高 直，陳 偉，邵 星

GAO Zhi,CHEN Wei,SHAO Xing

鹽城工學(xué)院 信息工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051

College of Information Engineering,Yancheng Institute of Technology,Yancheng,Jiangsu 224051,China

1 引言

隨著航天事業(yè)的不斷發(fā)展，航天器在執(zhí)行在軌維護(hù)、對(duì)地觀測(cè)和深太空探索等航天任務(wù)時(shí)，要求姿態(tài)快速并準(zhǔn)確地對(duì)參考姿態(tài)進(jìn)行跟蹤控制[1-3]。近年來，航天器的姿態(tài)跟蹤控制問題引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，并就此展開了大量的研究。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在該領(lǐng)域取得了大量的姿態(tài)控制理論研究成果，如自適應(yīng)控制[4-7]、反步法[8-11]、滑?？刂芠12-15]、有限時(shí)間控制[16-19]等方法。

由于太空環(huán)境的復(fù)雜性，在軌運(yùn)行的航天器在工作過程中不可避免地會(huì)受到外界力矩干擾，這些干擾力矩主要包括太陽光壓及重力梯度。此外，由于太陽帆板運(yùn)動(dòng)和液體晃動(dòng)，航天器的慣量會(huì)發(fā)生未知變化，以及無法準(zhǔn)確獲知航天器慣量參數(shù)信息[4]。對(duì)于存在外界干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性的剛體航天器姿態(tài)控制問題，文獻(xiàn)[4-6，8，10-12，16，18，20]對(duì)此進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]基于魯棒控制、自適應(yīng)控制和輸出調(diào)整理論，提出了一種自適應(yīng)內(nèi)模方法，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。針對(duì)存在未知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和外部干擾力矩的航天器快速大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，文獻(xiàn)[5]結(jié)合非線性反步法和Lyapunov穩(wěn)定性分析方法設(shè)計(jì)了帶有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量估計(jì)值的非線性魯棒自適應(yīng)控制律，并證明了姿態(tài)機(jī)動(dòng)系統(tǒng)最終一致有界穩(wěn)定。文獻(xiàn)[6]基于自適應(yīng)反步法和非線性阻尼算法，提出了一種魯棒自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)慣量參數(shù)的估計(jì)，并且克服了外界干擾，最終保證航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)全局一致最終有界穩(wěn)定。文獻(xiàn)[11]針對(duì)航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，設(shè)計(jì)了一種迭代學(xué)習(xí)控制方法，分別對(duì)外界干擾和緩慢且小幅變化的不確定性構(gòu)建有界學(xué)習(xí)控制律，進(jìn)而給出航天器穩(wěn)定控制律，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤誤差有界穩(wěn)定。文獻(xiàn)[20]研究了模型參數(shù)不確定性因素下的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了一種保性能控制律，在補(bǔ)償參數(shù)不確定性的同時(shí)還能滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，使得航天器在不確定性的影響下能夠精確完成大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，在此文中，外界干擾影響未作考慮。

伴隨著航天任務(wù)的多樣性和復(fù)雜性，航天器對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安全性和可靠性要求越來越高。由于航天器長(zhǎng)期工作在高低溫、失重和強(qiáng)輻射的惡劣環(huán)境下，以及長(zhǎng)時(shí)間的工作，機(jī)載元器件會(huì)逐漸老化，最終導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生功能衰退等故障，進(jìn)而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，隨之，航天器的容錯(cuò)控制問題成為近幾年的一個(gè)研究熱點(diǎn)[21-24]。文獻(xiàn)[22-23]在慣量設(shè)定為定常的條件下考慮系統(tǒng)容錯(cuò)控制問題。文獻(xiàn)[22]針對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)損失部分效能的情況，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)反步控制策略，使得航天器在外界干擾的環(huán)境中達(dá)到姿態(tài)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[23]在不考慮外界干擾的情況下，針對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)功能衰退故障設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)容錯(cuò)姿態(tài)控制邏輯。文獻(xiàn)[24]針對(duì)具有未知常數(shù)慣量不確定性和外界干擾的航天器，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間自適應(yīng)滑模姿態(tài)跟蹤控制器，使得期望姿態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)被跟蹤上。航天器執(zhí)行任務(wù)時(shí)，由于受燃料持續(xù)消耗、液體晃動(dòng)、太陽帆板運(yùn)動(dòng)等客觀因素影響，航天器慣量是未知時(shí)變的[25-28]。

通過上述研究成果分析，以上容錯(cuò)控制策略并沒有同時(shí)考慮時(shí)變慣量和執(zhí)行機(jī)構(gòu)損失部分能量情況下的航天器姿態(tài)容錯(cuò)控制問題。受上述問題啟發(fā)，本文針對(duì)非剛體航天器在軌運(yùn)行時(shí)受到慣量未知時(shí)變性、外界持續(xù)干擾以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)部分失效問題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制律，使得航天器在執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生部分失效故障時(shí)依舊能夠使得航天器姿態(tài)跟蹤上期望姿態(tài)。所提的控制律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)，理論分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制策略的有效性。此外，該方法可同時(shí)用于剛體航天器的自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制，在控制律設(shè)計(jì)部分已對(duì)此進(jìn)行說明。

2 問題描述

2.1 航天器數(shù)學(xué)模型

非剛體航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程[28]為：

注1在剛體航天器動(dòng)力學(xué)模型中，參考文獻(xiàn)[1-27]，-J?ω因子是不存在的。

圖1為航天器坐標(biāo)示意圖，航天器繞慣量坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角分別為滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ和偏航角ψ。XIYIZI為慣量坐標(biāo)系，XBYBZB為本體坐標(biāo)系，從慣量坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)系采用3-2-1的旋轉(zhuǎn)順序，即按照ZY-X軸的順序旋轉(zhuǎn)。首先繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度ψ，其次繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度θ，最后繞X軸旋轉(zhuǎn)角度φ。由于采用歐拉角描述存在奇異問題，且需多次三角運(yùn)算，而采用四元數(shù)描述可以避免此類問題，同時(shí)，歐拉角轉(zhuǎn)換為四元數(shù)是一對(duì)一的關(guān)系，運(yùn)算簡(jiǎn)單，因此工程上普遍采用四元數(shù)描述航天器的運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)中的姿態(tài)。四元數(shù)與歐拉角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可參考文獻(xiàn)[5]中式（7）。ω為本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度。

圖1 航天器坐標(biāo)示意圖

注2由于燃油消耗和液體晃動(dòng)等因素導(dǎo)致慣量變化，慣量矩陣可進(jìn)行合理性假設(shè)：航天器在工作過程中，Ji是正定有界的及是有界的。

2.2 控制目標(biāo)

針對(duì)非剛體航天器使用過程中存在未知時(shí)變慣量不確定性、位置外界干擾及執(zhí)行機(jī)構(gòu)衰退故障等因素，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)容錯(cuò)控制，使得航天器姿態(tài)及角速度誤差系統(tǒng)一致有界穩(wěn)定，即a2，其中，a1、a2為非常小的常數(shù)值。

3 控制律設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

3.1 自適應(yīng)容錯(cuò)控制律設(shè)計(jì)

為了便于后面的控制律設(shè)計(jì)，首先定義一個(gè)誤差輔助變量S：

對(duì)式（7）求導(dǎo)可得：

其中，β是一個(gè)正實(shí)數(shù)。

由于外界干擾、慣量及其一階導(dǎo)數(shù)是有界的，可以得到：

針對(duì)系統(tǒng)存在外界干擾和慣量時(shí)變不確定性參數(shù)，首先利用自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)外界干擾上界和慣量時(shí)變不確定參數(shù)，其次利用自適應(yīng)參數(shù)和誤差輔助變量進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，最終使系統(tǒng)達(dá)到一致有界穩(wěn)定。

本文所提出的未知時(shí)變慣量航天器自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制律原理如圖2。

圖2 自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制原理

根據(jù)圖2所示控制原理，設(shè)計(jì)自適應(yīng)容錯(cuò)控制律為：

其中，k1、b1、b2、b4、β2和α是正常數(shù)，β1是時(shí)變的且滿足β1()

0＞0；參數(shù)?是抑制慣量不確定性的自適應(yīng)參數(shù)；?是外界未知干擾最大值的估計(jì)值。式（12）～（14）是自適應(yīng)更新律，根據(jù)未知時(shí)變慣量和外界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響進(jìn)行自適應(yīng)更新。

注3相比文獻(xiàn)[5]中控制方法，該控制律沒有對(duì)慣量進(jìn)行單獨(dú)估計(jì)、相應(yīng)的變量變換以及矩陣Y的計(jì)算，控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)。

注4對(duì)于剛體航天器[1-27]，動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式中不存在-J?ω項(xiàng)。因?yàn)槭怯薪绲?，所以不等式?0）仍舊成立。進(jìn)而，控制律（11）及自適應(yīng)律（12）～（14）適應(yīng)于剛體航天器。

為了便于后面穩(wěn)定性證明，引入以下引理。

引理1[27]對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和非零實(shí)數(shù)y，都有下面不等式成立：

其中，σ＞0，σ的最小值σmin滿足σmin=x*(1-tanhx*)，x*滿足方程e-2x*+1-2x*=0。

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

針對(duì)3.1節(jié)提出的自適應(yīng)容錯(cuò)控制器，利用Lyapunov方法進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

定理 考慮存在未知時(shí)變慣量不確定性、持續(xù)外界干擾以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)衰退故障的非剛體航天器系統(tǒng)（1）～（3），若采用控制律（11）和自適應(yīng)律（12）～（14），則航天器誤差系統(tǒng)（4）～（6）是一致有界穩(wěn)定的。

證明 選取Lyapunov函數(shù)為：

其中，ε=min(μ1,μ2,μ3) 。

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)并由式（4）～（10）得：

把控制律（11）及自適應(yīng)律（12）～（14）代入式（17）得：

通過引理1可以得出：

由式（20）可以推導(dǎo)出：

同時(shí)：

把式（21）～（22）代入式（19）得：

航天器時(shí)變慣量矩陣及初始姿態(tài)值見表1，初始角，由式（23）可得誤差集：

由式（24）可以得出參數(shù)k1、b2數(shù)值越大，及b1、b4數(shù)值越小，則航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)（4）～（6）穩(wěn)態(tài)誤差越小，即控制精度越高，實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差系統(tǒng)最終一致有界穩(wěn)定[29]。

4 仿真驗(yàn)證與比較

4.1 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的控制器對(duì)航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制的有效性和魯棒性，在此給出仿真參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真。

航天器的期望軌跡：

角速度可通過式（2）獲得。

外界干擾τd=0.5[0.02sin(t),0.05cos(t),0.03cos(t)]T。執(zhí)行器效率矩陣B=diag(0.6+0.2sin(t),0.8+0.2cos(t),0.7+0.2sin(t))。控制器參數(shù)k1=20，β=1，b1=0.01，b2=60，b4=0.1，β2=0.1，α=0.3。自適應(yīng)參數(shù)初始值速度值

注5為模擬時(shí)變慣量矩陣，采用慣量初始值乘以因子cos(0.05t)，仿真時(shí)間為[0,20]s。

圖3及圖4給出了航天器姿態(tài)及角速度跟蹤誤差曲線。從圖中可以看出在控制律（11）及自適應(yīng)律（12）～（14）作用下，盡管非剛體航天器受到執(zhí)行機(jī)構(gòu)衰退故障、未知時(shí)變慣量不確定性及外界干擾影響，仍能很好地完成姿態(tài)跟蹤任務(wù)，跟蹤誤差最終趨于零點(diǎn)附近一個(gè)很小的鄰域內(nèi)，控制器具有很好的控制效果。圖5為控制器輸出力矩，實(shí)際作用在航天器的力矩為此輸出力矩乘以執(zhí)行機(jī)構(gòu)效率矩陣B。圖6～圖8為控制器自適應(yīng)參數(shù)數(shù)值變化曲線。

表1 慣量矩陣和初始姿態(tài)

圖3 姿態(tài)跟蹤誤差曲線

圖4 角速度跟蹤誤差曲線

圖5 控制力矩曲線

圖6 參數(shù)c估計(jì)值曲線

圖7 外界干擾估計(jì)值?曲線

圖8 參數(shù)變化曲線

4.2 仿真對(duì)比

為驗(yàn)證不同干擾形式下本文方法的有效性及更高的控制精度，外界干擾選取不同于4.1節(jié)的形式τd=[0.1+0.2sin(t),0.4+0.5cos(t),0.2+0.3cos(t)]T,同時(shí)與文獻(xiàn)[26]進(jìn)行仿真對(duì)比，仿真對(duì)象為剛體航天器，即動(dòng)力學(xué)方程（3）中不包含-J?ω項(xiàng)。慣量矩陣、執(zhí)行器效率矩陣及期望軌跡與4.1節(jié)相同。文獻(xiàn)[26]控制器參數(shù)選取與所提控制器參數(shù)值相同，即k0=k1=20,β=1,σ1=b1=0.01,σ2=b2=60,μ=b4=0.1。由本文方法和文獻(xiàn)[26]自適應(yīng)姿態(tài)容錯(cuò)方法所產(chǎn)生的曲線分別用“Proposed”和“Comparison”標(biāo)注。圖9和圖10分別表示姿態(tài)誤差范數(shù)和角速度誤差范數(shù)曲線圖。從圖中可以看出，姿態(tài)及角速度跟蹤誤差在8 s時(shí)可以達(dá)到3×10-3，本文方法誤差可以達(dá)到2×10-3，控制精度更高，并且在不同的干擾模式下仍舊可以快速地使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖9 姿態(tài)誤差范數(shù)‖‖變化曲線

圖10 角速度誤差范數(shù)‖‖變化曲線

5 結(jié)束語

本文研究了同時(shí)存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)衰退故障、未知時(shí)變慣量不確定性及外界干擾的非剛體航天器姿態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性控制問題，基于非線性系統(tǒng)魯棒控制方法、自適應(yīng)方法及參數(shù)估計(jì)方法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制方法，并通過對(duì)航天器跟蹤誤差系統(tǒng)的數(shù)字仿真，驗(yàn)證了本文方法的可行性及魯棒性。該控制器克服了執(zhí)行器衰退、慣量不確定性及外界干擾對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，且具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。