安徽省合肥市第一中學(xué) 段明貴 姚微微 (郵編：230601)

1 原題再現(xiàn)

合肥市2018年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)選擇題第12題為：

圖1

已知點(diǎn)I在△ABC的內(nèi)部，AI平分對(duì)滿足上述條件的所有△ABC，下列說法正確的是( )

A.△ABC的三邊長(zhǎng)一定成等差數(shù)列

B.△ABC的三邊長(zhǎng)一定成等比數(shù)列

C.△ABI，△ACI，△CBI的面積一定成等差數(shù)列

D.△ABI，△ACI，△CBI的面積一定成等比數(shù)列

該題是選擇題的壓軸題，難度較大，從考試結(jié)果來看，得分率也極低.本題以三角形為載體，題干簡(jiǎn)約，背景新穎，綜合考查了正、余弦定理的應(yīng)用，其中還糅合了等差、等比數(shù)列的知識(shí)，在多個(gè)知識(shí)交匯處命題，由此可見本題的綜合性很強(qiáng)，對(duì)考生的分析、解決問題能力要求較高．

2 追根溯源

該題的背景是三角形的布洛卡點(diǎn)與布洛卡角，那么什么是布洛卡點(diǎn)和布洛卡角？

在任意△ABC中，有且僅有一點(diǎn)P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α；有且僅有一點(diǎn)P′，滿足∠P′BA=∠P′CB=∠P′AC=α′.這兩個(gè)點(diǎn)P、P′稱為△ABC的布洛卡點(diǎn)，角α、α′稱為△ABC的布洛卡角．

布洛卡點(diǎn)早在1816年由法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)，1875年，三角形的布洛卡點(diǎn)又被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者——法國(guó)軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．由此再次引發(fā)了人們對(duì)三角形性質(zhì)的研究熱潮，發(fā)現(xiàn)了三角形許多新的性質(zhì)．

一般地，對(duì)于任意三角形都有兩個(gè)布洛卡角與兩個(gè)布洛卡點(diǎn)，當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，兩個(gè)布洛卡點(diǎn)重合，兩個(gè)布洛卡角都為30°．

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，S是△ABC的面積，角α為△ABC的布洛卡角.則有布洛卡角的如下兩個(gè)性質(zhì)：

定理1 cotα=cotA+cotB+cotC．

運(yùn)用正、余弦定理容易證明上述定理，詳細(xì)證明參見文和文 ．

三角形的布洛卡點(diǎn)、布洛卡角還有許多其他性質(zhì)，它們?cè)跀?shù)學(xué)競(jìng)賽中有著廣泛的應(yīng)用，有興趣的讀者，請(qǐng)進(jìn)一步自行探究．

3 解法探析

下面用正、余弦定理及布洛卡點(diǎn)的性質(zhì)給出合肥市2018年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)選擇題第12題的兩種解法．

則∠BIC=∠ABI+∠BAI+∠ACI+∠CAI=∠BAC+∠ABC=B+2α，

∠AIC=π-∠ACI-∠CAI=π-2α．

由于B+2α+C=π，所以B+2α=π-C，B+C=π-2α．

評(píng)析 解法1在2個(gè)子三角形中分別運(yùn)用正弦定理，利用它們邊角的特殊關(guān)系，得到一個(gè)新的等式，從而得到a2=bc．解法2主要利用定理1的等量關(guān)系，移項(xiàng)后充分進(jìn)行恒等變形，最后利用正弦定理得到a2=bc．兩種解法都要充分利用角的關(guān)系，由于解法2直接用了性質(zhì)，所以顯得較為簡(jiǎn)單一些．

事實(shí)上，上述解答過程揭示了布洛卡角的另外一個(gè)性質(zhì)(定理1的推論)：

推論 在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，角α為△ABC的布洛卡角.

4 鏈接高考

圖2

2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第17題如下：

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA．

(2)解法1 設(shè)∠PBA=α，由已知得，PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，

解法2 設(shè)∠PCB=α,由題意可得∠PBA=∠PAC=α,據(jù)定理1，得

解法3 設(shè)∠PCB=α,由題意可得∠PBA=∠PAC=α,據(jù)定理2，得

評(píng)析 在第(2)問的條件下，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，解法1是通解通法，求解過程也不算麻煩，解法2與解法3都直接利用布洛卡點(diǎn)的性質(zhì)，一步即可得到答案．由此可見，本題的原型是三角形的布洛卡點(diǎn)．

波利亞說“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本” ．以上兩題都是運(yùn)用三角形的布洛卡點(diǎn)命制而成的，而題干中又沒有出現(xiàn)布洛卡點(diǎn)這一新概念，做到了不露痕跡．初等數(shù)學(xué)中許多經(jīng)典內(nèi)容，不但是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好素材，也是我們命制各種試題用之不竭的寶藏.