余 沖，郭 璐

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 北京 100049) (2017年4月12日收稿； 2017年5月5日收修改稿)

時(shí)間相關(guān)的Hartree-Fock(TDHF)理論最早由狄拉克于1930年提出[1]，它是基于自洽平均場(chǎng)近似的微觀量子多體理論,該理論成功地用于研究熔合反應(yīng)[2-4]、深度非彈散射[5-8]、巨共振[9-10]、準(zhǔn)裂變[11]等多種核物理現(xiàn)象。

近年來(lái)，張量力效應(yīng)成為原子核物理領(lǐng)域的一個(gè)熱門研究課題。張量力效應(yīng)在原子核結(jié)構(gòu)性質(zhì)的描述方面起著非常重要的作用[12]，從平均場(chǎng)理論相關(guān)研究可以知道，張量力對(duì)自旋-軌道劈裂[13-15]以及豐中子核中可能出現(xiàn)的新幻數(shù)[16]有很大的影響，Otsuka等[17-19]發(fā)現(xiàn)在奇異核殼層演化過(guò)程中，張量力能夠很好地解釋核子單粒子能級(jí)的演化。

上面這些都是有關(guān)張量力在原子核結(jié)構(gòu)與性質(zhì)方面的研究，很少有研究涉及到張量力對(duì)重離子碰撞的影響，大多數(shù)理論模型在重離子碰撞中都忽略張量力的貢獻(xiàn)。Stevenson等[20]對(duì)張量力在16O+16O反應(yīng)的研究中，發(fā)現(xiàn)張量力對(duì)熔合閾值和Skyrme能量密度泛函中各項(xiàng)能量貢獻(xiàn)的影響是不可忽略的。Dai等[21]研究張量力對(duì)16O+16O體系能量耗散和熔合截面的影響，發(fā)現(xiàn)能量耗散的大小依賴于Skyrme參數(shù)的選擇；另外還發(fā)現(xiàn)未包含張量力的SLy5參數(shù)計(jì)算的16O+16O熔合截面比實(shí)驗(yàn)值大將近25%，而包含張量力的T11參數(shù)計(jì)算得到的16O+16O熔合截面與實(shí)驗(yàn)值符合得很好。

但是張量力在其他反應(yīng)體系中的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)還不是很清楚，本文采用包含有完整張量力項(xiàng)的Skyrme有效作用，和THFD理論研究16O+40Ca體系中張量力對(duì)庫(kù)侖位壘、高能熔合閾值以及Skyrme能量密度泛函中各項(xiàng)能量貢獻(xiàn)的影響。

1 理論方法

Hartree-Fock理論是一種平均場(chǎng)近似理論，在平均場(chǎng)近似下，剩余相互作用被略去，每一個(gè)粒子在平均場(chǎng)中做獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。Hartree-Fock方程可以通過(guò)變分法得到

(1)

式中：ψλ是單粒子態(tài)λ的能量；是平均場(chǎng)哈密頓量算符。TDHF理論的作用量為

(2)

式中：H為多體哈密頓量算符；ψ(r,t)為多體波函數(shù)，在平均場(chǎng)近似下，可以表達(dá)為單粒子波函數(shù)φλ(r,t)的Slater行列式。通過(guò)對(duì)作用量S求變分δS/δψ*=0，可以得到TDHF方程

(3)

目前大多數(shù)Hartree-Fock和TDHF計(jì)算，采用Skyrme有效相互作用[22]，Skyrme相互作用最早是由Skyrme于20世紀(jì)50年代提出[22-25]，之后Skyrme給出含參數(shù)的Skyrme有效作用勢(shì)，現(xiàn)在的Skyrme有效作用勢(shì)已經(jīng)有幾十套常用的參數(shù)，例如SkM*[26],SLy4d[27], SLy5[28], SLy5t[28]和TIJ[29]等。完整的Skyrme相互作用勢(shì)為

iW0(σ1+σ2)·k′×δ(r1-r2)k+

δ(r1-r2)+δ(r1-r2)[3(σ1·k)(σ2·k)-

(σ1·σ2)k2]}+to[3(σ1·k′)δ(r1-r2)

(σ2·k)-(σ1·σ2)k′δ(r1-r2)k]

(4)

式中：ti,xj(i，j=0,1,2,3),to,te和W0是Skyrme力的系數(shù)，其中k和k′定義為

對(duì)應(yīng)的Skyrme能量密度泛函為

(5)

式中:ρ,τ,j,s,T,J,F為Skyrme力的各個(gè)密度，相關(guān)定義見(jiàn)文獻(xiàn)[20]，各項(xiàng)前面的系數(shù)與ti,xj(i,j=0,1,2,3),to,te和W0的關(guān)系見(jiàn)文獻(xiàn)[27]。

本文采用不包含張量力的SLy5[28]和包含張量力的SLy5t[28], T22, T26, T44[29]總共5組Skyrme參數(shù)，研究16O+40Ca反應(yīng)中的張量力效應(yīng)，TDHF方程的計(jì)算是在沒(méi)有任何對(duì)稱性的三維數(shù)值格點(diǎn)上進(jìn)行，格點(diǎn)的間隔是1.0 fm。首先由Hartree-Fock方程求解16O和40Ca的基態(tài)波函數(shù)，所用數(shù)值盒子大小為24 fm×24 fm×24 fm；在得到16O和40Ca的基態(tài)波函數(shù)之后，采用TDHF方程做16O+40Ca的動(dòng)力學(xué)計(jì)算，動(dòng)力學(xué)計(jì)算所用數(shù)值盒子大小為42 fm×24 fm×36 fm, 時(shí)間演化的步長(zhǎng)為Δt=0.2 fm/c, 初始時(shí)刻彈靶核相對(duì)距離為28 fm。

2 張量力對(duì)熔合窗口的影響

文獻(xiàn)[20]研究張量力對(duì)16O+16O反應(yīng)熔合閾值的影響，但是沒(méi)有討論張量力對(duì)動(dòng)力學(xué)反應(yīng)中熔合窗口的影響。由于熔合窗口的大小取決于高能熔合閾值與低能熔合閾值的差值，而對(duì)于中輕核反應(yīng)體系，低能熔合閾值等于庫(kù)侖位壘的高度。

2.1 庫(kù)侖位壘

首先采用凍結(jié)密度近似的方法[30]研究庫(kù)侖位壘，該方法的主要思想是將動(dòng)力學(xué)過(guò)程彈靶核的密度凍結(jié)在基態(tài)，在彈靶核相距為R時(shí)，由體系的總能量減去彈靶核各自的基態(tài)能量，從而得到兩核之間的凍結(jié)近似勢(shì)[31]，其計(jì)算公式為

VFD(R)=E[ρP+T](R)-E[ρT]-E[ρP]，

(6)

式中：ρP+T=ρP+ρT是彈靶核整個(gè)體系的總密度；E為體系Skyrme能量密度泛函，具體形式見(jiàn)式(5)。

利用SLy5, SLy5t, T22, T26, T44這5組Skyrme參數(shù)，采用凍結(jié)密度近似方法，計(jì)算16O+40Ca體系彈靶核之間庫(kù)侖位壘的高度與位置，計(jì)算精度為0.01 fm，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1和表1。

圖1 相互作用勢(shì)V(R)Fig.1 Interaction potential V(R)

SLy5SLy5tT22T26T44實(shí)驗(yàn)值[32]V/MeV23.3623.3623.3423.3323.2123.06R/fm9.209.209.219.219.259.21

從表1的結(jié)果可以看出，SLy5和SLy5t參數(shù)得出的庫(kù)侖位壘高度和位置相同，這是由于張量力對(duì)自旋飽和核16O與40Ca的基態(tài)性質(zhì)沒(méi)有影響；而T22，T26，T44參數(shù)的庫(kù)侖位壘高度和位置計(jì)算結(jié)果存在很小的差異，該差異是由于這3套Skyrme參數(shù)非張量力部分耦合常數(shù)的不同而引起的。圖1具體展示5組參數(shù)的相互作用勢(shì)V與兩核相對(duì)距離R關(guān)系的曲線。

綜上可知，張量力對(duì)自旋飽和16O+40Ca體系的庫(kù)侖位壘的位置與高度沒(méi)有影響。

2.2 高能熔合閾值

采用SLy5, SLy5t, T22, T26, T44這5組參數(shù)系統(tǒng)研究16O+40Ca體系的高能熔合閾值。 高能熔合閾值的定義是：在對(duì)心碰撞(碰撞參數(shù)等于零)情況下，使得體系能夠熔合時(shí)的最大質(zhì)心系能量。 在我們的研究中計(jì)算精度為1 MeV，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 高能熔合閾值Table 2 The upper fusion threshold energy

由表2可知SLy5t和T26參數(shù)使得高能熔合閾值顯著升高；而T22和T44參數(shù)使得高能熔合閾值降低。由文獻(xiàn)[29]可知T26和T44參數(shù)的同位旋標(biāo)量耦合常數(shù)是相同的，都等于120 MeV·fm5，同位旋矢量耦合常數(shù)分別為120和0 MeV·fm5，對(duì)比表2中T26和T44的高能熔合閾值，可以得到同位旋矢量張量項(xiàng)以及平均場(chǎng)重排使高能熔合閾值升高；T22和T44參數(shù)的同位旋矢量耦合常數(shù)是相同的，都等于0 MeV·fm5，同位旋標(biāo)量耦合常數(shù)分別為0和120 MeV·fm5，對(duì)比表2中T22和T44的高能熔合閾值，可以得到同位旋標(biāo)量張量項(xiàng)以及平均場(chǎng)重排使高能熔合閾值升高。由此可知張量力對(duì)高能熔合閾值有顯著影響。在文獻(xiàn)[22]中，發(fā)現(xiàn)16O+16O體系中張量力對(duì)高能熔合閾值的影響也不可忽略。

綜合張量力對(duì)低能熔合閾值和高能熔合閾值的影響，在16O+40Ca體系中，張量力主要通過(guò)對(duì)高能熔合閾值的影響，從而使得熔合窗口的大小發(fā)生變化。其中SLy5t和T26參數(shù)使得熔合窗口變大，而T22和T44參數(shù)使得熔合窗口變小。

3 張量力對(duì)Skyrme能量密度泛函中各項(xiàng)能量貢獻(xiàn)的影響

為研究張量力對(duì)Skyrme能量密度泛函中各項(xiàng)能量貢獻(xiàn)的影響，選取SLy5和SLy5t參數(shù)，質(zhì)心系下的體系能量Ec.m.=170 MeV，碰撞參數(shù)b=0 fm，對(duì)16O+40Ca體系Skyrme能量密度泛函中各項(xiàng)能量的貢獻(xiàn)進(jìn)行研究，奇時(shí)間項(xiàng)部分的能量貢獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2。對(duì)比表2中16O+40Ca體系SLy5和SLy5t參數(shù)下高能熔合閾值可知，在Ec.m.=170 MeV的對(duì)心碰撞，發(fā)生的是深度非彈碰撞。由圖2發(fā)現(xiàn)，在動(dòng)力學(xué)的初始時(shí)刻，奇時(shí)間各項(xiàng)的能量貢獻(xiàn)都為零，因?yàn)槌跏紩r(shí)刻體現(xiàn)的彈靶核的基態(tài)性質(zhì)，奇時(shí)間項(xiàng)對(duì)偶偶核的基態(tài)沒(méi)有影響，隨著彈核和靶核逐漸靠近，各項(xiàng)能能量貢獻(xiàn)逐漸出現(xiàn)差異，因?yàn)閟2項(xiàng)僅出現(xiàn)在中心力場(chǎng)中，張量力部分沒(méi)有s2項(xiàng)，所以在SLy5和SLy5t參數(shù)下，s2項(xiàng)的能量貢獻(xiàn)差異來(lái)自于平均場(chǎng)的重排；由于SLy5參數(shù)中不包含張量力部分的s.F項(xiàng)，因此整個(gè)動(dòng)力學(xué)過(guò)程中，SLy5參數(shù)計(jì)算的s.F項(xiàng)能量貢獻(xiàn)為零；而s.T項(xiàng)既有中心力場(chǎng)部分，又有張量力部分，從s.T項(xiàng)的能量貢獻(xiàn)知道，張量力抵消了一部分來(lái)自中心力場(chǎng)s.T項(xiàng)的能量貢獻(xiàn)。

圖2 奇時(shí)間項(xiàng)的能量貢獻(xiàn)Fig. 2 Energy contribution of time-odd terms

圖3 J2項(xiàng)的能量貢獻(xiàn)Fig.3 Total energy contribution of J2 term

以上研究是在16O+40Ca體系發(fā)生深度非彈碰撞下的結(jié)果，我們還研究16O+40Ca體系發(fā)生熔合時(shí)的情況，當(dāng)質(zhì)心系能量Ec.m.=46.5 MeV, 碰撞參數(shù)b=5.0 fm時(shí)會(huì)發(fā)生熔合，在該反應(yīng)中，不同Skyrme參數(shù)下J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)見(jiàn)圖4。

圖4 不同力J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)Fig.4 Total energy contribution of J2 term for different forces

在圖4中，動(dòng)力學(xué)的初始時(shí)刻，所有參數(shù)的J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)都近似為零，當(dāng)進(jìn)入碰撞階段，J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)都不為零，而且只有SLy5t的J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)是負(fù)值，其他4組參數(shù)的J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)都是正值。由文獻(xiàn)[29]可知，T26和T44參數(shù)的同位旋標(biāo)量耦合常數(shù)是相同的，都等于120 MeV·fm5，同位旋矢量耦合常數(shù)分別為120和0 MeV·fm5，對(duì)比圖4中T26 和T44的J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)，可以得到同位旋矢量張量項(xiàng)以及平均場(chǎng)重排使J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)減??；T22和T44參數(shù)的同位旋矢量耦合常數(shù)是相同的，都等于0 MeV· fm5，同位旋標(biāo)量耦合常數(shù)分別為0和120 MeV·fm5，對(duì)比圖4中T22和T44的J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)，可以得到同位旋標(biāo)量張量項(xiàng)以及平均場(chǎng)重排使J2項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)增大。而且包含張量力的4組參數(shù)的能量貢獻(xiàn)大小與不包含張量力SLy5參數(shù)的能量貢獻(xiàn)大小都不同。以上這些結(jié)果表明在重離子碰撞過(guò)程中，張量力對(duì)Skyrme能量密度泛函能量貢獻(xiàn)的影響是不可忽略的。

4 小結(jié)與展望

通過(guò)以上張量力對(duì)16O+40Ca體系庫(kù)侖位壘、高能熔合閾值以及Skyrme能量密度泛函能量貢獻(xiàn)影響的研究發(fā)現(xiàn)，張量力對(duì)自旋飽和體系16O+40Ca的庫(kù)侖位壘沒(méi)有影響；張量力對(duì)高能熔合閾值影響比較顯著，同位旋標(biāo)量、同位旋矢量張量項(xiàng)和平均場(chǎng)重排使得高能熔合閾值升高，其中SLy5t和T26參數(shù)使得熔合窗口變大，而T22和T44參數(shù)使得熔合窗口變??；在重離子碰撞中，張量力使Skyrme能量密度泛函中的各項(xiàng)能量貢獻(xiàn)發(fā)生變化，同位旋標(biāo)量張量項(xiàng)以及平均場(chǎng)重排使自旋流贗張量項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)增大, 同位旋矢量張量項(xiàng)以及平均場(chǎng)重排使自旋流贗張量項(xiàng)的總能量貢獻(xiàn)減小。綜上所述，張量力對(duì)16O+40Ca體系重離子碰撞過(guò)程的影響是不可忽略的。

有關(guān)張量力在核反應(yīng)的效應(yīng)，未來(lái)還有很多值得繼續(xù)去研究的課題，比如：張量力對(duì)熔合截面和動(dòng)力學(xué)庫(kù)侖位壘的影響, 張量力對(duì)核反應(yīng)中動(dòng)力學(xué)耗散影響等等。

本文中的計(jì)算是在國(guó)家超級(jí)計(jì)算天津中心計(jì)算資源的支持下完成的。