安徽省宣城中學(xué) (242000) 項衛(wèi)華

眾所周知,高考試題是命題專家集體智慧的結(jié)晶,一道好的試題不僅具有典型性,代表性,還具有進一步探索、研究的價值.本文對2018年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷理科第19題進行了思考探究并做引申推廣.

(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

一見此題，筆者立即聯(lián)想到下面兩道高考試題：

(Ⅰ)當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(2013年陜西卷理科第20題)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;

(Ⅱ)已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

真可謂“年年歲歲花相似，年年歲歲題不同”，通過對上述試題的研究，筆者得到以下命題.

1.問題的一般化

證明：設(shè)直線l:x=my+t(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓C的方程得(a2+b2m2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0,則y1+y2=

2.橫向類比推廣到拋物線、雙曲線

命題2 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過定點(t,0)(t>0)且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M,N兩點，則在x軸上存在點P(-t,0)，使得∠OPM=∠OPN.

命題3的證明可仿照命題1、2的方法證得，此處不再贅述.

3.逆向思考變式探究

證明：設(shè)直線l:x=my+n(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓C的方程得(a2+b2m2)y2+2b2mny+b2(n2-a2)=0,則y1+y2=

命題5 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，點P(-t,0)(t>0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M,N兩點，若∠OPM=∠OPN，則直線l過定點(t,0).

證明：設(shè)直線l:x=my+n(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與拋物線C的方程得y2-2pmy-2pn=0,則y1+y2=2pm,y1y2=-2pn,

命題6的證明可仿照命題4、5的方法證得，此處也不再贅述.

由上述的命題1、2、3可以得到圓錐曲線中的一個等角定理：