王瓊, 周軍

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安 710072)

地磁場具有相當(dāng)豐富的參數(shù)信息，其與地球近地空間的任一點(diǎn)都存在對應(yīng)關(guān)系，是導(dǎo)航領(lǐng)域的一種天然坐標(biāo)系。有關(guān)地磁導(dǎo)航的研究應(yīng)用最為廣泛的方式是地磁匹配導(dǎo)航，就是將飛行器導(dǎo)航路徑上的實(shí)測地磁信息與機(jī)載地磁先驗地磁圖進(jìn)行相關(guān)匹配，以獲得飛行器的實(shí)測位置并解算導(dǎo)航信息[1-2]。這種方法可以克服慣導(dǎo)系統(tǒng)中誤差隨時間距離進(jìn)行累積的缺陷，而且其具有自主性，抗干擾性能較強(qiáng)，能夠全天時、全天候和全地域地執(zhí)行自主導(dǎo)航任務(wù)[3]，所以地磁導(dǎo)航已經(jīng)成為目前較重要的一種導(dǎo)航方式。但是先驗地磁圖的繪制由于種種原因，其精確性和完整性難以得到保證。這就對地磁匹配導(dǎo)航這種對磁圖精度依賴性較高的導(dǎo)航方法產(chǎn)生了極大的制約。近年來種種研究表明，地球上許多生物都可以根據(jù)地球磁場信息來進(jìn)行定位和導(dǎo)航[4]。美國、德國、英國等多個國家對生物的地磁導(dǎo)航行為進(jìn)行了實(shí)驗驗證和分析研究，研究表明：鳥類[5]、海龜[6]、鮭魚[7]等生物都能夠利用地磁場信息對自身的航向進(jìn)行校正，從而實(shí)現(xiàn)自主導(dǎo)航[8-9]；但是當(dāng)其受到磁場干擾時，這些生物中的大部分都不能順利地到達(dá)目的地[10]。這些生物的歸巢、回溯等過程往往是長距離導(dǎo)航，顯然它們的腦細(xì)胞中不大可能儲存一副完整的地磁圖，完成長距離導(dǎo)航所利用的僅僅為目的地的地磁信息。

西北工業(yè)大學(xué)的劉明雍等人[11]受生物利用地磁信息進(jìn)行導(dǎo)航行為的啟發(fā)，提出了一種基于時序進(jìn)化策略的搜索方法，使得多參量收斂伴隨并指導(dǎo)導(dǎo)航搜索的進(jìn)行。導(dǎo)航過程中采用“優(yōu)勝劣汰”的進(jìn)化搜索模式，引導(dǎo)載體趨勢性逼近目標(biāo)點(diǎn)，因而導(dǎo)航過程也即航向角的尋優(yōu)過程。但是其隨機(jī)游走的導(dǎo)航搜索方式導(dǎo)致航向角波動較大，路徑往往比較曲折，不能很好地應(yīng)用于飛行器導(dǎo)航。

本文受其啟發(fā)，為探求一種能適用于飛行器的仿生導(dǎo)航方法，在以終點(diǎn)地磁多參量為目標(biāo)值的趨勢仿生導(dǎo)航過程中，結(jié)合當(dāng)前位置的地磁場梯度信息，提出一種不依賴任何先驗地磁數(shù)據(jù)信息的仿生導(dǎo)航算法，利用實(shí)測數(shù)據(jù)平行接近目的地數(shù)據(jù)這一思想進(jìn)行航向角預(yù)測，從而引導(dǎo)飛行器不斷向目標(biāo)點(diǎn)運(yùn)動，最終完成導(dǎo)航。

1 地磁仿生導(dǎo)航策略

地磁場的參數(shù)信息會因地球上任一點(diǎn)的經(jīng)、緯度和高度的不同而變化[12]。因此，地磁參量B可以描述為

B={B1,B2,…,Bn}

(1)

式中,Bi(i=1,2,…,n)為地磁參量元素,即地磁要素,是指表示地球磁場的方向和大小的物理量,由地磁場總強(qiáng)度F、水平強(qiáng)度H、磁偏角D、磁傾角I、磁場3分量X,Y,Z7個物理量組成。

仿生導(dǎo)航的目的是模仿生物快速安全地到達(dá)目的地,這種多目標(biāo)收斂問題的目標(biāo)函數(shù)Q可以描述為[13]

minQ(Bk,BT)=(q1,q2,…,qn),n=1,2,…,7

(2)

式中,Bk為飛行器當(dāng)前位置k的地磁參量,BT為目標(biāo)位置T的地磁參量;qi為第i個地磁參量Bi所對應(yīng)的子目標(biāo)函數(shù),用來表示當(dāng)前點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的差異。仿生導(dǎo)航的任務(wù)就是使Bk中的n個參量在路徑約束下最終收斂到目標(biāo)值BT。當(dāng)目標(biāo)值Q達(dá)到最小,即當(dāng)多個地磁參量的q收斂為0或者達(dá)到最小的時候,即認(rèn)為飛行器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)T。

2 平行接近地磁梯度仿生導(dǎo)航算法

2.1 平行接近導(dǎo)航策略

平行接近的概念是2個飛行器在交會過程中,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動速度在某一確定的坐標(biāo)系為零,也就是2個飛行器之間的視線在接近過程中保持平行,如圖1所示。在此情況下,追蹤器就可以利用自身與目標(biāo)器軌道速度差沿著視線方向接近目標(biāo)[14]。平行接近法實(shí)現(xiàn)起來比較方便,而且彈道比較平直、導(dǎo)彈的過載比較小。

圖1 平行接近法的示意圖

圖2 地磁仿生導(dǎo)航平行接近法示意圖

以往的地磁仿生導(dǎo)航方法是在隨機(jī)游走的模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的,航向角變化豐富,不能很好地應(yīng)用于飛行器導(dǎo)航。本文針對這一問題,設(shè)計了一種適用于飛行器的地磁仿生平行接近導(dǎo)航算法。如圖2所示,在飛行器向目的地接近的過程中,計算求得當(dāng)前位置k的航向角θk,使按照此航向角行進(jìn)的單位步長下,不同地磁參量Bi,k(i=1,2,…,n)能保持相同比值接近各自目標(biāo)點(diǎn)的地磁值Bi,T,即

(Bi,k+1-Bi,k)∝(Bi,T-Bi,k)i=1,2,…,n

(3)

2.2 地磁梯度仿生導(dǎo)航算法

1) 飛行器運(yùn)動方程

在一個二維平面內(nèi),飛行器的運(yùn)動方程可表述為

(4)

式中,(x,y)表示飛行器所在的位置,u為系統(tǒng)輸入,也即與速度v和航向角θ相關(guān)的函數(shù)。

2) 航向角解算

假設(shè)飛行器的速度v是恒定的,那么導(dǎo)航輸入u直接由航向角θ決定,即u=θ。所以地磁仿生導(dǎo)航的過程也就是航向角θ的求取過程,如圖3所示。

圖3 行進(jìn)方向預(yù)測示意圖

圖中,ΔBk為當(dāng)前位置k與前一位置k-1的地磁差值,ΔBk,x,ΔBk,y分別為其x軸、y軸方向的分量。為使不同地磁參量Bi,k能以相同比值Mk接近各自目標(biāo)點(diǎn)的地磁值Bi,T,(3)式可進(jìn)一步寫為

ΔBi,k+1=Mk·ΔBi,T,i=1,…,n

(5)

式中

根據(jù)平行接近導(dǎo)航策略,就是使下一時刻k+1相鄰兩步之間的地磁差值ΔBi,k+1平行接近當(dāng)前點(diǎn)k與目標(biāo)點(diǎn)T之間的差值ΔBi,T,也就是求得航向角θk,使當(dāng)前位置k的不同參量比例系數(shù)相等,即Mi,k=Mj,k,(i≠j)。

(8)

(9)

由于上式中x軸、y軸方向的分量ΔBi,k,x和ΔBi,k,y并不好直接獲得,本文引入地磁場梯度進(jìn)行計算。因為地磁梯度表示的是地磁場在某點(diǎn)范圍的變化量,假設(shè)k點(diǎn)與k+1點(diǎn)之間的距離足夠小,可以認(rèn)為相鄰兩點(diǎn)之間地磁差值ΔBi,k,x與該分量的梯度值gi,k大致相等。證明如下[15]:

定義函數(shù)Bi(x,y)有關(guān)變量x的偏導(dǎo)數(shù)dBi可寫作

dBi(x,Δx,y)

(10)

如果Bi在x處可微,那么B的差值

ΔBi,xBi(x0,Δx,y)-Bi(x0,y)

(11)

滿足

(12)

式中,增量Δx近似滿足Δx→0?？梢缘玫?/p>

ΔBi,x≈dBi(x,y)

(13)

地磁場梯度gi,k是安振昌學(xué)者[16]根據(jù)地磁場的高斯理論提出的

(14)

式中,gi,k,x和gi,k,y分別為地磁場梯度的x軸、y軸方向的分量。有關(guān)地磁場梯度具體的求導(dǎo)過程可以參考文獻(xiàn)[17]。

于是(9)式可以改寫為

(15)

從(15)式可以推導(dǎo)出

(16)

則航向角θk為

θk=arctan

(17)

由于反正切函數(shù)arctan(·)的取值范圍在[0,π]之間,因此在求取航向角θk時,應(yīng)注意角度方向。

3) 評價指標(biāo)

本文根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的收斂性構(gòu)建了評價指標(biāo)體系。這個指標(biāo)可以通過當(dāng)前位置的地磁值Bi,k和目的地的地磁值Bi,T之間的差異來描述。即

qi(k)=|Bi,k-Bi,T|i=1,…,n

(18)

則評價指標(biāo)Q(k)可設(shè)置為

(19)

當(dāng)評估指標(biāo)Q(k)達(dá)到極小值ε時,可以認(rèn)為飛行器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn),導(dǎo)航過程完成。

4) 誤匹配點(diǎn)校正

假定地球磁場是一個理想的磁偶極子體,地球表面同一高度情況下的每個地磁場參量Bi的等值線都應(yīng)該是一個圓。也就是說2個不同的地磁分量的等值線有可能存在2個交點(diǎn)P1和P2,而如果只用這2個地磁分量進(jìn)行導(dǎo)航,在這2個交點(diǎn)處該分量地磁值是完全相同的,如圖4所示,這就會導(dǎo)致誤匹配問題。

圖4 導(dǎo)航誤匹配情況示意圖

但是當(dāng)導(dǎo)航過程中P1和P2不在一個平面內(nèi)的時候,2個地磁分量就可以完成導(dǎo)航任務(wù)。

眾所周知地磁場具有豐富的地磁信息,但已知其中任意獨(dú)立的3個地磁分量就可以推算出全部7個地磁分量。7個地磁分量間的相互推導(dǎo)關(guān)系見文獻(xiàn)[18]。為避免導(dǎo)航過程陷入誤匹配情況,本文引入第3個地磁分量對航向角進(jìn)行輔助判斷。當(dāng)一段連續(xù)時間內(nèi),2個不同地磁分量的評價指標(biāo)qi(k)和qj(k)一直存在收斂趨勢,而第3個地磁分量的值ql(k)(l≠i,j)卻明顯開始增大,說明航向角求取過程陷入誤匹配點(diǎn)導(dǎo)航。此時需重新選取2個地磁分量在當(dāng)前點(diǎn)重新開始導(dǎo)航過程。

本文創(chuàng)新性地利用平行接近方法進(jìn)行地磁仿生導(dǎo)航,并借助地磁場梯度信息,用地磁場趨勢變化輔助航向角的求取。算法流程如圖5所示。

圖5 比例梯度導(dǎo)引算法流程

3 仿 真

為了驗證上述導(dǎo)航算法,本文采用國際地磁模型IGRF12模擬實(shí)際地磁場環(huán)境,并在Matlab中進(jìn)行仿真驗證。

下面首先不考慮誤匹配情況,僅對本文所述平行接近地磁梯度仿生方法進(jìn)行仿真實(shí)驗。仿真過程用經(jīng)緯度表示飛行器的位置信息(x,y),設(shè)定導(dǎo)航速度v的值約為0.1°經(jīng)緯度值的大小。當(dāng)飛行器所在位置與目標(biāo)點(diǎn)的磁測數(shù)據(jù)的差值達(dá)到某一較小范圍時,認(rèn)為到達(dá)目的地,仿真結(jié)束。本次仿真任務(wù)中的評價指標(biāo)設(shè)置為Q(k)<0.01。

1) 不同地磁參量作為導(dǎo)航線索

由于地磁場信息豐富,導(dǎo)航過程僅選取2種地磁參量用于解算導(dǎo)航信息,為說明本文方法的有效性,仿真過程中選取了如下3組不同的地磁分量進(jìn)行實(shí)驗:A組的導(dǎo)航線索為地磁場東向分量Bx、北向分量By;B組的導(dǎo)航線索為地磁場垂直分量Bz、水平分量H;C組的導(dǎo)航線索為磁偏角D、磁傾角I。最終實(shí)驗結(jié)果如圖6所示。

圖6 從(-60,20)到(-50,5)的3組導(dǎo)航運(yùn)動軌跡圖

上圖中導(dǎo)航起始點(diǎn)設(shè)置為(-60,20),目標(biāo)點(diǎn)設(shè)置為(-50,5)。針對同一初始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的指令信息,仿真結(jié)果顯示,在沒有地磁圖先驗參考條件的情況下,采用本文地磁梯度仿生導(dǎo)航算法進(jìn)行了3組實(shí)驗,其導(dǎo)航過程雖然呈現(xiàn)不一致的導(dǎo)航路徑,但最終均能完成導(dǎo)航到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。

2) 相同地磁參量作為導(dǎo)航線索

關(guān)于相同的導(dǎo)航參量,選取不同的飛行路徑進(jìn)行導(dǎo)航實(shí)驗。本次實(shí)驗中地磁參量選取磁偏角D、磁傾角I,從相同的初始位置(圖7中O點(diǎn))開始,選取4個不同方向朝既定的目標(biāo)位置(圖7中A,B,C,D點(diǎn))運(yùn)動。實(shí)驗結(jié)果如圖7所示。

圖7 相同導(dǎo)航參量的導(dǎo)航運(yùn)動軌跡圖

圖7中,起始點(diǎn)O設(shè)置為(0,0)點(diǎn),4個目標(biāo)點(diǎn)的設(shè)置分別為A(20,-10),B(-10,-10),C(-10,20),D(10,15)。飛行器從起始點(diǎn)出發(fā)朝著4個不同的目標(biāo)點(diǎn)飛行,隨著時間的累積,4組導(dǎo)航運(yùn)動根據(jù)地磁場的變化都存在明顯逼近目標(biāo)的趨勢,結(jié)果表明4組實(shí)驗都較好地完成了導(dǎo)航任務(wù)。

3) 與進(jìn)化仿生導(dǎo)航的對比

為了與文獻(xiàn)[11]中所述進(jìn)化地磁仿生導(dǎo)航方法進(jìn)行對比,選取實(shí)驗2中導(dǎo)航運(yùn)動軌跡OA作為參考,并同樣設(shè)置進(jìn)化仿生導(dǎo)航方法的導(dǎo)航參量為磁偏角D、磁傾角I,仿真對比結(jié)果如圖8所示。

圖8 與進(jìn)化仿生導(dǎo)航軌跡對比圖

從圖8可以看出,2種導(dǎo)航方法從同一起點(diǎn)(0,0) 點(diǎn)出發(fā)向目標(biāo)點(diǎn)(10,15)前進(jìn),最終都能完成導(dǎo)航到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。由于進(jìn)化地磁仿生導(dǎo)航方法借鑒了隨機(jī)游走模型的思想,導(dǎo)航路徑雖能逐漸趨于收斂,但是其隨機(jī)搜索的過程導(dǎo)致航向角的變化較為豐富。本文方法的航向角θ隨著導(dǎo)航過程緩慢變化,整體來說變化過程較為平緩,相對更適合應(yīng)用于飛行器進(jìn)行導(dǎo)航任務(wù)。

綜合實(shí)驗1、2、3,當(dāng)導(dǎo)航過程中不存在誤匹配點(diǎn),即當(dāng)P1和P2不在同一導(dǎo)航平面時,可以證明本文所述算法可以模擬無先驗地磁圖情況下的仿生導(dǎo)航過程。而且導(dǎo)航航跡路線比較平滑,基本滿足飛行器導(dǎo)航任務(wù)的需求。

4) 誤匹配點(diǎn)校正

前文對本文所述平行接近地磁梯度仿生方法進(jìn)行了有效的驗證,在絕大多數(shù)情況下,采用本文方法都能很好地完成導(dǎo)航。但是地磁場信息豐富,僅采用2個地磁分量進(jìn)行導(dǎo)航,難免會由于信息量缺失導(dǎo)致誤匹配,如圖9所示。為解決這種狀況,引入第3個地磁分量輔助進(jìn)行導(dǎo)航,從而對匹配情況進(jìn)行校正,如圖10所示。

圖9 導(dǎo)航信息誤匹配軌跡圖

圖10 誤匹配校正導(dǎo)航軌跡圖

圖9中,導(dǎo)航起點(diǎn)為(50,50),目標(biāo)點(diǎn)設(shè)置為(70,40),直線表示的是飛行過程中沒有航向角約束的情況,虛線為存在航向角約束的飛行軌跡。從圖中可以看出,導(dǎo)航過程本應(yīng)從起點(diǎn)出發(fā)往目標(biāo)點(diǎn)行進(jìn),但是由于2個導(dǎo)航參量在誤匹配點(diǎn)(23.3,42.7)的地磁值與目標(biāo)點(diǎn)(70,40)的地磁值相同,均為D=0.072 nT,I=1.036 nT,從而導(dǎo)致導(dǎo)航過程發(fā)生誤匹配情況。

為了解決這種誤匹配狀況,從導(dǎo)航過程起始就引入第3個地磁分量F進(jìn)行輔助導(dǎo)航,如圖10所示。一段時間后對導(dǎo)航過程進(jìn)行判斷,如果發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)誤匹配導(dǎo)航狀況就采用其他地磁分量在當(dāng)前點(diǎn)開始重新導(dǎo)航。同樣,直線為沒有加入飛行器航向角約束情況的飛行軌跡,虛線為存在航向角約束的誤匹配點(diǎn)校正導(dǎo)航飛行軌跡。圖9、圖10的航向角約束均設(shè)置為θlimit<15°。

綜上所述，本文方法可以較好地完成導(dǎo)航任務(wù)，并可以適用于飛行器的導(dǎo)航任務(wù)中。

4 結(jié) 論

本文針對地磁導(dǎo)航受地磁圖等先驗信息限制的問題，受平行接近法的啟發(fā)，結(jié)合地磁場梯度信息提出了一種平行接近地磁梯度仿生導(dǎo)航方法。利用地磁場梯度信息使當(dāng)前位置的地磁參量平行接近目標(biāo)信息，進(jìn)行航向角求解，從而可不依賴任何地磁先驗信息進(jìn)行地磁導(dǎo)航，并通過仿真驗證了該方法的有效性。

在實(shí)驗過程中發(fā)現(xiàn)，本文方法利用地磁梯度信息運(yùn)用比例算法解算導(dǎo)航信息，在磁場信息較為平滑沒有地磁干擾情況下導(dǎo)航效果較好，若磁場曲線比較迂回或者存在地磁干擾將對整個導(dǎo)航過程造成較大的影響，有關(guān)這一問題將成為本文后續(xù)的研究重點(diǎn)。