翟 聰，劉偉銘，黃 玲

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院交通與土木建筑學(xué)院，廣東佛山528000；2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州510640)

0 引言

近年來(lái)，隨著交通保有量的日益增多，交通擁擠現(xiàn)象愈發(fā)嚴(yán)重，如何有效的緩解交通擁堵問(wèn)題已經(jīng)吸引了很多學(xué)者研究.基于研究方法的不同很多交通模型[1-8]被給出，如跟馳模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型、水動(dòng)力模型等.1998年，日本學(xué)者Natagani從宏觀模型出發(fā)首次提出了格子流體動(dòng)力學(xué)模型[9]，該模型一經(jīng)提出，日益成為了研究的重點(diǎn)，很多學(xué)者基于上述的格子模型進(jìn)行改進(jìn)，很多改進(jìn)的新格子模型被給出，如2012年，G.H.Peng等基于考慮駕駛員的預(yù)測(cè)時(shí)間，提出了一類考慮有預(yù)測(cè)效應(yīng)的新格子模型[10]，通過(guò)隨后的理論分析和仿真算例驗(yàn)證了預(yù)測(cè)時(shí)間能夠有效的緩解交通擁堵，提升交通流的穩(wěn)定性；基于考慮流量差信息的最優(yōu)估計(jì)，Shu-hong Yang等對(duì)原有的格子模型進(jìn)行了改進(jìn)[11]，同時(shí)驗(yàn)證了模型的新增項(xiàng)對(duì)于緩解交通擁堵確實(shí)是有效的；Tian C.提出了一類帶有連續(xù)格點(diǎn)最優(yōu)流量差信息的新格子流體動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)還驗(yàn)證了考慮連續(xù)格點(diǎn)最優(yōu)流量差信息能夠有效地緩解交通擁堵[12]；為了分析連續(xù)格點(diǎn)之間密度差對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響，Jun-fang Tian基于以往的分析提出了一類新的格子流體動(dòng)力學(xué)模型[13]；Hong-Xia Ge[13]為了增強(qiáng)文獻(xiàn)[9]中所提出的的格子流體動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性，從控制論方法出發(fā)，設(shè)計(jì)了一類新的滯后反饋控制器；為了分析連續(xù)格點(diǎn)的密度差信息對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響，Junfang Tian[14]提出了一類新的格子流體動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)還驗(yàn)證了考慮密度差信息對(duì)于緩解交通擁擠是有效的.而其余關(guān)于格點(diǎn)模型的相關(guān)研究還可參閱文獻(xiàn)[15-18].

從上述的分析我們可知，近年來(lái)，關(guān)于格子流體動(dòng)力學(xué)模型的研究已經(jīng)分析的較全面，然而以往的分析中仍然存在著一些局限性，如文獻(xiàn)[19]中雖然分析了最優(yōu)流量對(duì)交通流的影響，但是上述的論述中主要基于前后車的最優(yōu)流量差的影響，一般的，在現(xiàn)實(shí)情形下，最優(yōu)流量信息可以看成是駕駛員基于在當(dāng)前道路狀況所估計(jì)得到的最優(yōu)速度，而駕駛員基于所“估計(jì)”得到的道路最優(yōu)速度與車輛的當(dāng)前速度的差值來(lái)對(duì)車輛的加速度進(jìn)行調(diào)控，在上述的分析中并沒(méi)有考慮到駕駛員記憶時(shí)間的影響；而文獻(xiàn)[20]中指出駕駛員在行車過(guò)程中受到記憶時(shí)間的制約.為此，本文在傳統(tǒng)的格子模型基礎(chǔ)上，引入最優(yōu)流量差信息，提出了一類新的格子流體動(dòng)力學(xué)模型；基于線性穩(wěn)定性分析和非線性分析方法，獲得了新模型的穩(wěn)定性條件和關(guān)于該模型的mKdV方程，通過(guò)求解該mKdV方程所得到的扭結(jié)—反扭結(jié)孤立波可用于臨界密度附近交通擁堵的傳播過(guò)程；最后，通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了上述理論分析所得到主要結(jié)論的正確性.

1 模型的構(gòu)建

1998年，日本學(xué)者Nagatani[9]首次提出了格子流體動(dòng)力學(xué)模型，該模型可表示為

式中：ρ0表示平均密度；ρj,vj分別表示格點(diǎn)j在t時(shí)刻的瞬時(shí)密度和瞬時(shí)速度；a表示駕駛員的靈敏度值；表示最優(yōu)速度函數(shù)，由變量ρj+1唯一決定，其表達(dá)式為

式中：ρc表示安全密度；vmax表示道路上的最大行駛速度.

式(1)表示連續(xù)方程，式(2)表示演化方程.然而該格子模型[10-20]中，并沒(méi)有考慮駕駛員受記憶時(shí)間的約束，而文獻(xiàn)[3]中提出：駕駛員的記憶時(shí)間在交通流的研究中是不可忽視的，當(dāng)駕駛員感應(yīng)到當(dāng)前道路上最優(yōu)流量信息時(shí)，往往會(huì)通過(guò)分析在記憶時(shí)間范圍內(nèi)該最優(yōu)流量信息的變化幅度來(lái)調(diào)整下一步長(zhǎng)下車輛的加速度值.為了更加全面的分析上述問(wèn)題，本文在式(2)中新增記憶最優(yōu)流量差，提出了一類新的演化方程，即

式中：α表示記憶時(shí)間步長(zhǎng)的權(quán)重；k表示新增項(xiàng)(記憶最優(yōu)流量差ρ0V(ρj+1)-ρ0V(ρj+1(t-ατ)))的權(quán)重.當(dāng)α=0時(shí)，式(4)可轉(zhuǎn)化為式(2).

為了簡(jiǎn)化分析步驟，我們對(duì)變量ρj+1(t-ατ)進(jìn)行泰勒展開，同時(shí)忽略其中的非線性項(xiàng)，可得

因此，變量V(ρj+1(t-ατ))可轉(zhuǎn)化為

式中：V'(ρj+1)=dV(ρj+1)/dρj+1.

將式(6)帶入式(4)，同時(shí)綜合式(1)，消除式(4)中的速度變量v，可得到

2 線性穩(wěn)定性分析

為了分析記憶最優(yōu)流量差對(duì)交通流擁擠演化的影響，對(duì)新提出的格子流體動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析.假設(shè)在均勻交通流情形下，統(tǒng)一將交通狀態(tài)賦予恒定密度ρ0和最優(yōu)速度V(ρ0)，該均勻交通流的穩(wěn)定性狀態(tài)解可等式為

假定yj(t)為關(guān)于格點(diǎn)j上穩(wěn)定狀態(tài)密度的一個(gè)微小的擾動(dòng)，則

將帶有擾動(dòng)密度分析的式(9)帶入式(6)，同時(shí)對(duì)該式進(jìn)行線性化表示，可得

設(shè)定yj(t)=exp(ikj+zt)，將其帶入式(10)，可得

將z=z1(ik)+z2(ik)2+…帶入式(11)，可分別得到關(guān)于ik的一階和二階項(xiàng)((ik)2)的系數(shù)，即

基于控制論方法可知，當(dāng)z2＜0時(shí)，該均勻穩(wěn)態(tài)流將演化成非穩(wěn)定的；相反，當(dāng)z2＞0時(shí)，該均勻穩(wěn)態(tài)流是穩(wěn)定的，因此該均勻交通流的中性穩(wěn)定性曲線可表示為

其中，該均勻交通流的非穩(wěn)定性條件可表示為

當(dāng)k=0.0或α=0.0時(shí)，上述的非穩(wěn)定性條件與Nagatani’s格子模型[9]所給出的非穩(wěn)定性條件一致，為此本文所提出的條件可以視為上述模型的一般化形式.

3 非線性穩(wěn)定性分析

本文利用還原攝動(dòng)方法分析了記憶最優(yōu)流量差對(duì)臨界點(diǎn)(ρc,ac)附近交通擁擠的傳播演化問(wèn)題進(jìn)行了分析，基于參數(shù)ε(0＜ε≤1)，將時(shí)間慢變量T和空間慢變量X定義為

式中：b表示的是待定常數(shù).

同時(shí)我們假定變量ρj滿足

基于式(14)和式(15)，將式(7)展開至關(guān)于ε的5階項(xiàng)，則我們可得到非線性等式

式中：系數(shù)ki可由表1獲得，i=1,2,…,7；；在 臨 界 點(diǎn)(ρc,ac)附近，我們有

為了消除式(16)中關(guān)于ε的2階和3階項(xiàng)，假定b=-ρ2cV'，則式(16)可轉(zhuǎn)化為

式中：gi可由表2給出，i=1,2,…,5.

為了將式(18)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的mKdV方程，引入式(19)的變換.

因此，式(18)可重新表示為

忽視式(20)中的校驗(yàn)項(xiàng)O(ε)，則可得到標(biāo)準(zhǔn)的mKdV方程，通過(guò)求解該mKdV方程，可得到扭結(jié)—反扭結(jié)孤立波為

式中：c表示扭結(jié)—反扭結(jié)孤立波的傳播速度.同時(shí)為了確定該扭結(jié)—反扭結(jié)波的傳播速度，則一定滿足式(20)必要條件.

基于求解式(22)，可得到關(guān)于c的確定值為

則扭結(jié)—反扭結(jié)孤立波的解可表示為

則關(guān)于該孤立波的震蕩幅度A為

表1 模型中關(guān)于ki的系數(shù)Table 1 The coefficient ofkiin the model

表2 模型中關(guān)于gi的系數(shù)Table 2 The coefficient ofgiin the model

基于上述mKDV求解所得到的扭矩反扭矩解代表的是共存相，在該相中兼具有低密度區(qū)下自由流相和高密度區(qū)下的阻塞相兩部分，其中自由流相的密度表示為ρj=ρc+A，而阻塞相的密度表示為ρj=ρc-A，由自由流相密度和阻塞流相密度組成的曲線稱為共存曲線，如圖1所示.圖1在(ρ,a)空間給出了共存曲線和中性穩(wěn)定曲線，其中實(shí)線表示中性穩(wěn)定性曲線，虛線表示共存曲線.整個(gè)相空間被兩條曲線切分成3部分：穩(wěn)定性區(qū)域、亞穩(wěn)定區(qū)域和非穩(wěn)定性區(qū)域.

圖1(a)中，當(dāng)α=0.0時(shí)，即模型中記憶時(shí)間為0，此時(shí)的帶有記憶最優(yōu)流量差效應(yīng)的格子模型即為Natagani提出的格子模型；當(dāng)存在記憶時(shí)間(α=0.3＞0.0)時(shí)，中性穩(wěn)定曲線與共存曲線相比于Natagani格子流體動(dòng)力學(xué)模型整體存在一定的下移，且臨界值(ρc,ac)也有一定降低，說(shuō)明增大了模型穩(wěn)定區(qū)域的面積，使得交通流更容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，從而可知，新的格子流體動(dòng)力學(xué)模型與傳統(tǒng)的Natagani的流體動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性更強(qiáng)；而當(dāng)記憶時(shí)間α繼續(xù)增大時(shí)，該組曲線的縱坐標(biāo)值(臨界敏感系數(shù))得以進(jìn)一步的減小，穩(wěn)定區(qū)域較Natagani所提出的格子模型時(shí)更加廣泛，也即說(shuō)明了記憶時(shí)間的時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)于增強(qiáng)交通流的穩(wěn)定性是有效的.圖1(b)分析了中性穩(wěn)定曲線和共存區(qū)域在不同參數(shù)k下的變化情況，隨著靈敏度參數(shù)k的增大，交通流的穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大，這也說(shuō)明了權(quán)重系數(shù)k對(duì)于緩解交通擁擠是有效的.

圖1 關(guān)于不同參數(shù)下(ρ,a)空間的相圖情況Fig.1 The phase diagram in parameter space(ρ,a)

4 仿真算例

通過(guò)一些仿真算例驗(yàn)證上述分析的主要結(jié)論.首先，在周期有界條件下，我們將單向道路切分為N個(gè)格子，其中每個(gè)格點(diǎn)的初始密度可分別表示為

式中：δ表示初始干擾，δ=0.1；駕駛員的靈敏度a=1/τ=2.7；各格點(diǎn)的初始密度ρc=ρ0=0.25；格點(diǎn)總數(shù)N=100.

情形1參數(shù)k的影響.

圖2為104s之后，在不同系數(shù)k下的密度波時(shí)空演變圖.當(dāng)k=0.1,0.2,0.3時(shí)，由于交通流模型均不滿足線性穩(wěn)定性條件式(11)，所以這3種交通流模型是不穩(wěn)定的，當(dāng)均勻流中存在干擾時(shí)，即使再小的干擾所造成的密度震蕩幅度都會(huì)隨著時(shí)間的演化而逐漸放大，最終變成阻塞波.圖2(a)～圖2(c)中出現(xiàn)扭結(jié)—反扭結(jié)孤立密度波，其中該扭結(jié)波的波動(dòng)幅度隨著敏感參數(shù)k的增大而逐漸降低，該結(jié)論與前面線性和非線性分析所得到的結(jié)論是相符的；圖2(d)中，初始干擾所引起的密度震蕩幅度隨著時(shí)間的推演逐漸降低，最終消失近似形成自由波，在此情形下不易發(fā)生交通擁擠問(wèn)題.對(duì)此，說(shuō)明考慮記憶最優(yōu)流量差確實(shí)是能夠提高交通流的穩(wěn)定性的.

圖3為t=10 300 s時(shí)的瞬時(shí)密度分布情況.從圖3可知：k=0.1,0.2,0.3所描述的并不是平穩(wěn)狀態(tài)的均勻交通流，然而該密度波的震蕩幅度隨著靈敏度k的增大而逐漸降低；相比于k=0.1的密度震蕩幅度，k=0.4情形下的幅度值得到了有效的降低，此時(shí)交通擁堵近似消失.通過(guò)該現(xiàn)象可進(jìn)一步表明系數(shù)k所代表的記憶最優(yōu)流量差項(xiàng)的確能夠抑制交通流的阻塞，減少交通流的震蕩時(shí)間，提高交通流的穩(wěn)定性，且當(dāng)該靈敏度超過(guò)一定閾值時(shí)，即當(dāng)仿真過(guò)程中給定的敏感系數(shù)滿足穩(wěn)定性式(11)時(shí)，均勻交通流系統(tǒng)中的小干擾能夠被系統(tǒng)自身所稀釋而抑制，圖3中k=0.4情形很好的詮釋了該類現(xiàn)象.因此，證明了：緩解交通流擁堵問(wèn)題時(shí)考慮記憶最優(yōu)流量差確實(shí)是有必要的.

圖2 在104步長(zhǎng)后，不同的參數(shù)k下密度波隨時(shí)間的演化情況(a=2.7,α=0.1)Fig.2 Space-time evolution of the density after104time step(a=2.7,α=0.1)

圖3 圖2中各子圖在t=10 300時(shí)瞬時(shí)密度分布情況Fig.3 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.2 respectively

情形2參數(shù)α的影響.

圖4為在不同記憶時(shí)間步長(zhǎng)α下所有車輛的密度—時(shí)間演化圖像，其中，a=2.7,k=0.3.當(dāng)α=0.0時(shí)，該模型與Natagani模型一致；當(dāng)α=0.3時(shí)，滿足交通流的穩(wěn)定性；當(dāng)α=0.0,0.1,0.2時(shí)，均不滿足穩(wěn)定性條件.圖4(a)～圖4(c)的3幅圖中存在扭結(jié)—反扭結(jié)解，而圖4(d)中未發(fā)現(xiàn)扭結(jié)—反扭結(jié)解，驗(yàn)證了本文中非線性分析的結(jié)論.圖5是圖4在t=10 300時(shí)所有車輛的瞬時(shí)密度情況，通過(guò)對(duì)比圖5中4條曲線可知：車輛的密度震蕩幅度隨著α的增大而逐漸減小，即說(shuō)明了記憶時(shí)間步長(zhǎng)能夠有效的增強(qiáng)交通流的穩(wěn)定性；圖中α=0.1,0.2,0.3時(shí)，曲線的振幅均大于α=0.0.α=0.0，也即Natagani模型，從而可知，考慮有最優(yōu)速度在記憶時(shí)間變化項(xiàng)的新模型(a＞0.0)的穩(wěn)定性要強(qiáng)于Natagani所提出的流體動(dòng)力學(xué)模型.所以，增大駕駛員對(duì)最優(yōu)流量隨記憶時(shí)長(zhǎng)變化的靈敏度系數(shù)k和記憶時(shí)間步長(zhǎng)α都能夠有效的影響交通流的穩(wěn)定.

5 結(jié)論

基于分析記憶最優(yōu)流量差對(duì)交通擁堵的影響，一類關(guān)于Nagatani’s格子模型的擴(kuò)展格子模型被給出，通過(guò)線性穩(wěn)定性分析，給出了新模型的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，通過(guò)相圖發(fā)現(xiàn)隨著權(quán)重參數(shù)k和記憶時(shí)間步長(zhǎng)α的不斷增大，該模型的穩(wěn)定性區(qū)域也逐漸增大，也即說(shuō)明了參數(shù)k和α對(duì)于抑制交通擁堵是有效的；隨后，在非線性分析部分通過(guò)求解mKdV方程所獲得的扭結(jié)—反扭結(jié)孤立波描述了在臨界點(diǎn)附近交通擁擠的相變特性，仿真算例結(jié)果驗(yàn)證了上述理論分析所得到的結(jié)論，從而證明了權(quán)重參數(shù)k和記憶時(shí)間步長(zhǎng)α對(duì)于抑制交通擁堵是存在積極影響的.

圖4 在104步長(zhǎng)后，不同參數(shù)α下密度波隨時(shí)間的演化情況(a=2.7,k=0.3)Fig.4 Space-time evolution of the density after104time step(a=2.7,k=0.3)

圖5 圖4中各子圖在t=10 300時(shí)瞬時(shí)密度分布情況Fig.5 Density profiles of the density wave att=10 300 correspond to panels in Fig.4 respectively

盡管我們分析了記憶最優(yōu)流量差對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響，然而，本文的研究主要局限于單車道情形，并沒(méi)有考慮到實(shí)際環(huán)境下車輛的換道及超車行為，同時(shí)我們的研究主要基于仿真算例去分析，并沒(méi)有利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行校驗(yàn)，為此，我們?cè)诤罄m(xù)的研究中將對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的研究.