高 杰 笪 誠 朱仁義

（巢湖學院，安徽 合肥 236148）

1 引言

歐拉公式在《復變函數與積分變換》[1]課程中具有十分重要的地位，在定義復指數函數后，應用歐拉公式直接給出對數函數、冪函數、三角函數以及反三角函數的定義，從而將初等函數從實數域擴展到復數域。但在給出復指數函數定義之前，并沒有說明為什么f（z）=ex（cosy+isiny）就是復數域上的指數函數。與此同時，在歐拉公式：eiθcosθ+isinθ中，等式的左邊是復指數函數，等式的右邊是余弦函數和正弦函數；復指數函數怎么會和余弦函數與正弦函數之間存在關系？這是學生在學習過程中一定會有的疑惑，也是教師在教學過程中必須要說明的問題。

正因為在教學過程中，復指數函數的定義交代不夠清楚，導致學生在理解上存在偏差，給復變函數后續(xù)章節(jié)以及其他課程的學習帶來一定的障礙。

2 復指數函數定義

眾所周知，在實數域中指數函數被定義為y=ax（其中a＞0且a≠1一切實數），當a取值為自然數e時，我們得到工程中常用的指數函數y=ex（本文中提到的指數函數，如不加說明均是以e為底），該指數函數滿足以下幾個條件：

i.定義域內是連續(xù)函數

ii.（ex）′=ex，e0=1

iii.ex滿足指數律：

若能構造一個復函數 f（z） =u（x，y） +i（x，y），其中 z=x+iy 為復數，使其滿足以下條件：

iv.f（z）在復平面上處處解析

v.f′（z）=f（z），f（0） =1

vi.f（z）滿足指數律： f（z1+z2） =f（z1） f（z2）即

vii.當 Im（z）=0 時，f（z）=ex

那么這個函數f（z）就可以定義為是復變量z的指數函數，并把它記作：f（z）=ez，下面我們試圖找到能夠滿足題設條件iv-vii的函數f（z）。

首先由條件 iv，假設定義在復平面上的解析函數 f（z） =u（x，y） +i（x，y）（其中 z=x+iy），則由解析函數的充要條件知：

由條件v和（1）式，可得以下微分方程組：

由方程中①和②不妨設方程組（2）的通解為：

其中的φ（y）和φ（y）是關于y的實函數，代入③和④中，解得：

代入初始條件 f（0）=1，得：

即有：

則滿足條件iv和v的解析函數（1）的表達式應為：

下面驗證（3）式是否滿足條件vi和vii？

首先，設有兩個復變數： z1＝ x1+iy1，z2＝ x2+iy2，則由（3）式可得：

可知 f（z）滿足條件 vi。

其次，當Im（z）=0即y=0，則（3）式退化為實數域的指數函數：

可知 f（z） =ex滿足條件 vii。

因此，（3）式即可作為指數函數從實數域推廣到復數域后的定義，記為：

需要指出兩點：第一，定義式中第一個等式也可以寫成exp（z），ez沒有冪的意義，是一個數學符號，為了與實數域中的指數函數表達方式統(tǒng)一并簡化表達式和運算，其中的e嚴格意義上并不代表實數域中的自然數；第二，復指數函數除了有iv—vii的性質外，同時也具備在實數域中沒有的性質，比如：周期性，周期為2kπi（其中：k∈Z）。至此，在不引入復分析概念的情況下，從已知的實數域指數函數的定義和性質出發(fā)，給出復指數函數為何具有如此形式的定義式。

3 歐拉公式的可視化

其中 z為任意的復數[7]。由（5）式，以純虛數為例，分別考察 eπi和 e2πi，可得：

圖1 eπi數值逼近過程

圖2 e2πi逼近過程

由（5）式的逼近過程可知：eiθ可代表復平面單位圓周上的任意一點，θ即為該點與實軸正半軸的夾角。由表達式（4），若假設z為純虛數iθ，則有：

表達式（6）即為歐拉公式。其圖像如圖3所示：

圖3 歐拉公式的可視化描述

在復平面上，單位圓周上的任一點A，其位置可以用虛指數函數eiθ來表示，其中θ為A的輻角主值，可以看出與上述數值模擬的逼近過程一致。

進一步，推廣到整個復平面，對于復平面上任意一點z=x+iy，可以表示為：

分別對應于復數的指數和三角形式，其中r為z的模，θ為z的輻角

至此，對于任意復指數函數f（z）＝az（其中a＞0且a≠ 1一切實數，z為一切復數），有：

其對應復平面上模為ax，輻角主值為ylna的點。

4 教學探討

由于教材中直接給出復指數函數定義式，進而引入歐拉公式，沒有指出定義的來歷，很大程度上影響學生對復變函數及歐拉公式的理解。鑒于以上情況，建議在教學過程中從以下幾個方面加以展開：

4.1 還原知識發(fā)現的過程

歐拉通過嚴格的推導發(fā)現了eiθ=cosθ+isinθ的關系，要知道在歐拉的時代，還沒有復數概念，這不能不說是歐拉的偉大所在。隨著數的范圍由實數擴展到復數后，特別是高斯等人將復數與復平面上的點對應起來，有關的復變函數理論才得以建立。在理論建立的過程中，人們自然要提出一個問題：實數域的初等函數，如：指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等，推廣到復數域后是什么？本著樸實、簡單的數學思維，自然希望上述函數推廣到復數域后，仍然有和實數域中類似甚至一樣的運算性質。本文即按照這一思路，從運算性質入手，給出復指數函數應該被定義成何種表達式。

4.2 尊重知識的認知過程

學生開始接觸復指數函數，對于復數的指數冪在理解上存在一些困難，特別是對于eiθ，受到實數域中指數函數定義的影響，首先想到的是這個指數冪的值是多少？此時，需要向學生們明確兩點：首先，此處的eiθ之所以寫成e的指數冪的形式，是為了與實數域的指數函數在表達式上統(tǒng)一，是一個記號，并沒有冪的意義；其次，這也是正是歐拉公式的意義所在，通過歐拉公式建立了虛指數函數與三角函數之間的聯(lián)系，讓復指數的運算成為可能，并具有和實數域指數函數有近乎一樣的運算性質。

4.3 注重新舊知識的融會貫通

引導學生回顧《高等數學》中的重要極限，由e的定義出發(fā)，通過數值模擬的方法，直觀的給出eiθ在復平面上的圖像；同時，也可以利用級數展開知識，分別將eiθ，cosθ，sinθ展開成泰勒級數形式，他們之間也是滿足：eiθ=cosθ+isinθ。