龍珊珊，朱如鵬，靳廣虎

(南京航空航天大學(xué), 江蘇 南京 210016)

0 引言

齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)具有體積小、傳動(dòng)比大、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，廣泛應(yīng)用于航空、航天等領(lǐng)域。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者[4-11]就圓柱齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性開展了一系列的研究。齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)中兩分支雙聯(lián)軸具有相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)。但由于在實(shí)際過(guò)程中加工和安裝誤差無(wú)法避免，會(huì)造成其結(jié)構(gòu)不一致，從而導(dǎo)致左右分支雙聯(lián)軸剛度值出現(xiàn)偏差。在以往研究中，通常忽略了剛度偏差對(duì)系統(tǒng)均載性能的影響。本文以單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立含齒面摩擦的單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程，分析了兩分支雙聯(lián)齒輪軸扭轉(zhuǎn)剛度和支撐剛度偏差對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)均載特性的影響，為單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。系統(tǒng)包括輸入軸、左右雙聯(lián)軸和輸出軸4根傳動(dòng)軸，分為左右兩分支。左右兩分支中包含的零部件及其物理量用字母L和R進(jìn)行區(qū)分。由圖可知，系統(tǒng)的輸入功率由輸入齒輪Zp分成兩路傳遞給分扭級(jí)齒輪ZLs和ZRs，再經(jīng)由并車級(jí)齒輪ZLh和ZRh將功率匯集傳遞給輸出齒輪ZB。

圖1 單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖

根據(jù)圖1，采用集中參數(shù)法建立如圖2所示的單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。模型中將系統(tǒng)各個(gè)構(gòu)件看作是剛體，將齒輪嚙合變形、傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)變形和軸支撐處的橫向變形等效為彈簧聯(lián)接[12-13]，模型中各構(gòu)件的剛度、阻尼和傳遞誤差分別用字母K、c和e配合相應(yīng)的下標(biāo)表示。

由圖1和圖2可知，該單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)自由度共為16個(gè)，用矢量Y可表示為：

Y=(φD,φp,φRs,φRh,φLs,φLh,φB,φo,Xp,Yp,XR,YR,XL,YL,XB,YB)

(1)

式中，φD、φp、φRs、φRh、φLs、φLh、φB和φo分別表示輸入構(gòu)件、齒輪Zp、齒輪ZRs、齒輪ZRh、齒輪ZLs、齒輪ZLh、齒輪ZB輸出構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)微位移；Xp、Yp、XR、YR、XL、YL、XB和YB分別表示輸入軸、雙聯(lián)軸、輸出軸的橫向微位移和縱向微位移。

由圖2可知，系統(tǒng)中存在多對(duì)齒輪副同時(shí)嚙合的情況，為便于動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)與分析，本文引入局部坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)來(lái)建立系統(tǒng)坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)和廣義坐標(biāo)的關(guān)系如圖3所示。圖中，帶星號(hào)坐標(biāo)為局部坐標(biāo)，系統(tǒng)中各Y軸方向?yàn)楦鲊Ш暇€方向。由圖可知，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和局部坐標(biāo)之間存在幾何關(guān)系，因此局部坐標(biāo)系可由廣義坐標(biāo)系表示，即：

(2)

圖2 單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)物理模型

圖3 系統(tǒng)的局部和廣義坐標(biāo)關(guān)系圖

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程

2.1 角位移與線位移之間的關(guān)系

傳動(dòng)系統(tǒng)在工作狀態(tài)時(shí)，各級(jí)齒輪、各傳動(dòng)軸和各級(jí)軸承因受載而產(chǎn)生變形，這些變形可轉(zhuǎn)化為嚙合齒輪沿嚙合線方向的綜合位移，其嚙合線綜合位移表達(dá)式為：

(3)

式中，YmRps、YmLps、YmRBh和YmLBh分別為齒輪Zp與齒輪ZRs、齒輪Zp與齒輪ZLs、齒輪ZRh與齒輪ZB、齒輪ZLh與齒輪ZB沿嚙合線方向的綜合位移；rbp、rbRs、rbLs、rbRh、rbLh和rbB分別為齒輪Zp、齒輪ZRs、齒輪ZRh、齒輪ZLs、齒輪ZLh和齒輪ZB的基圓半徑。

為消除剛體位移，將傳動(dòng)軸兩端齒輪的相對(duì)角位移轉(zhuǎn)化為傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)線位移，則得:

(4)

式中，YDp、YRsh、YLsh和YBo分別為輸入軸、右分支雙聯(lián)軸、左分支雙聯(lián)軸和輸出軸的扭轉(zhuǎn)線位移。

2.2 傳動(dòng)系統(tǒng)受力分析

令FmRps、FmRBh、FmRps和FmRBh分別為傳動(dòng)系統(tǒng)左右分支分扭級(jí)和并車級(jí)齒輪副之間的嚙合力，則：

(5)

傳動(dòng)系統(tǒng)中各傳動(dòng)軸受多對(duì)齒輪嚙合力作用，受力情況較為復(fù)雜。為簡(jiǎn)化分析過(guò)程和推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程，將齒輪嚙合力沿廣義坐標(biāo)X、Y方向進(jìn)行分解，得到各傳動(dòng)軸沿X、Y方向上所受的合力，即：

(6)

式中，F(xiàn)px與Fpy、FxR與FyR、FxL與FyL、FxB與FyB分別為傳動(dòng)系統(tǒng)輸入軸、右分支雙聯(lián)軸、左分支雙聯(lián)軸、輸出軸沿相應(yīng)廣義坐標(biāo)系X和Y方向所受的合力。

傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪受力時(shí)，齒輪間會(huì)產(chǎn)生齒面摩擦力，在對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析和建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，將各齒輪之間摩擦力考慮在內(nèi)。則設(shè)fmRps、fmRBh、fmLps和fmLBh分別為齒輪Zp與齒輪ZRs、齒輪ZRh與齒輪ZB、齒輪Zp與齒輪ZLs、齒輪ZLh與齒輪ZB的齒面摩擦力，因此各級(jí)傳動(dòng)齒輪齒面摩擦力可表示為：

(7)

式中，umRps、umRBh、umLps和umLBh分別為齒輪Zp與齒輪ZRs、齒輪ZRh與齒輪ZB、齒輪Zp與齒輪ZLs、齒輪ZLh與齒輪ZB之間的時(shí)變摩擦系數(shù)。其中，齒輪嚙合的時(shí)變摩擦因數(shù)的計(jì)算公式[13]為：

(8)

式中，SR為接觸齒面的滾滑比；Ph為最大赫茲應(yīng)力；v0為潤(rùn)滑油動(dòng)力學(xué)粘度；S為表面粗糙度均方根；Ve為接觸齒面的卷吸速度；R為接觸齒面的綜合曲率半徑，其中，b1-b9為系數(shù)。

采用將齒輪嚙合力轉(zhuǎn)化為各軸所受合力的原理方法，將各齒輪所受的齒面摩擦力轉(zhuǎn)化為各傳動(dòng)軸在廣義坐標(biāo)X、Y方向上所受的合力為：

(9)

式中，fxp與fyp、fxR與fyR、fxL與fyL、fxB與fyB分別為傳動(dòng)系統(tǒng)輸入軸、右分支雙聯(lián)軸、左分支雙聯(lián)軸、輸出軸沿相應(yīng)廣義坐標(biāo)系X和Y方向所受的摩擦力合力。

2.3 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)平衡方程

根據(jù)單輸入分扭齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和力學(xué)平衡條件，建立以下動(dòng)力學(xué)微分方程：

(10)

(11)

(12)

(13)

3 均載系數(shù)與敏感度的定義

3.1 均載系數(shù)的計(jì)算

為了分析傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，利用Runge-Kutta法求解動(dòng)力學(xué)微分方程，獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可由動(dòng)態(tài)響應(yīng)得到傳動(dòng)系統(tǒng)左右分支雙聯(lián)軸上的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)矩，利用左右分支雙聯(lián)軸上的轉(zhuǎn)矩來(lái)定義系統(tǒng)左右分支動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)：

(14)

式中，bLsh(t)、bRsh(t)分別為任一時(shí)刻單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)左右分支雙聯(lián)軸的均載系數(shù)。

令ΩLsh、ΩRsh為單輸入系統(tǒng)一段時(shí)間內(nèi)的左右分支均載系數(shù)，則有：

(15)

則單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的均載系數(shù)為：

Ωsh=(ΩLsh,ΩRsh)max

(16)

3.2 敏感度的計(jì)算

單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)中存在許多剛度參數(shù)，為了探究剛度參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)的影響，定義敏感度來(lái)表征剛度參數(shù)對(duì)均載性能的影響程度。因此系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)ΩK對(duì)某剛度Kl的敏感度為：

(17)

4 動(dòng)力學(xué)均載特性分析

本文以單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析其均載特性。其工況為：輸入功率為150kW，輸入轉(zhuǎn)速為3 000r/min，系統(tǒng)基本參數(shù)如表1所示。

表1 單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)基本參數(shù)

4.1 動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)分析

圖4所示為傳動(dòng)系統(tǒng)左右分支均載系數(shù)隨時(shí)間的變化曲線。由圖可知，傳動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，左分支均載系數(shù)大于右分支均載系數(shù)，說(shuō)明系統(tǒng)左分支所受載荷大于右分支，主要原因在于：兩分支齒輪中心橫向變形引起兩分支齒輪旋轉(zhuǎn)量不同，從而導(dǎo)致兩分支承受的轉(zhuǎn)矩不相同。

圖4 系統(tǒng)各分支均載系數(shù)

4.2 扭轉(zhuǎn)剛度敏感度分析

當(dāng)單輸入系統(tǒng)左右分支雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度存在偏差時(shí)，其偏差值對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)的影響如圖5所示。由圖5可以看出，當(dāng)右分支扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，均載系數(shù)會(huì)隨著偏差值的增大而增大；當(dāng)左分支扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，隨著偏差值的增大，均載系數(shù)呈先減少后增大的變化趨勢(shì)。均載系數(shù)出現(xiàn)先減少后增大現(xiàn)象的原因是：系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，左分支承受的負(fù)載要大于右分支，當(dāng)左分支扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，左分支扭轉(zhuǎn)剛度增大，左分支變形量減小，承受的負(fù)載減小，此時(shí)左分支均載系數(shù)減少，直到左右分支負(fù)載相同；當(dāng)偏差逐漸增大，會(huì)導(dǎo)致左分支承受的負(fù)載小于右分支，從而造成均載系數(shù)的增大。因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)左分支扭轉(zhuǎn)剛度的偏差值來(lái)改善系統(tǒng)的均載性能，得到系統(tǒng)均載系數(shù)最優(yōu)值。

圖5 兩分支扭轉(zhuǎn)剛度偏差對(duì)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響

為研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)對(duì)左右分支雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度，分別給予雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度2%的偏差量時(shí)，得到系統(tǒng)均載系數(shù)對(duì)左右分支雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度曲線見圖6。由圖6可知，隨著扭轉(zhuǎn)剛度的增大，均載系數(shù)對(duì)左右分支扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度降低，其中，均載系數(shù)對(duì)左分支扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度要大于右分支。

圖6 均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度變化曲線

4.3 支撐剛度敏感度分析

當(dāng)單輸入系統(tǒng)左右分支雙聯(lián)軸支撐剛度存在偏差時(shí)，其偏差值對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)的影響如圖7所示。由圖7可以看出，當(dāng)右分支支撐剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，均載系數(shù)會(huì)隨著偏差值的增大而增大；當(dāng)左分支支撐剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，隨著偏差值的增大，均載系數(shù)呈先減少后增大的變化趨勢(shì)。

圖7 支撐剛度偏差對(duì)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響

為研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸支撐剛度的敏感度，分別給予左右分支雙聯(lián)軸支撐剛度5%的偏差量時(shí)，得到系統(tǒng)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸支撐剛度的敏感度曲線，如圖8所示。由圖8可知，隨著支撐剛度的增大，均載系數(shù)對(duì)支撐剛度的敏感度降低，其中，均載系數(shù)對(duì)左分支支撐剛度的敏感度要大于右分支。

圖8 系統(tǒng)均載系數(shù)對(duì)支撐剛度的敏感度變化曲線

通過(guò)比較圖6和圖8可知，均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度高于對(duì)雙聯(lián)軸支撐剛度的敏感度。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)單輸入齒輪分扭傳動(dòng)系統(tǒng)，建立了含齒面摩擦的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算得到了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)。在此基礎(chǔ)上分析了兩分支雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度和支撐剛度的偏差對(duì)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響以及系統(tǒng)均載系數(shù)對(duì)雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度和支撐剛度的敏感度，分析結(jié)果如下：

1) 當(dāng)系統(tǒng)右分支扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，均載系數(shù)會(huì)隨著偏差值的增大而增大；當(dāng)左分支雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，系統(tǒng)均載系數(shù)會(huì)隨著偏差值的增大呈先減少后增大的變化趨勢(shì)；可以通過(guò)調(diào)節(jié)左分支扭轉(zhuǎn)剛度偏差值來(lái)改善系統(tǒng)的均載性能，得到均載系數(shù)最優(yōu)解；

2) 當(dāng)系統(tǒng)右分支支撐剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，均載系數(shù)會(huì)隨著偏差值的增大而增大；當(dāng)系統(tǒng)的左分支雙聯(lián)軸支撐剛度出現(xiàn)偏差時(shí)，系統(tǒng)均載系數(shù)會(huì)隨著偏差值的增大呈先減少后增大的變化趨勢(shì)；

3) 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)均載系數(shù)對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的敏感度高于支撐剛度。