/鐘國(guó)強(qiáng) 陳 燕

數(shù)學(xué)模型是采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)，概括地或近似地表達(dá)系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)表述。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，實(shí)際上就是理解、把握和建立一系列數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程即數(shù)學(xué)建模。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模要經(jīng)過(guò)模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型求解、模型確立、模型應(yīng)用等環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，也是學(xué)生深層次理解知識(shí)的過(guò)程。筆者試以蘇教版三下《長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算》一課的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考。

一、模型準(zhǔn)備：在情境中激發(fā)需求

師：新風(fēng)小學(xué)打算給長(zhǎng)方形足球場(chǎng)鋪上草坪，你覺(jué)得采購(gòu)草坪之前需要知道什么？

生：需要知道足球場(chǎng)的面積。

師：在我們以前的學(xué)習(xí)中，要知道一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，可以怎么辦？

生：用面積單位去鋪一鋪。

師：有沒(méi)有其他更好的辦法呢，今天我們就來(lái)進(jìn)一步研究。

模型準(zhǔn)備是數(shù)學(xué)建模的首要環(huán)節(jié)，其主要目的是從生活現(xiàn)象中提煉出一個(gè)比較清晰的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以喚起學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。教學(xué)伊始，教師創(chuàng)設(shè)“球場(chǎng)鋪草坪”的問(wèn)題情境，以“用面積單位鋪一鋪”的方法引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，有效激發(fā)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形面積計(jì)算的探究欲望。

二、模型假設(shè)：在拼擺中初步發(fā)現(xiàn)

師：我們先用一些1平方分米的小正方形擺出幾個(gè)不同的長(zhǎng)方形，你有什么發(fā)現(xiàn)。

指名3位學(xué)生擺長(zhǎng)方形，其他學(xué)生觀察并記錄。教師根據(jù)學(xué)生的回答完成表格填寫(xiě)。

表1 模型假設(shè)記錄表

師：結(jié)合擺的過(guò)程觀察表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：正方形的個(gè)數(shù)和長(zhǎng)方形的面積相等。

生2：長(zhǎng)乘寬就等于正方形的個(gè)數(shù)。

生3：長(zhǎng)乘寬等于長(zhǎng)方形的面積。

師：通過(guò)擺一擺、數(shù)一數(shù)，我們初步發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬是有關(guān)系的，長(zhǎng)方形的面積可能等于長(zhǎng)乘寬。

模型假設(shè)是對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，初步提出一些合理的假設(shè)。自由拼擺長(zhǎng)方形的活動(dòng)，不僅豐富了學(xué)生感覺(jué)、知覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)，而且使學(xué)生初步體會(huì)到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的數(shù)量與所需小正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系，間接感受到長(zhǎng)、寬的數(shù)量與長(zhǎng)方形面積有關(guān)系。在擺、看、想、說(shuō)的過(guò)程中，學(xué)生形成了對(duì)長(zhǎng)方形面積計(jì)算的感性認(rèn)識(shí)。

三、模型求解：在測(cè)量中深化認(rèn)識(shí)

師（出示一個(gè)長(zhǎng)15厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方形）：下面用1平方分米的正方形來(lái)擺一擺、量一量長(zhǎng)方形的面積，誰(shuí)來(lái)試一試？

師：通過(guò)動(dòng)手操作我們發(fā)現(xiàn)用1平方分米的正方形不能正好擺完，那怎么辦呢？

生：換成1平方厘米的小正方形去測(cè)量。

學(xué)生操作，教師巡視。

師：你們是怎么測(cè)量的？

生：我們小組是用小正方形鋪滿長(zhǎng)方形，一共用了120個(gè)小正方形，所以長(zhǎng)方形的面積就是120平方厘米。

師：他們小組是用小正方形將長(zhǎng)方形鋪滿，根據(jù)每行個(gè)數(shù)和行數(shù)的乘積得到面積單位的個(gè)數(shù)，從而得到面積。

生：我們小組是沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各擺一排，就知道一行可以擺15個(gè)，可以擺這樣的8行，推算出鋪滿長(zhǎng)方形需要（15×8）=120（個(gè)）小正方形，所以長(zhǎng)方形的面積是120平方厘米。

師：對(duì)于這兩種方法，你更欣賞哪一種？

生：欣賞第二種。因?yàn)檠刂L(zhǎng)和寬各擺一行，就可以算出小正方形的個(gè)數(shù)，面積也就知道了。

師：如果小正方形的個(gè)數(shù)只有兩個(gè)，你還有辦法測(cè)量嗎？

學(xué)生小組合作操作，指名演示并說(shuō)明思考過(guò)程。

師：用兩個(gè)小正方形交叉移動(dòng)，也能得出小正方形的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而知道長(zhǎng)方形的面積。如果只有一個(gè)小正方形呢？

指名學(xué)生演示，教師相機(jī)指導(dǎo)并適時(shí)用小豎線作標(biāo)記。

師（逐步呈現(xiàn)圖1）：回顧剛才的操作過(guò)程，雖然使用的小正方形的數(shù)量越來(lái)越少，但是我們都在想辦法先量出什么。

（圖 1）

生1：量出了一行小正方形的個(gè)數(shù)和行數(shù)。

生2：量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

師：像剛才這樣量出一行個(gè)數(shù)和行數(shù)，我們也就知道了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

模型求解，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含“道理”的本源追溯和“為什么是這樣”的積極思辨。面積知識(shí)屬于測(cè)量的范疇，測(cè)量長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)中蘊(yùn)含著某些規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律有利于得出長(zhǎng)方形的面積及計(jì)算公式。以長(zhǎng)15厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方形為研究素材展開(kāi)面積測(cè)量活動(dòng)，并對(duì)條件加以限制，促使學(xué)生思考不斷深入，讓操作更具思維含量。同時(shí)，通過(guò)交流比較不同測(cè)量方法，使學(xué)生深刻地體會(huì)到長(zhǎng)方形的面積與測(cè)量時(shí)所用的面積單位的數(shù)量有關(guān)，只要測(cè)量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬就能求出其面積，得出長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式便水到渠成。

四、模型確立：在反思中歸納概括

師：（出示一個(gè)長(zhǎng)7厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形）你有沒(méi)有什么辦法快速得到它的面積？

生：我量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是7厘米，說(shuō)明一行可以擺7個(gè)小正方形；寬是2厘米，說(shuō)明可以擺這樣的2行，一共是7×2=14（個(gè)）小正方形，面積就是14平方厘米。

師：你真會(huì)思考，直接用尺子測(cè)量出長(zhǎng)和寬，同樣能夠得到長(zhǎng)方形的面積。仔細(xì)觀察最后一次用一個(gè)小正方形測(cè)量面積時(shí)留下的記號(hào)，與手中的直尺比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：所作的標(biāo)記就像一把尺子。

師：用小正方形去測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，與直接用尺子去測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬相比，你覺(jué)得哪種方法更方便？

生：直接用尺子去測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬更加方便。

師（出示課始足球場(chǎng)草坪?jiǎn)栴}）：要解決長(zhǎng)方形足球場(chǎng)草坪的面積問(wèn)題，你還想用1平方米的正方形去鋪嗎？

生：只要知道長(zhǎng)和寬就可以了。

教師出示長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù)，學(xué)生解答并說(shuō)清道理。

師：無(wú)論是用1平方分米、1平方厘米還是用1平方米中的面積單位去測(cè)量，我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積都與什么有關(guān)？怎樣求長(zhǎng)方形的面積？

生：長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)、寬有關(guān)，用長(zhǎng)乘寬就能求出長(zhǎng)方形的面積。

師：為什么長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬？

生：一行的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)，行數(shù)對(duì)應(yīng)著寬，正方形的個(gè)數(shù)等于長(zhǎng)方形的面積，所以長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬。

師：如果用字母S、a和b分別表示長(zhǎng)方形的面積、長(zhǎng)和寬，計(jì)算公式可以怎樣表示？

生：長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是S=a×b。

教師依次出示：長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形，邊長(zhǎng)為3厘米的正方形，學(xué)生依次口答算式和結(jié)果。

師：最后一個(gè)圖形是正方形，你是怎樣計(jì)算它的面積的？

生：正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)。正方形是一種特殊的長(zhǎng)方形，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬也就變成了正方形的邊長(zhǎng)和邊長(zhǎng)。

生：一行的個(gè)數(shù)和行數(shù)是相等的，所以正方形的面積是邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)。

師：如果用字母S和a分別表示正方形的面積和邊長(zhǎng)，面積計(jì)算公式可以怎樣寫(xiě)？

生：正方形的面積計(jì)算公式是S=a×a。

師：回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？

生：我們用一些小正方形去測(cè)量長(zhǎng)方形的面積，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬有關(guān)。后來(lái)，隨著小正方形的個(gè)數(shù)變少，發(fā)現(xiàn)只要測(cè)量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬就能求出它的面積。

模型確立就是模型假設(shè)經(jīng)過(guò)驗(yàn)證以后確認(rèn)是正確的，它是從猜想到結(jié)論的蛻變。計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，從“算面積單位的個(gè)數(shù)”到“算長(zhǎng)乘寬”是學(xué)生認(rèn)知上的一個(gè)跨越。教師巧妙地把一個(gè)面積單位度量長(zhǎng)方形時(shí)留下的記號(hào)與直尺刻度建立起關(guān)系，學(xué)生在對(duì)比中形象地理解了“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”的道理。在回顧的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對(duì)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式進(jìn)行抽象和概括，促使學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性。而對(duì)于正方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，教師是將其納入“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”的范疇，通過(guò)說(shuō)理和推理實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)的。在此過(guò)程中，學(xué)生積累了具體問(wèn)題抽象化、形式化及符號(hào)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

五、模型應(yīng)用：在實(shí)踐中內(nèi)化提升

師（出示圖片）：生活中很多物體的表面都是長(zhǎng)方形或正方形的，求黑板和手帕的面積需要知道什么條件？

生1：黑板的面是長(zhǎng)方形，因此需要知道黑板的長(zhǎng)和寬。

生2：手帕的面是正方形，只要知道它的邊長(zhǎng)就可以了。

教師出示相應(yīng)數(shù)據(jù)，學(xué)生獨(dú)立完成并交流。

師：三個(gè)小朋友玩游戲，每人都用12根1分米長(zhǎng)的小棒各擺了一個(gè)圖形（如圖2）。其中一個(gè)小朋友認(rèn)為：擺圖形都用了12根小棒，所以擺出的圖形的面積一樣大。你同意這種觀點(diǎn)嗎？

（圖 2）

生1：不同意，因?yàn)槊總€(gè)圖形計(jì)算出來(lái)的面積都不一樣。

生2：我也不同意，用12根小棒擺圖形只能說(shuō)明圖形的周長(zhǎng)是相等的，而面積是不相等的。

師：用12根小棒擺出來(lái)的圖形不管是長(zhǎng)方形還是正方形，它們的周長(zhǎng)是相等的，但是面積卻是不相等的。

模型應(yīng)用就是引導(dǎo)學(xué)生利用抽象出的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。模型應(yīng)用不是對(duì)數(shù)學(xué)模型的機(jī)械記憶與簡(jiǎn)單套用，而是以理解為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。教師設(shè)計(jì)了求黑板和手帕的面積、辨析求周長(zhǎng)和面積等不同形式的實(shí)際問(wèn)題，在問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步加深了對(duì)長(zhǎng)方形和正方形面積計(jì)算公式的理解，促進(jìn)了數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化，彰顯了數(shù)學(xué)模型的實(shí)際價(jià)值。