（山西工商學(xué)院 計算機(jī)信息工程學(xué)院，山西 太原 030006）

近幾十年來非線性泛函微分方程的理論研究受到了人們的廣泛關(guān)注，目前這些研究內(nèi)容還處在發(fā)展的階段，但是已經(jīng)獲得了一些重要的研究成果。文獻(xiàn)［1］結(jié)合平均積分法和適當(dāng)?shù)睦杩ㄌ嶙儞Q對帶有阻尼項(xiàng)的三階非線性泛函微分方程的振動性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［2］研究了三階非線性時滯微分方程的振動性；文獻(xiàn)［3］研究了帶有阻尼項(xiàng)的二階泛函微分方程的振動性；文獻(xiàn)［4］研究了帶有阻尼的二階非線性微分方程的振動性；文獻(xiàn)［5］研究了一類三階非線性中立型分布時滯微分方程的振動性，建立了判別該類方程振動性的若干充分條件；文獻(xiàn)［6］研究了三階非線性中立型時滯微分方程的振動性問題，并得到了很多重要的結(jié)果；文獻(xiàn)［7］給出了三階微分程的振動性的一些結(jié)果；文獻(xiàn)［8］研究了三階非線性泛函微分方程振動的比較準(zhǔn)則；文獻(xiàn)［9］對三階微分方程的振動性及漸進(jìn)性做了系統(tǒng)的研究。最近，AKTAS等［10］對下列方程進(jìn)行了研究

方程（1）滿足下列條件：

（a）r1,r2∈C[T0, ∞ ),r1＞0,r2＞0;

（b）q∈C[T0, ∞ ),q(t)≥0且當(dāng)t趨于無窮大時q(t)≠0;

在這些條件下方程（1）對于所有的u≠0和特定的k＞0,有g(shù)(t)≤t,且

本文討論的是下列三階泛函微分方程的振動性

這里T0＞0，并且滿足下列條件：

本文所討論的方程將三階非線性單時滯微分方程的振動性推廣到三階非線性多時滯泛函微分方程的振動性，如果這一主題能夠獲得一些階段性的成果，那么在實(shí)踐中將會有非常大的意義。

1 預(yù)備知識

當(dāng)T0≤s≤t＜∞時，我們定義

引理1假設(shè)

是非振動的，如果y(t)是方程（2）的一個非振動解，那么如果存在一個T1≥T0，對于所有的t≥T1，有

證明不失一般性，設(shè)y(t)是方程（2）的一個最終正解，存在一個T1≥T0，對于所有的t≥T1，總有y(t)＞0,y(σi(t))＞0(σi(t)≥T1)。顯然x(t)=-L1y(t)是二階非齊次微分方程

的解。下證方程（4）的所有解是非振動的。令z(t)是（3）式的一個解，z(t)＞0。假設(shè)x(t)是方程（4）的一個解，如果它有兩個相鄰的零點(diǎn)b，c（b＜c），不妨設(shè)x(t)＞0,t∈(b,c) 則x′(b) ≥ 0,x′(c)≤0，并有

將（3）式乘以x(t)減去（4）式乘以z(t)有：

即

將（7）式從b到c積分得

矛盾，所以對于所有的t≥T1，有y(t)L1y(t)＞0或y(t)L1y(t)＜0。

引理2當(dāng)t→∞時，令

若y(t)是方程（2）的一個非振動解，并且當(dāng)t充分大時，有y(t)L1y(t)≥0，那么存在一個T2≥T1，使得對于所有的t≥T2,有

證明y(t)是方程（2）的一個非振動解，我們不妨設(shè)y(t)＞0，顯然

由條件知

所以L0y(t)L3y(t)≤0。

由L3y(t)≤0知L2y(t)是遞減函數(shù)，不妨設(shè)L2y(t)≤0，那么存在一個正數(shù)M1，使L2y(t)≤-M1，則有r2(t)(r1(t)y′(t))′≤-M1，即

將（10）式兩邊積分得

其中M2為常數(shù)，由（8）式知r1(t)y′(t)≤0，即L1y(t)≤0，矛盾。所以L2y(t)＞0。故有

對于方程（2）的一個非振動解y(t)來說，若其滿足（9）式，我們稱其具有V2性質(zhì)，當(dāng)t→∞時，（8）式成立，再令

易證每個具有V2性質(zhì)的非振動解y()t是無界的。

下面定義

引理3假設(shè)存在一個連續(xù)函數(shù)g(t)∈[T2,+∞),對于所有的t≥T2，有g(shù)*(t)≤g(t)并且lti→m∞g*(t)=∞,如果y(t)是方程（2）的一個具有V2性質(zhì)的解，那么存在一個T3≥T2，使得

證明不失一般性，設(shè)對于充分大的t，y(t)＞0，因?yàn)榍襶(t)具有V2性質(zhì)，那么存在一個T3≥T2，使得t≥T3時，則有

很顯然

又由于L2y(g(t) ) ≥L2y(t)，所以（13）式成立。

引理4令p2(t)是定義在[T3,+∞)上的一個充分的正函數(shù)，設(shè)φ(t)=(r2(t)p2′(t))′r1(t)+p2(t)p(t)。

假設(shè)存在一個T4≥T3，使得當(dāng)t≥T4時，有

如果（11）式成立，并且y(t)是方程（2）的一個非振動解，且滿足對于所有的t≥T4，有y(t)L1y(t)≤0,那么

證明令y(t)是方程（2）的一個非振動解，不失一般性，我們假定y(t)＞0，令假設(shè)λ≠0，那么，由條件（E）知，存在一個正數(shù)M＞ 0，Ly(t)使得1

令方程（2）兩邊同時乘以p2()t，并且從T4到t積分，得到

其中C0是常數(shù)。

由（14）式得

由（15）式得（16）式中L2y(t)必是最終負(fù)的，由（11）式得y(t)是最終負(fù)的，矛盾。

所以λ=0。

2 主要結(jié)論

定理1假設(shè)（8）、（11）、（14）、（15）式均成立，方程（3）是非振動的。令g*(t)如引理3中定義。如果存在一個最終正函數(shù)p1(t) ∈C′[T0,∞]，使得

其中

那么方程（2）的每個解y(t)是振動的或

證明令y(t)是方程（2）的一個非振動解，不失一般性，假定y(t)＞0及y(g(t) ) ＞0,t≥t0≥T0，由引理1得到D1y(t)＞0或L1y(t)＜0,t≥t1≥t0。如果L1y(t) ＞0,t＞t1，由引理2知y(t)具有V2性質(zhì)。

令

所以

由于ω(t)→-∞，所以L1y(t)＜0，令y(t)＞0，由L1y(t)＜0，引用引理4，得到