朱曉棟，陳則王

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 211106)

0 引言

近年來，伴隨著電池技術(shù)的日趨完善，以蓄電池作為主要供能或儲(chǔ)能原件的系統(tǒng)設(shè)備已廣泛應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域，如各種便攜式處理終端(作為手機(jī)、數(shù)碼相機(jī)、筆記本電腦等電子產(chǎn)品的電源)、航空航天(作為飛機(jī)、衛(wèi)星、空間站等高科技系統(tǒng)的供能與儲(chǔ)能原件)、電動(dòng)汽車(作為電動(dòng)汽車的供電電源)、軍事(為潛艇、坦克和艦船等軍事裝備供電)等。然而，蓄電池在使用過程中存在著可靠性和安全性不高的缺點(diǎn)。蓄電池能否正常運(yùn)行，將直接決定著系統(tǒng)設(shè)備能否安全可靠地運(yùn)行。因此，對電池進(jìn)行剩余壽命預(yù)測，保障電池的可靠性和安全性具有十分重要的意義[1-2]。

面對電池這種高可靠、長壽命的產(chǎn)品，傳統(tǒng)的以大量壽命數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過統(tǒng)計(jì)分析確定壽命分布的方法已不再適用。考慮到電池剩余使用壽命預(yù)測具有隨機(jī)、不確定性等特征，通過隨機(jī)過程模型，在概率的框架下得到剩余使用壽命的概率分布，進(jìn)而估計(jì)其可靠性和剩余使用壽命成為近年來一種熱門的方法。

文獻(xiàn)[3-4]采用截?cái)嗾龖B(tài)分布估計(jì)電池退化狀態(tài)，同時(shí)考慮了測量不確定性的影響，以獲得更準(zhǔn)確的剩余使用壽命分布。文獻(xiàn)[5]提出了一種自適應(yīng)非線性預(yù)測模型來估計(jì)電池剩余使用壽命，采用卡爾曼濾波來在線更新漂移參數(shù)，同時(shí)使用EM算法來更新其他參數(shù)。文獻(xiàn)[6]使用一個(gè)二維維納過程獲得剩余壽命分布，通過似然函數(shù)估計(jì)法獲取模型參數(shù)值，并且使用貝葉斯方法將在線得到的數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進(jìn)行在線更新。

上述文獻(xiàn)在對電池進(jìn)行退化建模的過程中，都沒有考慮到電池通常會(huì)由于加工工藝、設(shè)計(jì)誤差和功能差異等因素導(dǎo)致不同個(gè)體之間存在一定的差異[7-8]。為了描述不同電池之間的個(gè)體差異，本文采用維納過程表示電池性能退化過程，并將維納過程的漂移系數(shù)描述為隨機(jī)變量以描述個(gè)體之間的差異，建立性能衰退的隨機(jī)變量模型，最后通過實(shí)驗(yàn)分析隨機(jī)效應(yīng)維納過程模型和線性維納過程模型之間的差異。

1 退化建模與剩余壽命估計(jì)

1.1 模型描述

由上文分析可知，基于隨機(jī)過程的建模方法不僅能夠更好地反映環(huán)境等因素對電池性能的影響，而且能夠反映電池的真實(shí)退化過程，其描述為:

(1)

式中:X(t)為電池在時(shí)刻t的性能退化量；X0表示性能退化量初始值；β表示漂移參數(shù)；W(t)為一個(gè)用于表征退化過程隨機(jī)性的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程；σ表示擴(kuò)散參數(shù)。一般情況下，上述隨機(jī)因素不會(huì)隨時(shí)間或應(yīng)力而變化，導(dǎo)致擴(kuò)散參數(shù)也不會(huì)變化，通常為常數(shù)。

若β為一常數(shù)，模型就簡化為線性維納過程。但同一批電池通常會(huì)由于加工工藝、設(shè)計(jì)誤差、功能差異等因素導(dǎo)致不同個(gè)體之間存在一定的差異，而且電池在不同的運(yùn)行環(huán)境之下性能也會(huì)有所差別，從而造成了電池性能的不確定性。因而有必要對其進(jìn)行描述，本文采用漂移參數(shù)β來表征隨機(jī)因素對電池性能的影響。

1.2 剩余壽命及可靠度

采用首次達(dá)到失效閾值時(shí)間作為電池的壽命，即:

T=inf{t:X(t)≥L|X(0)

(2)

式中，L為給定的電池失效閾值，為不失一般性，本文令初始退化量X(0)=0，且L>0。

考慮漂移參數(shù)β為隨機(jī)變量的情況，壽命T的概率密度函數(shù)、可靠度函數(shù)和期望可表示為：

(3)

(4)

(5)

對于當(dāng)前時(shí)刻t，剩余壽命可以定義為St=inf{st:X(t+st)≥L|Xt

fSt(st)=fT(t+st)

(6)

(7)

(8)

從式(6)-式(8)可以看出，當(dāng)t=0時(shí)剩余壽命分布與壽命分布完全相同，即壽命分布就是剩余壽命分布的特殊情況。

2 參數(shù)估計(jì)

假設(shè)電池在一些離散的時(shí)間點(diǎn)tj獲得容量退化數(shù)據(jù)，即xj=X(tj),j=0,1,…,m，其對應(yīng)的退化數(shù)據(jù)集為X=(x0,x1,…,xm)'，Δxj=xj-xj-1對應(yīng)于從時(shí)刻tj-1到時(shí)刻tj的退化增量。

根據(jù)維納過程的性質(zhì)，對于給定的β，對應(yīng)于X的抽樣分布為服從如下形式的多變量高斯分布，即：

(9)

其中Δtj=tj-tj-1表示時(shí)間間隔。當(dāng)X和β均視為可通過觀測獲得時(shí)，便構(gòu)成了所謂的完全數(shù)據(jù)。此時(shí)，對應(yīng)的完全對數(shù)似然函數(shù)為:

(10)

p(β|X,Θ(k))∝p(X|β,Θ(k))p(β|Θ(k))

∝exp

在已知X和Θ(k)的條件下，根據(jù)β服從正態(tài)分布的性質(zhì)，很容易得到：

(11)

其中：

(12)

(13)

Q(Θ|X,Θ(k))=EΩ|Θ(k)[L(Θ|X,β)]=

(14)

(15)

(16)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了比較文中方法和線性維納過程模型，使用NASA數(shù)據(jù)，首先驗(yàn)證EM算法對模型參數(shù)估計(jì)的效果，再比較文中方法和線性維納過程模型得到的估計(jì)效果。

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

NASA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為美國航空航天局艾姆斯研究中心的鋰離子電池加速壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[11]。美國航空航天局艾姆斯研究中心以18650型號(hào)的鋰離子電池為研究對象，本文選用其中的電池B06和B18，其具體的實(shí)驗(yàn)方案為：

1) 充電實(shí)驗(yàn)方案

在24 ℃環(huán)境溫度下，電池以1.5 A恒定電流充電，直到電池端電壓上升到最大截止電壓4.2 V，然后轉(zhuǎn)為恒壓模式充電，直到電池電流降至20 mA時(shí)，停止充電，此時(shí)電池電量充滿。

2) 放電實(shí)驗(yàn)方案

在24 ℃環(huán)境溫度下，電池以2 A恒定電流放電，直到電池B06和B18的電壓分別降到2.5 V和2.5 V。

3.2 EM算法的驗(yàn)證與分析

本節(jié)選用NASA數(shù)據(jù)中的B0005電池?cái)?shù)據(jù)的前80次數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并將EM算法中的最大迭代次數(shù)設(shè)為100，迭代終止閾值設(shè)為0.000 1。通過考慮EM算法在不同初始值情況下對模型參數(shù)Θ的估計(jì)效果，來驗(yàn)證其有效性。

圖1 初值均為0.1時(shí)模型參數(shù)的訓(xùn)練過程

圖2 初值均為-0.1時(shí)模型參數(shù)的訓(xùn)練過程

由以上結(jié)果可以明顯看出，隨著迭代次數(shù)的增加，各參數(shù)的最終估計(jì)結(jié)果將不斷逼近真實(shí)的參數(shù)值，而且在不同初始值情況下其估計(jì)結(jié)果基本相同，EM算法估計(jì)效果不依賴于初始參數(shù)的選擇。因此，EM算法具有很好的估計(jì)效果，且估計(jì)速度快。

3.3 基于NASA數(shù)據(jù)的驗(yàn)證與分析

下面利用NASA數(shù)據(jù)來驗(yàn)證算法的有效性，選擇電池B06和電池B18兩組容量退化數(shù)據(jù)，電池B06的訓(xùn)練數(shù)據(jù)分別選擇前20次、前30次、前40次、前50次和前55次，電池B18的訓(xùn)練數(shù)據(jù)分別選擇前40次、前50次、前60次和前70次，具體估計(jì)效果如下。

首先對線性維納過程模型進(jìn)行RUL預(yù)測，本文將線性維納過程模型的壽命可靠度設(shè)置為95%，求得電池壽命，接著計(jì)算得到RUL預(yù)測值以及相對誤差，電池B06和電池B18的估計(jì)效果分別如表1和表2所示。

表1 電池B06的RUL預(yù)測誤差

表2 電池B18的RUL預(yù)測誤差

注：*表示電池在當(dāng)前訓(xùn)練數(shù)據(jù)下無法得到RUL預(yù)測值。

再對維納過程隨機(jī)變量模型進(jìn)行RUL預(yù)測，通過式(8)計(jì)算電池的RUL期望值，接著得到RUL預(yù)測值以及相對誤差，電池B06和電池B18的估計(jì)效果分別如表3和表4所示。

表3 電池B06的RUL預(yù)測誤差

表4 電池B18的RUL預(yù)測誤差

從表1-表4中可以看出，采用基于線性維納過程模型的RUL預(yù)測效果并不理想，預(yù)測誤差較大，且隨著訓(xùn)練樣本的增加，雖然預(yù)測誤差能逐漸提高，但只能下降到10%左右，難以獲得更高的精度。而本文方法的效果明顯更好，并且隨著訓(xùn)練樣本的逐漸增加，其預(yù)測誤差逐漸減少，精度逐漸提高，誤差值能降到5%以內(nèi)。

4 結(jié)語

1) 本文在傳統(tǒng)的線性維納過程建模的基礎(chǔ)上，對模型參數(shù)變量進(jìn)行改進(jìn)，來預(yù)測電池RUL，并使用NASA數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

2) 本文所采用的維納過程隨機(jī)變量模型進(jìn)行RUL預(yù)測時(shí)，能夠考慮到電池由于環(huán)境因素和功能差異等導(dǎo)致的誤差，估計(jì)精度明顯高于傳統(tǒng)方法。