蔡文平 李海東

在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生是主動(dòng)建模者，他們的角色定位在建模的不同階段有所不同——在模型準(zhǔn)備、建構(gòu)、應(yīng)用和拓展時(shí)，他們的對(duì)應(yīng)角色分別是發(fā)現(xiàn)者、猜測者、驗(yàn)證者、表達(dá)者、應(yīng)用者和拓展者。

一、發(fā)現(xiàn)者角色

所謂發(fā)現(xiàn)者角色，就是學(xué)生在建模準(zhǔn)備時(shí)根據(jù)建模目的，了解問題實(shí)際背景，分析實(shí)際問題中的相關(guān)信息，并根據(jù)信息發(fā)現(xiàn)問題、初步感知模型的角色。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的過程就是他們?cè)谟^察、思考、交流中發(fā)現(xiàn)需要解決實(shí)際問題的過程。

在“乘法分配律”教學(xué)時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生按男、女分組，根據(jù)情境中的信息進(jìn)行數(shù)學(xué)熱身賽——男生做A組題：9×（37+63），（8+4）×25，（10+2）×14；女生做B組題：10×14+2×14，9×37+9×63，8×25+4×25。學(xué)生比賽哪一組算得比較快后，教師引導(dǎo)他們比較兩組題目的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)六道算式的結(jié)果兩兩相等。把得數(shù)相同的算式連起來組成的等式分別是：①9×（37+63）=9×37+9×63；②（8+4）×25=8×25+4×25；③（10+2）×14=10×14+2×14。學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)的三組等式，能幫助他們順利完成建模準(zhǔn)備，并初步感知數(shù)學(xué)模型。學(xué)生的發(fā)現(xiàn)者角色得到有效體現(xiàn)。

二、猜測者角色

所謂猜測者角色，就是學(xué)生在建模過程中提出猜想的角色。建模的生活原型往往是質(zhì)與量、現(xiàn)象與本質(zhì)、偶然與必然的統(tǒng)一，復(fù)雜而具體。學(xué)生要根據(jù)生活原型建模，就要根據(jù)問題特征，在掌握相關(guān)信息的基礎(chǔ)上，把生活原型中反映實(shí)際問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、數(shù)量及相互關(guān)系抽象出來，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言提出合理猜想（假設(shè)），這是學(xué)生建模的關(guān)鍵一步。

教學(xué)時(shí)，教師出示情境圖（圖1）引導(dǎo)學(xué)生分析條件，鼓勵(lì)他們提問。

學(xué)生提出的問題有：①四年級(jí)領(lǐng)了多少根跳繩？②五年級(jí)領(lǐng)了多少根跳繩？③兩個(gè)年級(jí)一共領(lǐng)了多少根跳繩？④四年級(jí)比五年級(jí)多領(lǐng)了多少根跳繩？解決問題③時(shí)，有的學(xué)生列式為24×6+24×4，有的學(xué)生列式為（6+4）×24。比較結(jié)果后，學(xué)生寫出等式（6+4）×24=24×6+24×4。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上述等式猜想時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)算式左邊都是兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)，算式右邊都是兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)后把積相加。學(xué)生小組討論后提出的猜想是：兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)后再把積相加。猜想是學(xué)生建模的開始，猜想是在鼓勵(lì)學(xué)生嘗試建模。學(xué)生因猜想而逼近數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。

三、驗(yàn)證者角色

所謂驗(yàn)證者角色，就是學(xué)生在建模過程中驗(yàn)證猜想的角色。學(xué)生的猜想是否有價(jià)值，是否合理正確，必須經(jīng)過驗(yàn)證。從某種意義上說，學(xué)生學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是不斷驗(yàn)證猜想的過程。如果只猜想不驗(yàn)證，他們的學(xué)習(xí)就可能一知半解。猜想經(jīng)過驗(yàn)證如果被發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的，就要調(diào)整或重新猜想，如果正確就可以確定為模型?，F(xiàn)階段學(xué)生無法嚴(yán)格證明猜想，只能通過舉例驗(yàn)證。

繼上一環(huán)節(jié)學(xué)生提出猜想后他們紛紛通過舉例：（6+4）×2=6×2+4×2，（12+18）×25=12×25+18×25等進(jìn)行驗(yàn)證；引導(dǎo)學(xué)生嘗試舉反例說明猜想錯(cuò)誤時(shí)，他們無法找到符合要求的例子，反而發(fā)現(xiàn)正例不勝枚舉。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生小組合作分類驗(yàn)證——用三個(gè)數(shù)都是一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)分別驗(yàn)證，尤其是重點(diǎn)驗(yàn)證算式中有“0”時(shí)猜想否成立。這樣，學(xué)生驗(yàn)證猜想的過程就是他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。學(xué)生通過舉正例和找反例加深自己對(duì)猜想的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生把猜想和驗(yàn)證有機(jī)結(jié)合起來，猜想才有意義。

四、表達(dá)者角色

所謂表達(dá)者角色，就是學(xué)生在建模過程中用文字、算式、圖形或表格等進(jìn)行數(shù)學(xué)模型表達(dá)的角色。學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的解釋、說明等模型表達(dá)過程，是學(xué)生思考、判斷和合理歸納的過程。模型必須表達(dá)正確、簡潔，才算得上真正建構(gòu)成功。

本課教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試用一個(gè)等式表示規(guī)律的本質(zhì)特征時(shí)，有的用“（我+你）×他=我×他+你×他”表示，有的用“（a+b）×c=a×c+b×c”表示，有的用“（○+□）×◎=○×◎+□×◎”表示，有的用“（m+n）×f=m×f+n×f”表示，有的用“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”表示……經(jīng)過討論，大家一致同意，用“（a+b）×c=a×c+b×c”表示乘法分配律模型，并發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是c組（a+b）分成c個(gè)a加c個(gè)b的和，c個(gè)a加c個(gè)b的和可以配成c組（a+b）。豐富多彩的表達(dá)形式經(jīng)過優(yōu)化與選擇，形成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型（a+b）×c=a×c+b×c，簡潔、清晰，且符合約定俗成的習(xí)慣，能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知的理解，能幫助他們重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)和思維方法，并使所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)真正具有模型價(jià)值。

五、應(yīng)用者角色

所謂應(yīng)用者角色，就是學(xué)生建模后靈活應(yīng)用模型的角色。模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，也是對(duì)模型最客觀、公正的檢驗(yàn)。一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型必須回歸生活實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)，以便充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生活中的特殊作用。

本課在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用模型時(shí)，教師先引導(dǎo)他們根據(jù)乘法分配律填運(yùn)算符號(hào)，如（6+8）×3=6□3□8□3；接著引導(dǎo)他們?cè)凇趵锾顢?shù)，如（12+200）×3=□×3+□×3和66×28+66×32+66×40=（□+□+□）×□；然后引導(dǎo)他們思考×（□+□）=□×+ □×；再引導(dǎo)他們觀察下列算式可以分成哪幾組：①（4+5）×6，②3×（10+8）， ③（10+6）×4，④5×（6+3），⑤4×6+5×6，⑥3×10+3×8，⑦10×4+6×4，⑧5×6+5×3；最后引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題：有一個(gè)長方形操場，長是140米，寬是60米，這個(gè)操場的周長是多少米？學(xué)生在正向、逆向應(yīng)用中能進(jìn)一步理解和掌握乘法分配律模型。

六、拓展者角色

所謂拓展者角色，就是學(xué)生在建模后根據(jù)實(shí)際情況對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)拓展的角色。拓展模型是基于已有模型生成的，學(xué)生只有熟練掌握已有模型才能形成新的數(shù)學(xué)模型。對(duì)模型適度拓展與重塑有助于學(xué)生更進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生解決之前提出的問題④時(shí)，有的學(xué)生列式（6-4）×24，有的學(xué)生列式6×24-4×24，他們認(rèn)為這兩個(gè)算式相等，即（6-4）×24=6×24-4×24。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式聯(lián)想時(shí)，很快有學(xué)生根據(jù)乘法分配律提出（a-b）×c=a×c-b×c的猜想，并嘗試舉例驗(yàn)證。隨后，學(xué)生進(jìn)一步聯(lián)想到把兩個(gè)數(shù)的和拓展為3個(gè)數(shù)的和、4個(gè)數(shù)的和，甚至更多數(shù)的和，嘗試驗(yàn)證后，他們也就建構(gòu)了新的數(shù)學(xué)模型，即（a+b+d+……）×c=a×c+b×c+d×c+……引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)拓展乘法分配律模型是很有價(jià)值的數(shù)學(xué)思考，不但能幫助他們鞏固所學(xué)知識(shí)，而且能啟發(fā)他們延伸學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓寬知識(shí)視野，提升探究能力。

（作者單位：江蘇省泰興市襟江小學(xué)？搖？搖？搖江蘇省泰興市南沙小學(xué)）