熊 喆 過學(xué)迅 裴曉飛 張 杰

1.武漢理工大學(xué)現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430070 2.萬向集團(tuán)技術(shù)中心，杭州，311200

0 引言

輪胎-路面的縱向附著特性通常由以車輪滑移率λ為橫坐標(biāo)、附著系數(shù)μ為縱坐標(biāo)的μ-λ曲線表示，曲線呈非線性且包含單一極大值。該極大值對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)為輪胎可利用的峰值附著系數(shù)μp，橫坐標(biāo)為最優(yōu)滑移率λp。峰值附著系數(shù)為自適應(yīng)巡航控制（ACC）、駕駛輔助系統(tǒng)（ADAS）和再生制動(dòng)分配控制等功能提供必要信息，最優(yōu)滑移率則是防抱死制動(dòng)系統(tǒng)（ABS）縮短制動(dòng)距離的關(guān)鍵控制目標(biāo)。在車輛主動(dòng)安全的研究領(lǐng)域，在各種提高車輛穩(wěn)定性和縮短制動(dòng)距離的先進(jìn)控制方法中，大多以該峰值點(diǎn)已知為必要條件，因此峰值點(diǎn)的估計(jì)方法一直是研究熱點(diǎn)之一。

輪胎-路面附著特性估算方法大致分為兩類，即基于原因（cause-based）和基于結(jié)果（effectbased）［1］。由車輛參數(shù)響應(yīng)和數(shù)學(xué)模型反向推導(dǎo)附著特性是基于結(jié)果方法中的一種。相較于其他方法，這種方法無需加裝特殊傳感器，故常常成為主機(jī)廠的首選方法。一般認(rèn)為，在小滑移率（≤5%）范圍，μ-λ曲線斜率值（縱滑剛度系數(shù)）與輪胎參數(shù)主要相關(guān)，與路面類型次要相關(guān)。在使用常規(guī)傳感器的條件下，小滑移率的輕度制動(dòng)工況很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)峰值附著系數(shù)及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)滑移率［2］。通常的方法是對(duì)小滑移率工況下的μ-λ散點(diǎn)進(jìn)行直線擬合，通過斜率值來大致區(qū)分高、低附著路面［3］。當(dāng)出現(xiàn)較大滑移率的制動(dòng)工況時(shí)，μ值會(huì)越過峰值點(diǎn)并進(jìn)入非線性區(qū)域，此時(shí)需要引入合適的估計(jì)方法獲取峰值點(diǎn)坐標(biāo)。本文提出一種指數(shù)和（exponential sums，ES）模型線性化的輪胎-路面縱向附著條件實(shí)時(shí)估計(jì)方法。

1 縱向制動(dòng)過程的車輛參數(shù)響應(yīng)

1.1 輪胎-路面縱向附著力

電動(dòng)汽車的制動(dòng)系統(tǒng)正以“線控”為發(fā)展方向，無論是電子液壓制動(dòng)系統(tǒng)還是電子機(jī)械制動(dòng)系統(tǒng)，配合再生制動(dòng)系統(tǒng)，都具備制動(dòng)力矩可測(cè)的特點(diǎn)，從而為附著條件的估計(jì)提供了很大幫助。此外，為最大化回收能量，許多再生制動(dòng)分配策略［4］傾向于最大化地利用再生制動(dòng)輪的附著系數(shù)，使得再生制動(dòng)輪優(yōu)先趨于抱死，以CarSim軟件內(nèi)的E-class Sedan車身參數(shù)為例，繪制的典型制動(dòng)分配線如圖1所示。圖中，z為制動(dòng)強(qiáng)度。其中，最大化能量回收分配策略以I曲線（理想分配線）、f線組（前輪抱死線）和ECE法規(guī)線為參考線，規(guī)劃前后軸制動(dòng)力分配線，表示為OABCD線段。其基本思想是：在保證車輪運(yùn)行于線性穩(wěn)定區(qū)間的前提下，盡可能將需求制動(dòng)力分配給再生制動(dòng)輪（此處為前輪）。OA線段所處的低強(qiáng)度制動(dòng)工況下，需求制動(dòng)力全部分配給前輪；AB曲線位于ECE曲線上方，垂直距離取決于設(shè)計(jì)者的余量系數(shù)；BC線段位于當(dāng)前路面峰值附著系數(shù)對(duì)應(yīng)的f線左側(cè)，距離也取決于余量系數(shù)。CD曲線與I曲線重合，此時(shí)前后輪有相近的滑移率和附著系數(shù)利用率。

圖1 典型制動(dòng)分配線Fig.1 Typical brake force distribution curves

明顯地，當(dāng)路面附著系數(shù)對(duì)應(yīng)的f線處于BC線左側(cè)時(shí)，重度制動(dòng)情況下可能導(dǎo)致前輪抱死而后輪未能完全利用附著力的情況發(fā)生。理想方案是實(shí)時(shí)獲取路面附著條件并及時(shí)調(diào)整BC線段位置。本文以電動(dòng)汽車前輪為具體分析對(duì)象，對(duì)輪胎-路面縱向附著力進(jìn)行研究，研究中暫不考慮電機(jī)再生制動(dòng)的功能。

附著系數(shù)μ的定義為

式中，F(xiàn)x為車輪受到的縱向附著力；Fz為輪胎受到的法向載荷。

式中，I為車輪及聯(lián)動(dòng)部件的合慣量；ω為輪速；Td為車輪所受驅(qū)動(dòng)力矩；Tb為制動(dòng)器提供的力矩；Tr為滾阻偶矩；reff為車輪有效滾動(dòng)半徑；rw為車輪靜態(tài)負(fù)載半徑；kw為輪胎彈簧剛度。

由車輛縱向運(yùn)動(dòng)時(shí)車輪的力矩平衡可得

對(duì)于燃油車輛，制動(dòng)過程中的驅(qū)動(dòng)力矩難以估計(jì)，式（2）作了視驅(qū)動(dòng)力矩為零的過度簡(jiǎn)化處理。該簡(jiǎn)化的缺陷在于，無論處于AT（自動(dòng)變速器）或MT（手動(dòng)變速器）掛擋狀態(tài)下的制動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)車輪運(yùn)動(dòng)都會(huì)有一定的影響，尤其在低附著系數(shù)路面，忽略驅(qū)動(dòng)力矩將對(duì)附著條件估計(jì)帶來顯著的誤差。若不考慮式（2）中的驅(qū)動(dòng)力矩，由CarSim輸出值計(jì)算的估計(jì)結(jié)果如圖2所示，估計(jì)值與真值有著較大的偏差。

圖2 燃油汽車的附著條件估計(jì)結(jié)果（不考慮驅(qū)動(dòng)力矩）Fig.2 Estimated results of adhesion of a fuel vehicle（without considering drive torque）

對(duì)于傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的電動(dòng)車輛，驅(qū)動(dòng)/再生制動(dòng)力矩值可由電機(jī)ECU直接提供，從而有效降低因驅(qū)動(dòng)力矩估計(jì)不準(zhǔn)導(dǎo)致的誤差，因此電動(dòng)車的優(yōu)勢(shì)也體現(xiàn)在：使用式（2）的簡(jiǎn)單模型依然能夠得到準(zhǔn)確度較高的附著力估計(jì)值。

1.2 滾阻偶矩

滾動(dòng)阻力系數(shù)的精確值通常由轉(zhuǎn)鼓試驗(yàn)獲得，或由滑行試驗(yàn)獲得滾阻風(fēng)阻系數(shù)［5］?？紤]到大滑移率制動(dòng)工況下的滾阻占比較小，此處視系數(shù)為已知，則滾阻偶矩表示為

式中，κrc、κrv分別為滾動(dòng)阻力系數(shù)的常數(shù)系數(shù)和速度系數(shù)，取 4×10-3和 2.5×10-5。

1.3 車輪載荷估計(jì)

假設(shè)車輛行駛于平坦硬路面，且車輛重心位于xy平面的中軸線上。通過求解制動(dòng)時(shí)前后軸載荷力和力矩平衡方程可得左前輪載荷Fz_L1的簡(jiǎn)化估計(jì)表達(dá)式：

式中，M為整車質(zhì)量；g為重力加速度；Fz1為前軸載荷；hg為車輛重心高度；L為軸距；L2為重心至后軸的水平距離。

變量M、L2、hg會(huì)隨車輛負(fù)載狀態(tài)而改變，此處假設(shè)變量可由相關(guān)估計(jì)方法獲得［6］，并在后文的仿真和試驗(yàn)中視之為恒定參數(shù)。

1.4 滑移率計(jì)算

制動(dòng)工況下的瞬時(shí)滑移率定義為

當(dāng)滾動(dòng)的充氣輪胎的某一系統(tǒng)變量（側(cè)偏角、外傾角或縱向滑移率）發(fā)生變化時(shí)，輪胎進(jìn)入一種非平衡狀態(tài)，側(cè)向和縱向附著力都會(huì)經(jīng)歷一次短暫的改變，直至從非平衡狀態(tài)過渡至平衡態(tài)［7］。因?yàn)檩喬サ钠D(zhuǎn)或形變需要一定時(shí)間，隨后才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)條件。

縱向附著條件由載荷、滑移率和縱向力三個(gè)變量決定。其中，載荷不受輪胎弛豫現(xiàn)象的影響；瞬時(shí)滑移率由傳感器信號(hào)及相應(yīng)算法估計(jì)獲得，得到的是一個(gè)針對(duì)輪轂而非輪胎的非弛豫值；縱向附著力的估計(jì)是從車輪動(dòng)力學(xué)的角度出發(fā)，由車輪運(yùn)動(dòng)反推，因而得到的是一個(gè)弛豫值。在建立滑移率與輪胎摩擦力的模型時(shí)，應(yīng)考慮弛豫現(xiàn)象并進(jìn)行時(shí)域統(tǒng)一。輪胎弛豫模型的滑移率表示為［8］

式中，λL為弛豫滑移率；lLag為輪胎弛豫長(zhǎng)度，取55 mm。

1.5 ABS控制器

ABS控制器結(jié)構(gòu)種類繁多，為不失一般性，本文的仿真試驗(yàn)使用常規(guī)有限狀態(tài)機(jī)（FSM）ABS控制器，其控制邏輯如圖3所示。圖中，q為狀態(tài)編號(hào)；Tbmin、Tbmax、λmin、λmax分別為μ-λ平面上4個(gè)自定義滑模面；U代表ABS控制器信號(hào)對(duì)應(yīng)的EHB制動(dòng)力矩增壓、減壓、保壓速率，kin、kde分別為增壓、減壓速率值，由文獻(xiàn)［9］獲得。

圖3 離散有限狀態(tài)機(jī)ABS控制器Fig.3 FSM ABS controller

2 附著特性曲線辨識(shí)

2.1 Burckhardt模型

Burckhardt摩擦模型的準(zhǔn)靜態(tài)形式僅含3個(gè)系數(shù)，是表達(dá)輪胎-路面附著特性的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，其表達(dá)式為

式中，c1、c2、c3為擬合系數(shù)。

典型路面的系數(shù)值如表1所示。

表1 Burckhardt模型典型路面系數(shù)Tab.1 Coefficients of Burckhardt model

需要指出的是，Burckhardt模型能夠表達(dá)無數(shù)種附著條件，包括但不限于表1中所列的6種路面。由式（8）可知，該模型僅對(duì)路面進(jìn)行了描述，對(duì)于輪胎-路面附著特性的另一要素“輪胎”則未涵蓋。這也是該模型與魔術(shù)公式的主要區(qū)別之一。即使是在同一種路面，在溫度、輪胎（胎寬、胎壓、紋路等）、外傾角等參數(shù)變化的情況下，曲線形狀和擬合系數(shù)仍有發(fā)生較大變化的可能（例如，F(xiàn)1賽車使用的熱熔胎在干瀝青路面可獲得大于2的峰值附著系數(shù)）。另一個(gè)重點(diǎn)是，Burckhardt模型包含一個(gè)指數(shù)非線性項(xiàng)e-c2λ，難以設(shè)計(jì)出符合本文實(shí)時(shí)性要求的非線性擬合算法。最合適的解決方案是設(shè)計(jì)合理的線性化近似，再以計(jì)算量較小的最小二乘擬合算法進(jìn)行辨識(shí)。

2.2 Kiencke線性化

Kiencke［10］提出了一種針對(duì) Burckhardt模型的線性化方法，該線性化方法的前提是，假設(shè)所有路面特性曲線的初始斜率μ′(0)為一個(gè)定值，則Burckhardt模型可近似線性化為

式中，a1、a2為待估參數(shù)。

令一個(gè)中間變量y(t)=μ′(0)λ(t)-μ(t)，則有：

那么類似地，可用遺忘因子遞推最小二乘方法辨識(shí)參數(shù)a1、a2，式（10）可表示為

式中，ξ為噪聲。

式中，aj（j=1，2，…，m）為待估系數(shù),aj∈R；bj為預(yù)設(shè)參數(shù)，bj∈ R。

當(dāng)確定函數(shù)定義域，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和誤差要求給定m值和bj時(shí)，可將非線性函數(shù)近似線性化。需要指出的是，由于式（12）中的非線性項(xiàng)-c1e-c2λ已經(jīng)是指數(shù)形式，因此指數(shù)和模型對(duì)該項(xiàng)有較好的逼近效果［11］。將式（13）模型結(jié)構(gòu)替換式（12）的非線性項(xiàng)，并利用μ(λ)曲線始于坐標(biāo)原點(diǎn)的性質(zhì)，即令μ（0）=0，從而式（12）可表示為

由一階偏微分小于0和二階偏微分等于0兩個(gè)條件求解得到極大值點(diǎn)縱橫坐標(biāo)（即最優(yōu)滑移率、附著系數(shù)峰值）分別為

Keincke模型中的初始斜率μ′(0)為縱滑剛度?？v滑剛度一般只與輪胎參數(shù)相關(guān)，與路面條件無關(guān)，因此該模型的缺點(diǎn)在于，當(dāng)輪胎參數(shù)發(fā)生改變，準(zhǔn)確性會(huì)顯著降低。

2.3 指數(shù)和線性化方法

式（8）展開：

指數(shù)和線性化屬于非線性逼近理論的方法之一，對(duì)于某非線性函數(shù)f(x)，其指數(shù)和逼近模型為

式中，ai為待估系數(shù)，i=1，2，…，n；bi為預(yù)設(shè)參數(shù)，i=1，2，…，n-1。

從而辨識(shí)模型表示為

在利用最小二乘辨識(shí)算法得到θ值后，對(duì)式（14）進(jìn)行一階和二階偏微分，則極大值點(diǎn)μp(λp)為以下方程的解：

考慮到參數(shù)bi用于擬合c2，此處參考標(biāo)準(zhǔn)Burckhardt模型中的c2值作為bi的取值范圍，排除冰面路段c2=300的極端情況，取 bi∈［1，100］?？紤]到擬合參數(shù)的數(shù)量過多，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增多，數(shù)量過少則導(dǎo)致擬合精度降低。為兼顧兩者，此處取n=5，取b1=4，b2=40，b3=70，b4=100。按此取值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Burckhardt模型曲線進(jìn)行離線擬合，結(jié)果如表2所示，由和方差（SSE）結(jié)果可知擬合程度較高。進(jìn)一步地，如表3所示，相較于其他使用指數(shù)和方法擬合的結(jié)果，本文方法經(jīng)參數(shù)優(yōu)化和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，在降低待估參數(shù)數(shù)量的同時(shí)，精確度也得到了提升。

由式（16）可知，與Burckhardt模型有極大值解析解不同，式（16）中一階微分方程的表達(dá)式雖為顯式，但為一個(gè)含高階指數(shù)多項(xiàng)式的超越方程，無法給出解析解，只能求數(shù)值解。由于對(duì)λp解的精度要求不高，故求解步長(zhǎng)取0.001即可，同時(shí)以μ(0)=0為初值，0～0.5為 λp范圍。對(duì)于基于MATLAB的仿真而言，可用的求解方法包括：①使用fsolve函數(shù)對(duì)式（16）所示的一階微分方程求取數(shù)值解；②使用findpeaks函數(shù)獲取如式（14）所示曲線的極大值坐標(biāo)，輸出結(jié)果為函數(shù)極大值點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的兩組向量，向量長(zhǎng)度取決于極大值點(diǎn)的數(shù)量。在本文仿真中，使用了上述第二種方法編寫求解程序，當(dāng)解出多個(gè)極大值點(diǎn)時(shí)，取橫坐標(biāo)最靠近0的解，函數(shù)框架表示為

表2 Burckhardt模型的指數(shù)和線性化擬合結(jié)果Tab.2 Fitting results of Burckhardt models by ES linear parameterization

表3 兩種線性化方法的擬合結(jié)果對(duì)比（濕瀝青）Tab.3 Contrast of linear methods（wet asphalt）

2.4 遺忘因子遞推最小二乘（FFRLS）算法

采用遺忘因子最小二乘算法，遞推公式為

設(shè)置初始化參數(shù)P(0)=10I，在本文中，I為5階單位陣。參數(shù)初值?(0)和遺忘因子λf的取值將于仿真試驗(yàn)部分討論。

3 仿真與硬件在環(huán)（HiL）試驗(yàn)

基于前文所述思路，搭建了基于MATLAB/Simulink和CarSim的聯(lián)合仿真平臺(tái)。Simulink內(nèi)的數(shù)據(jù)流如圖4所示，其中，i=L1,R1,L2,R2，分別指前軸左右車輪和后軸左右車輪。CarSim模塊包含整車參數(shù)、制動(dòng)器參數(shù)和路面參數(shù)的設(shè)置，除此之外，包括制動(dòng)器液壓模型、各參數(shù)估計(jì)算法、擬合算法和極大值求解算法在內(nèi)的模塊均在Simulink中編寫。為更接近真實(shí)車輛，對(duì)估計(jì)的μ和λL結(jié)果加入白噪聲，取=0.012，=0.0022。

分步式硬件在環(huán)試驗(yàn)用于驗(yàn)證該算法的實(shí)時(shí)性。CarSim仿真得到的制動(dòng)過程各參數(shù)，以離線數(shù)據(jù)的形式發(fā)送至作為虛擬估計(jì)器的dSPACE，流程如圖5所示。dSPACE返回的估計(jì)結(jié)果與仿真估計(jì)結(jié)果相同，但與仿真的較長(zhǎng)耗時(shí)相比，HiL試驗(yàn)達(dá)到了實(shí)時(shí)性的要求。

圖4 聯(lián)合仿真的計(jì)算框架Fig.4 Diagram of co-simulation

圖5 硬件在環(huán)試驗(yàn)框架Fig.5 Diagram of HiL

3.1 單一路面試驗(yàn)

本節(jié)所述仿真試驗(yàn)的目的在于測(cè)試不同識(shí)別參數(shù)下的單一路面的識(shí)別結(jié)果，通過比較結(jié)果進(jìn)而分析、優(yōu)化?(0)和λf取值。

θ?(0)的取值分為兩種情況，第一種情況是在車輛點(diǎn)火（控制器初始化）時(shí)，由設(shè)計(jì)者預(yù)設(shè)一個(gè)初值，該值會(huì)影響第一次估計(jì)的速度。第二種情況是行車過程中，基于小滑移率工況下的散點(diǎn)統(tǒng)計(jì)斜率估計(jì)法的結(jié)果，這種情況下無論是高/低附著系數(shù)初值進(jìn)入低/高附著系數(shù)路面，都將考驗(yàn)估計(jì)器應(yīng)對(duì)路面變化時(shí)的穩(wěn)定性和收斂速度。

設(shè)初始為低附著系數(shù)路面（濕瀝青），并在高附著系數(shù)路面進(jìn)行制動(dòng)。取表2的離線擬合數(shù)據(jù)，峰值點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的估計(jì)結(jié)果如圖6所示。明顯地，當(dāng)λf=0.95時(shí)，無論是μp還是λp的估計(jì)結(jié)果都出現(xiàn)了劇烈的振蕩，說明該遺忘因子值下的遺忘速度過快，參數(shù)和解的變化更劇烈，一旦峰值點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，則返回(μp,λp)=(0,0)，由圖可知0.2～0.4 s處出現(xiàn)了多次無解的情況。在其余λf取值下的μp均能進(jìn)入小誤差范圍，但λf取值過大，可能會(huì)導(dǎo)致λp的估計(jì)速度過慢。

設(shè)初始為高附著系數(shù)路面（干瀝青），并在低附著系數(shù)路面進(jìn)行制動(dòng)。取表2中的離線擬合數(shù)據(jù)，峰值點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的估計(jì)結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，μp和λp的估計(jì)結(jié)果均能在第一個(gè)ABS增減壓循環(huán)內(nèi)進(jìn)入小誤差范圍，區(qū)別僅在于不同λf導(dǎo)致不同的估計(jì)速度和振蕩幅度。

圖6 低附著系數(shù)初值在高附著系數(shù)路面制動(dòng)的估計(jì)結(jié)果Fig.6 Estimated results of braking on large adhesion road with small initial value

圖7 高附著系數(shù)初值在低附著系數(shù)路面制動(dòng)的估計(jì)結(jié)果Fig.7 Estimated results of braking on small adhesion road with large initial value

由分析可得出參數(shù)選擇的結(jié)論：①在1 kHz的采樣頻率下，λf∈[0.980,0.995]的范圍能兼顧估計(jì)的收斂速度和準(zhǔn)確度；②初值向量θ?(0)的取值在一定程度上影響著估計(jì)器的魯棒性。一般地，從高附著系數(shù)初值進(jìn)入低附著系數(shù)路面，估計(jì)的結(jié)果會(huì)更加迅速和準(zhǔn)確，將高附著系數(shù)初值作為程序初始化的初值較為合適，也符合車輛大部分時(shí)間行駛于鋪裝路面的客觀條件。

3.2 對(duì)接路面試驗(yàn)

本節(jié)通過一組對(duì)接路面下的ABS制動(dòng)過程仿真，比較Kiencke線性化方法和指數(shù)和線性化方法的估計(jì)結(jié)果。

如圖8所示，在CarSim中構(gòu)建了一個(gè)同時(shí)包含積雪、干、濕路面的對(duì)接路面。需要指出的是，受制于CarSim軟件路面定義功能的限制，無法在一次仿真中定義一個(gè)包含幾組任意形狀的路面附著條件曲線的對(duì)接路面，只能定義一種形狀的附著條件曲線，再以改變滑動(dòng)摩擦因數(shù)μs(λ=1)的值的方式，定義不同路面。

此路面以CarSim內(nèi)置輪胎庫的225/60 R18的缺省縱向附著條件為基礎(chǔ)曲線，分別設(shè)置三種路面滑動(dòng)摩擦因數(shù)μs為0.76、0.2和0.52，并通過計(jì)算得到各自的峰值點(diǎn)縱橫坐標(biāo)。

CarSim缺省路面附著條件的曲線形狀與Burckhardt模型的曲線稍有不同，從量化的角度解釋，原因在于缺省曲線從滑移率0至1方向，曲線斜率一直在變化，而Burckhardt模型則只是在較大的μ值附近才有明顯變化，曲線的兩端則近似為直線。這一差別也能考驗(yàn)估計(jì)方法對(duì)不同形狀附著曲線的適應(yīng)能力。

圖8 CarSim對(duì)接路面定義Fig.8 The customized road in CarSim

仿真的初始條件為，初始車速80 km/h，制動(dòng)踏板迅速踩下，制動(dòng)壓力從0 s開始上升，至0.3 s升至最大限壓值。如圖9所示，車輛在5 s內(nèi)停止。這一過程中，估計(jì)的附著系數(shù)和弛豫滑移率的散點(diǎn)時(shí)間序列如圖10所示。

3.2.1 Kiencke線性化模型的估計(jì)結(jié)果

圖9 ABS制動(dòng)過程中的車速與車輪線速度Fig.9 Vehicle speed and wheel speed during ABS condition

圖 10 估計(jì)μ?與λL的時(shí)間歷程Fig.10 Estimated results of?and λL

圖11 Kiencke模型的擬合曲線及其峰值點(diǎn)Fig.11 Fitted curves and their peak points（Kiencke）

μp的估計(jì)結(jié)果較準(zhǔn)確，但在1～1.5 s處出現(xiàn)了峰形，其原因在于L1輪進(jìn)入對(duì)接路面的瞬間，點(diǎn)(μ,λ)處于峰值右側(cè)的非線性區(qū)域，當(dāng)制動(dòng)力矩減小，該點(diǎn)從非線性區(qū)域逐漸退回線性區(qū)域的過程中，在遺忘因子的作用下，估計(jì)器結(jié)合之前高附著路面的散點(diǎn)(μ,λ)數(shù)據(jù)，擬合處的曲線的峰值點(diǎn)將往左上方移動(dòng)，即μp增大，λp減小。在未展示的其他取值λf的仿真結(jié)果中，λf越小，該峰形的峰值點(diǎn)越大，且峰形之后會(huì)有持續(xù)小段時(shí)間的無解狀態(tài)（極大值點(diǎn)橫坐標(biāo)λp大于1）。若λf逐漸增大，則峰形逐漸消失，但收斂速度將顯著降低，無法在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)入小誤差區(qū)間。觀察圖12b可知，λp的估計(jì)結(jié)果較差，始終未能進(jìn)入小誤差范圍。

圖12 Kiencke模型峰值點(diǎn)坐標(biāo)估計(jì)結(jié)果Fig.12 Estimated results ofμpand λp

3.2.2 指數(shù)和線性化模型的估計(jì)結(jié)果

設(shè)初值θ?(0)為指數(shù)和模型離線擬合Burckhardt干瀝青曲線的擬合結(jié)果，并取λf=0.995。圖13為該參數(shù)下的附著特性曲線及其峰值點(diǎn)估計(jì)結(jié)果，圖14a、圖14b為圖13中峰值點(diǎn)的兩個(gè)二維視角，分別為峰值點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的時(shí)間歷程。

圖13 指數(shù)和模型的擬合曲線及其峰值點(diǎn)的時(shí)間歷程Fig.13 Fitted curves and their peak points（ES）

由圖14a可知，三種路面上的μp估計(jì)結(jié)果均非常精確，均能夠在0.5 s內(nèi)進(jìn)入小誤差區(qū)間，具體耗時(shí)的差別取決于制動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性和滑移率狀態(tài)。在ABS作用下，由于制動(dòng)力矩的動(dòng)態(tài)特性T?b_L1不隨路面改變，當(dāng)ω?L1＜ 0時(shí)，低附著路面的 ||ω?L1稍大于高附著路面，而當(dāng)ω?L1＞0時(shí)， ||ω?L1則顯著小于高附著路面。那么當(dāng)車輪經(jīng)歷從高附著進(jìn)入低附著的對(duì)接路面時(shí)，若點(diǎn)(μ,λ)處于非線性區(qū)域，則回到線性區(qū)域需要耗時(shí)更多，此情況會(huì)降低估計(jì)速度。即使這樣，估計(jì)方法仍然獲得了較好的估計(jì)結(jié)果，在1.1 s處進(jìn)入低附著路面后的第一個(gè)ABS循環(huán)即進(jìn)入了小誤差區(qū)間。同時(shí)，由圖14b可知，估計(jì)方法對(duì)λp的估計(jì)結(jié)果進(jìn)入小誤差區(qū)間的耗時(shí)與圖14a近似，沒有出現(xiàn)大幅跳變的發(fā)散問題。

圖14 指數(shù)和模型峰值點(diǎn)坐標(biāo)估計(jì)結(jié)果Fig.14 Estimated results ofμpand λp

4 結(jié)語

本文以前驅(qū)電動(dòng)汽車的縱向制動(dòng)工況為建模對(duì)象，研究了ABS觸發(fā)工況下的附著條件估計(jì)方法。方法基于Effect-based的估計(jì)思想，并通過指數(shù)和模型將Burckhardt非線性模型進(jìn)行線性化，離線擬合數(shù)據(jù)證明該方法估計(jì)精度較高，可應(yīng)用于任意車輛；設(shè)計(jì)和搭建了聯(lián)合仿真平臺(tái)和搭建硬件在環(huán)試驗(yàn)平臺(tái)，硬件在環(huán)試驗(yàn)驗(yàn)證了實(shí)時(shí)在線估計(jì)的可行性，仿真平臺(tái)的結(jié)果表明，相較于Kiencke模型和其他指數(shù)和模型，本文設(shè)計(jì)的指數(shù)和模型的結(jié)構(gòu)及參數(shù)具備更優(yōu)的估計(jì)速度和精度，在大部分情況下，峰值點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)能于第一個(gè)ABS循環(huán)內(nèi)進(jìn)入±5%和±10%小誤差區(qū)間。