陳香堂 ，馬衛(wèi)民，孫秉珍

（1.同濟大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，上海 200092；2.溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工商管理系，浙江 溫州 325035；3.西安電子科技大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，西安 710071）

隨著商品經(jīng)濟與網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟的快速發(fā)展，及時適應(yīng)消費者的需求以及迅速做出市場反應(yīng)已經(jīng)成為市場競爭的有力武器。保持適量庫存以獲取競爭優(yōu)勢是經(jīng)常采取的一種策略，因此，庫存系統(tǒng)的管理已經(jīng)成為非常重要的管理問題。零售商經(jīng)常要解決訂貨時間和訂貨批量這兩個基本問題。為了達到收益值最大化的目的，一般要綜合考慮產(chǎn)品的制造成本、庫存成本和訂貨成本等因素。此類問題的經(jīng)典解決思路是運用Harris的經(jīng)典經(jīng)濟批量模型（EOQ）。經(jīng)典EOQ 模型的基本假設(shè)是不允許缺貨、庫存能夠得到及時補充的情況。經(jīng)典EOQ 模型認(rèn)為缺貨將導(dǎo)致產(chǎn)品脫銷而喪失了銷售機會，Zipkin[1]討論了缺貨情況，并將其推廣至經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型（EPQ）。隨后，不同學(xué)者深入研究了缺貨情況，并認(rèn)為現(xiàn)實中有些顧客愿意繼續(xù)等待，有些則不會。對于是否含有缺貨變量的模型最早出現(xiàn)在Fabrycky等[2]以及Ali[3]的研究中。Montgomery等[4]給出了此類問題的解決方法?，F(xiàn)實商業(yè)運作中經(jīng)常出現(xiàn)缺貨狀態(tài)，而不允許缺貨的假設(shè)在一定程度上限制了EOQ 模型的應(yīng)用范圍。因此，很多學(xué)者從多個角度系統(tǒng)研究了允許缺貨的庫存問題。Deb等[5]是其中具有代表性的研究之一，其從允許缺貨的角度拓展了已有模型。其他學(xué)者在該拓展模型基礎(chǔ)上進行了一系列深入研究[6]。

眾所周知，在現(xiàn)實的商業(yè)操作中，由于市場位置的租賃成本較高，故零售商會在店面內(nèi)開發(fā)出一個儲存少量產(chǎn)品的小倉庫。為了配合促銷策略產(chǎn)生的大量銷售或在市場需求量較大時，零售商訂貨量超過小倉庫的容量也許能獲得更大的收益?？紤]到銷售的便利性、降低產(chǎn)品成本以及降低銷售機會成本等目的，一些銷售商采取同時擁有店面庫存?zhèn)}庫和租賃庫存?zhèn)}庫兩個庫存?zhèn)}庫的策略。

然而，在某些具體的現(xiàn)實情境和具體的操作實踐中，另外租賃倉庫對于零售商并不一定是盈利的，特別是租賃倉庫成本很高時。此時必須考慮如下問題：零售商堅持一個店面?zhèn)}庫還是再租賃第2個倉庫。一些學(xué)者分別從無限補貨率和有限補貨率的角度研究了雙層庫存模型；而另一些學(xué)者則從市場需求角度提出了雙層庫存模型。Hartley[7]研究了兩層倉庫模型。Zhou等[8]考慮運輸成本，建立了存貨和市場需求相互獨立的雙倉庫庫存模型。在充分考慮現(xiàn)實問題具體特征的基礎(chǔ)上，針對雙層倉庫庫存模型[9-11]的研究是近年來較為有代表性的研究。

在市場競爭日益加劇的情形下，促銷措施已經(jīng)成為商業(yè)運作的重要策略。一方面，促銷措施有助于新產(chǎn)品的推出、延長產(chǎn)品的生命周期、擴大產(chǎn)品的市場占有率。促銷措施一般包括免費禮物、折扣優(yōu)惠、配送便利、更好的服務(wù)和廣告等措施。另一方面，促銷措施的實施必然會引起市場需求的變化，從而影響庫存的管理策略。Goyal等[12]研究了不同促銷措施影響產(chǎn)品市場需求的多階段生產(chǎn)體系中的經(jīng)濟訂貨批量，并給出了整合的生產(chǎn)-庫存-市場模型。Nair等[13]研究了免費禮物、價格折扣和特殊服務(wù)等方式形成的促銷效果對庫存的影響，并對此進行了優(yōu)化設(shè)計。Krishnan等[14]的研究結(jié)論證明了價格優(yōu)惠、產(chǎn)品展示、免費物品和廣告是獲得最大收益的基本策略。Sun[15]研究發(fā)現(xiàn)，顧客和不同促銷類型存在一定關(guān)系，特別是促銷措施強化了品牌對顧客行為的影響。另一些學(xué)者從數(shù)量折扣、價格折扣以及延期支付等角度研究了庫存管理的優(yōu)化策略[16-18]。Sana等[19-24]從影響需求的企業(yè)動機、銷售人員動機和允許缺貨等角度研究了EOQ 模型。

盡管對于兩層庫存規(guī)劃問題的研究獲得了較多成熟且系統(tǒng)的研究模型和方法，并獲得了諸多有價值的研究結(jié)論；但是關(guān)于兩層庫存規(guī)劃的研究和對于考慮促銷策略影響市場需求變化情況[24]的研究尚不多見；同時，目前針對允許缺貨的促銷策略情景下的庫存規(guī)劃的研究中亦很少有結(jié)合兩層庫存的相關(guān)研究[11]?，F(xiàn)實中，允許缺貨、促銷策略的實施和兩層庫存已經(jīng)成為現(xiàn)實商業(yè)運作中的常態(tài)[11]，為了更好地解決現(xiàn)實中出現(xiàn)的問題，本文考慮在允許缺貨的約束下，從促銷策略影響市場需求的角度研究兩層倉庫庫存系統(tǒng)，討論如何確定促銷措施的力度以及最優(yōu)的缺貨量，進而制定訂貨批量最優(yōu)策略，最終實現(xiàn)庫存系統(tǒng)收益的最大化。

1 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

考慮到市場需求受促銷策略的影響以及雙層庫存系統(tǒng)與單層庫存系統(tǒng)之間的差異，本文從促銷策略影響市場需求、雙層庫存之間聯(lián)系以及決策變量等方面進行一些合理的模型假設(shè)，詳細說明模型所需的符號及參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建構(gòu)目標(biāo)函數(shù)。

1.1 模型假設(shè)

為便于模型的建立，作如下假設(shè)：

（1）生產(chǎn)商產(chǎn)能有限，允許缺貨。最優(yōu)訂貨量和允許缺貨量同時決策。

（2）零售商有兩個庫存?zhèn)}庫，分別為店面庫存?zhèn)}庫OW（Own Warehouse）和租賃庫存?zhèn)}庫RW（Rented Warehouse），店面庫存?zhèn)}庫位于店面內(nèi)部，租賃庫存?zhèn)}庫位于離店面不遠處。管理人員經(jīng)常檢查庫存情況，保證店面庫存?zhèn)}庫OW 的庫存水平充足。若倉庫OW 貨源不足，將及時、持續(xù)地從RW補貨。OW 的庫存下降到某一水平庫存時，發(fā)出補貨指令，且補貨及時。貨物到達后，先解決缺貨問題，再補充OW 庫存至充足水平，余下貨物最后運往RW 保存。OW 至RW 之間的運輸成本忽略不計。

（3）促銷策略將在很大程度上促進商品的市場需求，市場需求率是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，即D=x⊕d（ρ）[24]，一般常數(shù)x＞0。⊕表示“+”或“×”的運算符號，這將根據(jù)商品的特點、市場競爭情況與促銷策略之間的關(guān)系而定。此外，假設(shè)ρ為促銷因子，反映了促銷策略所產(chǎn)生的市場需求效果，該因子可促進商品的市場需求增加。而，其中τ為常數(shù)，一般地，τ＞0。

（4）店面主要用于商品的正常經(jīng)營，在保證店面正常經(jīng)營所需的必要場所外，利用剩余不多的店面空間開發(fā)店面?zhèn)}庫（OW）。OW 的庫存不超過OW 的庫存容量，庫存不影響店面的正常經(jīng)營，可認(rèn)為在固有經(jīng)營模式下店面大部分成本主要用于支付店面經(jīng)營的租金，屬于商品的經(jīng)營成本。此時，OW 的庫存容量為有限，且不影響店面的正常經(jīng)營[11]。

1.2 符號說明及參數(shù)

本文建模設(shè)計參數(shù)：

D——每年市場需求率

q——每周期訂貨量

s——每周期缺貨數(shù)量

c2——RW 的單位庫存成本

c22——OW 的單位庫存成本

c1——每次訂貨成本

p1——單位產(chǎn)品的購買成本

s1——單位產(chǎn)品銷售價格

c3——單位缺貨成本

k——促銷成本的比例參數(shù)

kρm——促銷成本

w——OW 的庫存容量

m——促銷成本的彈性參數(shù)，m∈Z+

Z——本文的收益函數(shù)

T——周期時間

Z24——文獻[24]的收益函數(shù)

1.3 目標(biāo)函數(shù)的建立

在時間0到時間t1，庫存量由（q-s）減少至w，此時RW 庫存為0。再經(jīng)過時間t2，庫存量為0，此時OW 庫存為0。t3為缺貨時期。周期時間T=t1+t2+t3。上述庫存變化情況如圖1所示。

圖1 OW-RW 庫存變化圖

考慮到收益與銷售收入、訂貨成本、庫存成本、缺貨成本和促銷成本有關(guān)，因此，收益函數(shù)模型為

根據(jù)上述假設(shè)和分析可知，由于每周期訂貨量和每周期的缺貨數(shù)量與市場需求率相關(guān)，市場需求率是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，故每次訂貨量和缺貨量也可認(rèn)為是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，進而認(rèn)為收益函數(shù)是關(guān)于促銷因子的函數(shù)。其中，促銷因子為決策變量，而每次訂貨量和缺貨量為中間變量。由此可知，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)就是最大化收益函數(shù)Z[q（ρ），s（ρ），ρ]。其中，

且滿足式（2）、（3）。

2 模型求解

定理1對于任意ρ∈R+，存在唯一的q*和s*，收益函數(shù)Z達到最大值。此時，

其中，q≥0，s≥0，D=x⊕d（ρ），ρ≥0且滿足式（2）、（3）。

證明顯然，收益函數(shù)Z是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，在定義域內(nèi)且為連續(xù)可積可微函數(shù)。根據(jù)定理條件，不妨假設(shè)：

且?＞0，θ＞0，a＞0。將上述假設(shè)代入式（1），得

對式（4）分別求偏導(dǎo)，得：

根據(jù)假設(shè)可知，c22＜c2，即0＜θ＜1，可得：

由上述分析可知，收益函數(shù)Z[q（ρ），s（ρ），ρ]是關(guān)于決策變量促銷因子的函數(shù)，每次訂貨量和缺貨量為中間變量，且存在最大值?？闪?Z/?q=0，?Z/?s=0，整理得：

綜上所述，對于任意ρ∈R+，存在唯一的q*和s*，使得收益函數(shù)Z達到最大值。 證畢

將q*和s*代入收益函數(shù)Z，整理可得

綜上所述，求解V（ρ）最大化，存在ρ的最優(yōu)解ρ∈R+，只需當(dāng)時，求解出ρ*，并保證。通過觀察V（ρ）可知，當(dāng)ρ→∞時，V（ρ）→-∞。這表明，ρ存在上限解，使得V（ρ）＞0。不妨假設(shè)V（ρ）=0時，ρ的上限解為ρ**。

3 對比研究

考慮到文獻[24]中主要研究了促銷策略角度下的單庫存系統(tǒng)的收益問題，為此，本節(jié)將通過與文獻[24]中的數(shù)學(xué)對比分析，列出兩種不同類型的數(shù)學(xué)模型，并盡量采用與文獻[24]中相同的數(shù)值進行驗算，研究促銷因子影響程度和參數(shù)靈敏度，期望從與文獻[24]的對比研究中得到有意義的研究結(jié)論。

3.1 數(shù)學(xué)對比分析

通過對比文獻[24]，本文的收益函數(shù)為

由假設(shè)可知，當(dāng)w=0，或c22=c2時，即當(dāng)OW 庫存容量為0，或者單位OW 庫存成本和單位RW 庫存成本相等時，兩層庫存模型將轉(zhuǎn)變?yōu)閱螏齑婺Ｐ汀Ｒ虼?，本文的模型拓展了文獻[24]中的模型。

一般的，Z≥Z24，即相同成本結(jié)構(gòu)條件下，雙層庫存收益值不小于單層庫存的收益值。這主要的原因是在保持正常經(jīng)營的店面內(nèi)開發(fā)了成本較小的店面?zhèn)}庫。增加的收益主要取決于OW 單位庫存成本和RW 單位庫存成本之間的差值，以及OW 的庫存容量w。由函數(shù)分析可知，w在定義域[0，q-s]內(nèi)與收益值之間呈正相關(guān)的趨勢。因此，店面?zhèn)}庫庫存不影響正常經(jīng)營以及充分利用店面?zhèn)}庫容量必須同時兼顧，缺一不可。

3.2 數(shù)學(xué)模型

市場需求D與促銷因子ρ之間存在兩種對應(yīng)的關(guān)系[24]，所需優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)分為模型I和模型II兩種模型，即

式中，D*=x+τρ/（1+ρ），且滿足式（2）、（3）以及式（5）、（6）。

3.3 數(shù)值驗算

針對模型I和模型II，為了便于對比研究，不妨參照文獻[24]取值：x=70，τ=20，c1=28，c2=20，c22=10，c3=100，m=3，s1=20，p1=12，k=18，w=10，則：

運算結(jié)果如表1、2所示。

表1 模型I和模型II的優(yōu)化結(jié)果

表2 不同m 值的模型I和模型II的優(yōu)化結(jié)果

由表1、2以及對照文獻[24]中的表1、2可知，由于店面?zhèn)}庫的存在，收益值均比相應(yīng)無店面?zhèn)}庫的情況增加。與文獻[24]中不同的是，庫存存儲時間是隨著m而發(fā)生變化的，盡管變化的范圍并不大。

通過運算可知，模型I、II的收益值和m值的相關(guān)性呈現(xiàn)不盡相同的趨勢。m值是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗估計值，一般而言，m值是固定的參數(shù)。表2給出了各種m值不同情況下的收益最優(yōu)的結(jié)果。

3.4 促銷因子ρ值的影響分析

根據(jù)假設(shè)，促銷因子的變化將影響市場需求，從而進一步影響收益值。模型I、II的促銷因子取值范圍分別為（0.25，7.92），（0，2.935），收益值的變化情況如圖2、3所示。由圖2、3可知，模型I、II的促銷因子ρ分別達到3.272和0.893時，收益值最大，分別為7 023.065和407.157。結(jié)合圖形和運算結(jié)果可知，上述兩種模型分別表示兩類典型產(chǎn)品類型：模型I不做促銷時，市場需求為0，收益值為負(fù)數(shù)，即-40.27；模型II不做促銷時，市場需求不為0，收益值為正數(shù)，即359.412 4。

圖2 模型I促銷因子和每年收益函數(shù)圖

圖3 模型II促銷因子和每年收益的函數(shù)圖

這與現(xiàn)實情況比較相符，為確保收益值達到最優(yōu)，促銷力度（促銷因子）因視產(chǎn)品成本結(jié)構(gòu)等實際情況而確定，不宜過大或過小。對比文獻[24]中的圖2、3，本文的圖2、3相對比較完整地顯示出促銷因子和收益函數(shù)之間的關(guān)系。

3.4 靈敏度分析

對模型I的參數(shù)c1、c21、c22、c3、x、τ、s1、p1和k進行靈敏度分析，各參數(shù)獨立采取從-50%～50%數(shù)值變化，從而觀察收益值的變化情況；對模型II的參數(shù)靈敏度分析分別采用w=0和w=10兩種情況進行比對，各參數(shù)獨立采取從-50%～50%數(shù)值變化，從而觀察收益值的變化情況。運算結(jié)果如表4～6所示。

由表4可以看出，模型I中的參數(shù)s1和p1為高靈敏度參數(shù)，x和τ為中靈敏度參數(shù)，c1、c21、k、c22和c3為低靈敏度參數(shù)。當(dāng)銷售價格s1增至原來的50%時，模型I的收益達到最大值18 070.070。

由表5可以看出，模型II中的參數(shù)s1和p1為高靈敏度參數(shù)，x和c1為中靈敏度參數(shù)，c21、c22、c3、τ、和k為低靈敏度參數(shù)。當(dāng)銷售價格s1增至原來的50%時，模型II的收益達到最大值1 207.525。

表4 模型I參數(shù)靈敏度分析

表5 模型II參數(shù)靈敏度分析(w=10)

表6 模型II參數(shù)靈敏度分析(w=0)

對比文獻[24]中的表7（以下簡稱表7）和本文的表4可以看出，同等條件下，表4的各參數(shù)靈敏度均小于表7，而此時的收益值卻均大于表7的收益值。類似地，同等條件下，表5中的各參數(shù)敏感度均小于表6，而此時的收益值卻均大于表6 的收益值。因此，可以認(rèn)為店面?zhèn)}庫在一定程度上降低了收益值的波動率而提高了同等條件下的收益值。

4 結(jié)論

本文從實施促銷策略角度構(gòu)建了允許缺貨的兩層倉庫庫存模型，假設(shè)模型的收益值是關(guān)于促銷因子的函數(shù)，根據(jù)產(chǎn)品類型分為兩種不同形式的模型，并深入研究了店面?zhèn)}庫庫存容量以及促銷因子等因素對兩層庫存系統(tǒng)收益的影響。通過數(shù)值分析，獲得了如下主要結(jié)論：

（1）對于不同產(chǎn)品或相同產(chǎn)品處于不同的競爭環(huán)境下，促銷策略的實施效果不盡相同。實施促銷策略之前，明晰本產(chǎn)品的收益值函數(shù)的組成形式，充分重視收集產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)，確定合適的促銷力度等，以達到收益值最大。

（2）對于單層庫存而言，兩層倉庫中的店面?zhèn)}庫容量改變了單層庫存的成本結(jié)構(gòu)，并起到了減少收益值的波動性和提高收益值的雙重作用。進而，在確保店面庫存容量不影響店面正常經(jīng)營的前提下，充分利用店面?zhèn)}庫容量，綜合考慮歷史數(shù)據(jù)等因素，可通過事先規(guī)劃店面?zhèn)}庫容量的方法，提高收益值的水平；或在店面?zhèn)}庫容量固定的情況下，通過調(diào)整促銷力度等因素，優(yōu)化收益值。

（3）對于兩類不同形式的產(chǎn)品，提高銷售價格和降低購買成本均可迅速增加收益值。若上述兩種方式均不可行時，符合模型I的產(chǎn)品可通過增加參數(shù)x和τ而達到收益值最優(yōu)，即通過生產(chǎn)真正符合消費者需求的產(chǎn)品以及根據(jù)產(chǎn)品類型和消費者特點采取適宜的促銷方式增加促銷效果等方法；符合模型II的產(chǎn)品可增加參數(shù)x、減少參數(shù)c1，使得收益值最優(yōu)，即除了生產(chǎn)真正符合消費者需求的產(chǎn)品外，還可通過努力降低每次訂貨成本等方法。

結(jié)合模擬算例的比較和靈敏度分析易知，本文所建構(gòu)的模型進一步拓展了文獻[24]中經(jīng)典模型的結(jié)論及其適用范圍，較為全面地刻畫出兩層庫存的商業(yè)運作情況。同時，通過定量理論模型分析系統(tǒng)地闡明了促銷因子等因素與收益值之間的關(guān)系，進而給出具有針對性的、可行性較強的對策建議。因此，本文所構(gòu)建的模型能夠盡可能地刻畫實際中的庫存問題特征，因而具有較好的應(yīng)用型和適用性。

事實上，在本文研究的基礎(chǔ)上，考慮到競爭環(huán)境下促銷因子等因素不應(yīng)保持不變，如若將促銷因子等參數(shù)進行模糊化處理，可進一步提高模型的適用性。另外，本文未考慮零售商最優(yōu)訂貨量和允許缺貨量的決策次序，也未考慮兩類模型所代表的具體產(chǎn)品類型及其特征。這些問題將在未來的研究工作中繼續(xù)深入探討和研究。