趙昆, 王生楠

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析的目的在于估算損傷細(xì)節(jié)的裂紋擴(kuò)展壽命,即飛機(jī)結(jié)構(gòu)的損傷在疲勞載荷作用下不斷擴(kuò)展,裂紋從初始裂紋長(zhǎng)度a0擴(kuò)展到允許的終止裂紋長(zhǎng)度ac所需的載荷循環(huán)次數(shù)/飛行時(shí)間。疲勞裂紋擴(kuò)展速率da/dN-ΔK曲線是工程結(jié)構(gòu)件損傷容限分析的重要依據(jù),也是金屬材料的主要力學(xué)性能之一[1-4]。在20世紀(jì)中期,Yokobori以及Bathias、Bailon概括了一系列裂紋擴(kuò)展的擬合模型[5],其基礎(chǔ)為Paris[6]、Forman[7]及Walker[8]公式,并通過(guò)這些公式得到了經(jīng)典的裂紋擴(kuò)展速率曲線。

在裂紋擴(kuò)展分析過(guò)程中,通常將曲線分為3個(gè)區(qū)域。在區(qū)域Ⅰ中,存在應(yīng)力強(qiáng)度因子門(mén)檻值ΔKth,當(dāng)ΔK<ΔKth時(shí)認(rèn)為裂紋是不發(fā)生擴(kuò)展的,而一旦越過(guò)該門(mén)檻值之后,裂紋擴(kuò)展速率會(huì)隨著ΔK的增加而快速的增長(zhǎng)。在區(qū)域Ⅱ中,裂紋擴(kuò)展速率與ΔK呈線性關(guān)系。而在區(qū)域Ⅲ中,裂紋擴(kuò)展速率繼續(xù)上升而逐漸無(wú)限的接近于某條漸近線,即材料的斷裂韌度。對(duì)于傳統(tǒng)的裂紋擴(kuò)展速率分析方法而言,使用Paris公式得到的da/dN-ΔK曲線僅僅能夠很好地描述區(qū)域Ⅱ內(nèi)裂紋的擴(kuò)展行為,通過(guò)Forman公式所獲得的裂紋擴(kuò)展速率擬合曲線也僅僅增加了對(duì)區(qū)域Ⅲ的描述[9]。而對(duì)裂紋擴(kuò)展分析而言,希望獲得的是能夠完整描述裂紋擴(kuò)展行為的擬合曲線,而并非其中的某一部分,這就是本文提出新模型的初衷。

針對(duì)現(xiàn)有的da/dN-ΔK曲線不能有效地表示裂紋在整個(gè)擴(kuò)展期內(nèi)擴(kuò)展行為的問(wèn)題,本文依據(jù)Weiss缺口模型,在合理的范圍內(nèi)對(duì)已有的裂紋擴(kuò)展速率模型提出了新的假設(shè),從而得到一個(gè)新的裂紋擴(kuò)展速率模型,有效地描述了裂紋在低擴(kuò)展速率及高擴(kuò)展速率區(qū)域的擴(kuò)展行為,并利用已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明:該模型能夠有效地表示裂紋在初始階段及臨近破壞階段的裂紋擴(kuò)展行為,為裂紋的擴(kuò)展提供了一個(gè)完整的分析擬合曲線,為之后的裂紋擴(kuò)展分析打下了良好的基礎(chǔ)。

1 疲勞裂紋擴(kuò)展速率模型

疲勞裂紋擴(kuò)展從微觀的角度來(lái)看,可以認(rèn)為是裂紋尖端的疲勞單元(fatigue elements)受到剪應(yīng)力或拉應(yīng)力作用而發(fā)生了一系列的斷裂行為而導(dǎo)致的,如圖1所示。Weiss認(rèn)為,在循環(huán)載荷的每一次作用下,裂紋發(fā)生擴(kuò)展的距離與最大法向應(yīng)力σmax超過(guò)疲勞單元的臨界斷裂應(yīng)力σff的有效范圍值是存在一定聯(lián)系的,并據(jù)此提出了缺口根部應(yīng)力分布的彈性解模型[10],即

(1)

式中,σy為缺口根部應(yīng)力,Kt為理論彈性應(yīng)力集中系數(shù),ρ為缺口根部的半徑,σN為名義應(yīng)力。

圖1 裂尖疲勞單元及裂尖應(yīng)力場(chǎng)分布

考慮應(yīng)力比R=0的情況,從微觀角度來(lái)看,裂紋的擴(kuò)展行為經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段:

1) 當(dāng)外載荷為零時(shí),裂紋保持原有的閉合狀態(tài),裂尖半徑可以忽略不計(jì);

2) 當(dāng)外載荷增加至某個(gè)值時(shí),應(yīng)力強(qiáng)度因子K達(dá)到門(mén)檻值Kth,此時(shí)裂紋張開(kāi)且裂尖發(fā)生鈍化行為,但此時(shí)裂紋并沒(méi)有發(fā)生擴(kuò)展;

3) 載荷繼續(xù)增加,裂尖前移并進(jìn)一步發(fā)生鈍化;

4) 當(dāng)外載荷增加到最大值時(shí),裂尖前移至距離原裂紋尖端位置ΔL處,此時(shí)裂紋尖端的鈍化形態(tài)也最為明顯;

5) 卸載過(guò)程與加載過(guò)程相反,直至最后外載恢復(fù)至零,此時(shí)裂紋完全閉合。但從宏觀上來(lái)看,裂紋發(fā)生了擴(kuò)展且擴(kuò)展的距離為ΔL。

在上述1)～4)的裂紋擴(kuò)展過(guò)程中,裂尖發(fā)生了鈍化行為,因此認(rèn)為裂尖處的曲率半徑ρ′是真實(shí)存在的,且有ρ′≠0。此時(shí)做進(jìn)一步的假設(shè),將裂尖鈍化時(shí)的曲率半徑ρ′等效為缺口根部半徑ρ?；诖思僭O(shè),可以將擴(kuò)展中的某條裂紋近似等效為一個(gè)缺口來(lái)進(jìn)行分析。

Inglis經(jīng)過(guò)驗(yàn)證得到橢圓形中心孔長(zhǎng)軸端的彈性應(yīng)力集中系數(shù)[14],即

例如求函數(shù)y=（sinx+2）/（cosx-2）的值域。很多學(xué)生拿到題目的第一反應(yīng)是將函數(shù)變形化解為sin（x+θ）的形式，然后再根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行計(jì)算。但教師在習(xí)題計(jì)算過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，繪制單位圓，在單位圓上找出定點(diǎn)（2，-2），將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）在限定條件下的斜率問(wèn)題。

(2)

(3)

將上述關(guān)系代入(2)式可以得到

(4)

考慮到裂紋尺寸與假設(shè)變量ρ*存在數(shù)量級(jí)上的差距,即2a?ρ*,則可以進(jìn)一步得到如下關(guān)系

(5)

式中,2a為穿透裂紋的長(zhǎng)度。根據(jù)Neuber法則[12]及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,即

(6)

σ=kεη

(7)

式中,Kσ,Kε分別為真實(shí)應(yīng)力、應(yīng)變集中系數(shù),η為應(yīng)變硬化指數(shù)。

進(jìn)一步對(duì)(6)～(7)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可以得到Kσ與Kt之間的關(guān)系,即

(8)

由于Weiss提出的缺口模型僅能代表彈性情況下的應(yīng)力場(chǎng)分布,而無(wú)法代表裂尖前緣塑性區(qū)的應(yīng)力分布,因此進(jìn)一步假設(shè),用真實(shí)應(yīng)力集中系數(shù)代替(1)式中的理論應(yīng)力集中系數(shù),并對(duì)所得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)一步進(jìn)行處理,得到缺口根部的真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)分布如下所示

(9)

(10)

依據(jù)Weiss提出的理論,裂紋尖端受到一次循環(huán)載荷作用時(shí)擴(kuò)展的距離x為在當(dāng)前應(yīng)力場(chǎng)分布下σy取σff時(shí)所對(duì)應(yīng)的x值,即裂紋擴(kuò)展速率可以表示為

(11)

(11)式即為本文提出的裂紋擴(kuò)展速率分析的新模型,該模型僅與名義應(yīng)力和臨界斷裂應(yīng)力相關(guān),而與應(yīng)力強(qiáng)度因子無(wú)關(guān)。

對(duì)(11)式進(jìn)行簡(jiǎn)化,兩邊取對(duì)數(shù),則有

(12)

在圖1所示的區(qū)域Ⅱ中,由于裂紋擴(kuò)展速率較快,有ρ*?Δa,因此ρ*/2a可以忽略不計(jì)。在本文的假設(shè)中,認(rèn)為η和σff均為常數(shù),且η的取值可以通過(guò)相關(guān)的手冊(cè)查得。將(12)式所表示的曲線置于雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中,則我們可以得到一條關(guān)于d(lna)/dN-σN的直線,斜率為(η+1)/η。根據(jù)所使用材料已知的應(yīng)變硬化系數(shù)η,帶入(12)式中進(jìn)行計(jì)算便可獲得σff的值。

在裂紋擴(kuò)展速率曲線的區(qū)域Ⅰ內(nèi),我們認(rèn)為裂紋擴(kuò)展速率曲線與區(qū)域Ⅱ中直線段的延長(zhǎng)線之間的偏離量正是由于ρ*/2a的存在所導(dǎo)致的。因此,沿X軸方向取3個(gè)點(diǎn)在實(shí)際偏移曲線上所得到的Y值與在區(qū)域Ⅱ中直線段的延伸線上獲得的Y值之間的差值,分別記為d1,d2,d3,則存在以下關(guān)系

(13)

進(jìn)而利用(12)式即可得到ρ*的值。

2 算 例

本節(jié)對(duì)該裂紋擴(kuò)展速率模型進(jìn)行驗(yàn)證。本節(jié)選取了Al2024-T351、Al7075-T6 2種鋁合金板材(厚度為3.5 mm,寬度為100 mm)的相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為原始分析數(shù)據(jù),對(duì)模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)各個(gè)試樣的原始數(shù)據(jù)利用(12)式、(13)式計(jì)算獲得相應(yīng)參數(shù)的取值見(jiàn)表1,表中的來(lái)源均指相應(yīng)參考文獻(xiàn)編號(hào)。

表1 材料的相關(guān)參數(shù)

在應(yīng)力比R=0.1的情況下,將上述數(shù)據(jù)分別帶入(12)式中。在MATLAB中采用遞增多項(xiàng)式函數(shù)[12]分別對(duì)2種不同材料參數(shù)所獲得的公式進(jìn)行數(shù)值擬合,分別如圖2中a)、b)所示。圖3為2種材料使用經(jīng)典裂紋擴(kuò)展速率模型得到的裂紋擴(kuò)展速率曲線。

圖2 Al2024-T351和Al7075-T6裂紋擴(kuò)展速率新模型曲線圖

圖3 Al2024-T351和Al7075-T6傳統(tǒng)裂紋擴(kuò)展速率曲線圖

對(duì)比圖2和圖3可以得到以下結(jié)論:本文提出的新模型擬合得到的裂紋擴(kuò)展速率曲線與使用傳統(tǒng)模型得到的曲線走勢(shì)是大致相同的,說(shuō)明本文的新模型符合裂紋擴(kuò)展的基本規(guī)律。

與此同時(shí),相對(duì)于傳統(tǒng)模型得到的裂紋擴(kuò)展速率曲線而言,新模型表示的裂紋擴(kuò)展行為從起始的擴(kuò)展區(qū)域Ⅰ向區(qū)域Ⅱ過(guò)渡時(shí)顯得更為平滑,避免了曲線中的轉(zhuǎn)折點(diǎn),對(duì)裂紋擴(kuò)展行為的描述更為準(zhǔn)確。因此本文提出的新裂紋擴(kuò)展速率模型是可行的,準(zhǔn)確性更高。

最后,新模型曲線對(duì)裂紋擴(kuò)展的3個(gè)階段能夠更清晰地進(jìn)行展示。在裂紋擴(kuò)展高速率區(qū)域,新模型曲線逐漸接近于漸近線,而圖3中無(wú)法對(duì)高速率區(qū)域的裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行有效的描述。因此本文提出的新裂紋擴(kuò)展速率模型是可行的,準(zhǔn)確性更高。

3 結(jié) 論

本文基于Weiss提出的缺口應(yīng)力分布模型,提出了新的假設(shè)并引入了新的裂尖半徑參數(shù)ρ*,得到新的裂紋擴(kuò)展速率模型,并通過(guò)試件Al2024-T351及Al7075-T6已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù),驗(yàn)證了該模型的有效性。本文提出的新模型相較于傳統(tǒng)模型有:

1) 相較于使用Paris或Walker公式擬合得到的da/dN-ΔK曲線,新模型所得到的裂紋擴(kuò)展曲線更貼切于真實(shí)的裂紋擴(kuò)展情況,避免了曲線中的折點(diǎn),能夠更好地對(duì)裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行描述。

2) 傳統(tǒng)模型無(wú)法很好地表示裂紋在擴(kuò)展高速率區(qū)的擴(kuò)展行為,而新模型在裂紋擴(kuò)展高速率區(qū)的走勢(shì)接近于某條漸近線,即臨界破壞應(yīng)力,這點(diǎn)與傳統(tǒng)裂紋擴(kuò)展速率曲線趨勢(shì)一致。

3) 對(duì)于低應(yīng)力比的情況,傳統(tǒng)的裂紋擴(kuò)展模型均具有較好的準(zhǔn)確度,但隨著應(yīng)力的增大,傳統(tǒng)模型的研究結(jié)果會(huì)發(fā)生較大失真,這不僅僅是由于模型本身的因素,模型中的參數(shù)數(shù)量也給模擬和計(jì)算帶來(lái)了困擾。而新模型中涉及的3個(gè)參數(shù)均有自身的物理意義,可以通過(guò)模型本身的分析及數(shù)據(jù)手冊(cè)獲得,取值時(shí)波動(dòng)性不大,并且在擬合過(guò)程中采用了高次數(shù)遞增多項(xiàng)式函數(shù),其模擬結(jié)果偏保守,保證了模型的有效性。

在新模型的假設(shè)中,我們認(rèn)為試件尺寸遠(yuǎn)大于裂紋長(zhǎng)度,此時(shí)試件被認(rèn)為是一個(gè)無(wú)限大板。但在實(shí)際的工程應(yīng)用中,必須考慮裂紋長(zhǎng)度與試件尺寸的關(guān)系。為此在以后的研究中需要對(duì)本文提出的新模型考慮引入一個(gè)無(wú)量綱的修正系數(shù)f(a/w),以便有效反映裂紋長(zhǎng)度與試件尺寸之間的關(guān)系,并且考慮到不同類(lèi)型的裂紋,例如單邊裂紋、雙邊裂紋及中心裂紋等,該修正系數(shù)應(yīng)當(dāng)有不同的表達(dá)形式。其次,本文所考慮的裂紋為中央穿透裂紋,沒(méi)有對(duì)其他類(lèi)型的裂紋進(jìn)行更深入研究,具有一定的局限性。因此,仍需要對(duì)新模型進(jìn)行修正和完善,使其應(yīng)用范圍更為廣泛。