劉維奇,梁珊珊,李彤彤

(1.山西大學(xué) 管理與決策研究中心,山西 太原 030006;2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006;3.山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 財(cái)政金融學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

重尾分布是用來描述一類極端事件的有效工具,此類現(xiàn)象廣泛存在于自然和社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域,例如百年難遇的洪澇災(zāi)害、社會(huì)的巨大動(dòng)蕩、金融風(fēng)暴等,它們的發(fā)生事關(guān)國計(jì)民生,因此,對(duì)重尾分布的研究有重要的現(xiàn)實(shí)意義。了解極端事件發(fā)生概率最直接的辦法是描述分布的重尾程度,而極值指數(shù)可衡量右尾函數(shù)的重度,故有效估計(jì)極值指數(shù)顯得尤為重要,學(xué)者們先后提出了不同的估計(jì),Hill(1975)[1]針對(duì)正指數(shù)情形用極大似然法提出的Hill估計(jì)開辟了極值指數(shù)估計(jì)的先河:

(1)

其中k=kn是正整數(shù)序列,表示極大次序統(tǒng)計(jì)量的個(gè)數(shù),當(dāng)n→∞時(shí)kn→∞,kn/n→0,該估計(jì)具有強(qiáng)相合性,Haeusler和Teugels(1985)[2]討論了其漸近正態(tài)性,彭作祥(1998)[3]提出了極值指數(shù)為負(fù)的一類Hill型估計(jì),并證明了它的相合性及漸近正態(tài)性,Haan和Peng(1998)[4]在確定了序列k的最優(yōu)選取后比較了幾類估計(jì)的均方誤差,這些工作都推動(dòng)了Hill估計(jì)的研究。

Dekkers(1989)[5]等人將Hill估計(jì)拓展為下面的矩估計(jì),適用于γ∈R:

(2)

其中

并證明了該估計(jì)的相合性以及漸近正態(tài)性,王淑良和彭作祥(2007)[6]對(duì)矩估計(jì)做了進(jìn)一步推廣。由于以上兩類估計(jì)對(duì)序列k的選擇比較敏感,都不滿足位置不變性,鑒于位置不變性是衡量估計(jì)好壞的一個(gè)重要因素,Pickands(1975)[7]通過求分位數(shù)的方法給出了基于三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的Pickands估計(jì):

(3)

(4)

當(dāng)n→∞時(shí)k=kn=o(n),k0=o(kn),kn→∞,k0→∞成立,在二階正則變化條件下討論了該估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性,以及閾值k0的最優(yōu)選取問題。

近年來,關(guān)于極值指數(shù)的研究方興未艾,Ling(2008)[11-12]等人提出了一類位置不變的矩估計(jì),并討論了它的漸近性質(zhì),通過把Weiss(1971)[13]和Fraga Alves(2001)[10]提出的兩種估計(jì)相結(jié)合,Ling(2011)[14]等人還提出了一類Weiss-Hill型估計(jì)量。與此同時(shí),降偏差估計(jì)也引起了人們的重視,Gomes(2015)[15]、Comes(2016)[16]等人提出了兩類不同的降偏差尾指數(shù)估計(jì),關(guān)于序列k的選取,有Kratz和Resnick(1996)[17]的QQ圖,Beirlant(1996)[18]等人的pareto分位數(shù)圖,還有劉維奇和邢紅衛(wèi)(2010)[19]提出的簡便優(yōu)化方法等。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 正則變化條件

設(shè)X1,X2,…,Xn是一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,有共同的分布函數(shù)F(x),X1,n≤X2,n≤…≤Xn,n為遞增的次序統(tǒng)計(jì)量,如果存在an>0,bn∈R以及非退化的極值分布Gγ(x)使得當(dāng)n→∞時(shí),

P(Xn,n≤anx+bn)=Fn(anx+bn)→Gγ(x)

(5)

成立,這里Gγ(x)的形式為

(6)

(7)

可測(cè)函數(shù)A(t)>0且A(t)→0(t→∞),二階參數(shù)ρ≤0,|A(t)|以指數(shù)ρ正則變化,即|A(t)|∈RVρ,證明見Haan(1996)[21]。

1.2 相關(guān)引理

(8)

1.3 符號(hào)說明

E[(lnY1)α]=Γ(α+1),

2 對(duì)估計(jì)量GLIHE的討論

2.1 GLIHE的提出

(9)

這里Γ(·)是伽馬函數(shù),且

2.2 GLIHE的漸近展式及漸近正態(tài)性

(10)

此外如果存在λ∈R使得

則

若γ+ρ≠0,由引理1有

令

則

進(jìn)一步令

因此(10)式得證,同理可證γ+ρ=0的情形。

2.3 閾值k0的最優(yōu)選取

定理2 假設(shè)A(t)～ctρ,其中ρ<0,c≠0,在二階條件(7)式成立的前提下,令

其中Vα和bα(γ)同之前的定義,則在均方誤差的意義下,有

(2) 當(dāng)γ>-ρ時(shí),

證明令A(yù)(t)～ctρ,c≠0,我們分以下幾種情況進(jìn)行討論:

(1)若γ≤-ρ,由定理1,有

(11)

利用極大似然估計(jì)法得

(2)若γ>-ρ,由A(t)～ctρ,有

(12)

對(duì)D1求導(dǎo)并令其為零,得

令D1前面的系數(shù)分別為a1,a2,a3,上述結(jié)論得證。

證明由定理1有

3 模擬與分析

3.1 調(diào)諧參數(shù)α的選取

(13)

Fig.1 Relation between asymptotic relative efficiency and parameter α(b=2)圖1 相對(duì)漸近效與調(diào)諧參數(shù)α的關(guān)系(b=2)

bγ10.51220.51230.51240.51250.512α0.6450.460.311.350.6550.3450.750.4050.1750.5150.240.090.370.1550.05

3.2 估計(jì)量與的比較

Fig.2 MSE (left) and mean value (right) of (k0,k,α) and (k0,k) for Pareto model with γ=0.5圖2 γ=0.5的Pareto模型下與的均方誤差(左)和均值(右)

Fig.3 MSE (left) and mean value (right) of (k0,k,α) and (k0,k) for Frechet model with γ=1圖3 γ=1的Frechet模型下與的均方誤差(左)和均值(右)

Fig.4 MSE (left) and mean value (right) of (k0,k,α) and (k0,k) for Burr model with γ=2圖4 γ=2的Burr模型下與的均方誤差(左)和均值(右)

表2 兩類估計(jì)量的MSE值

4 結(jié)論