型，未來可以作進(jìn)一步拓展。同時(shí)，文中假設(shè)為確定性需求，若加上隨機(jī)性，將對(duì)運(yùn)營(yíng)和管理帶來新的思考和挑戰(zhàn)，這也是后續(xù)需要展開的研究。