趙 磊，關(guān)宏志*，張新潔，趙鵬飛

(北京工業(yè)大學(xué)a.建筑工程學(xué)院；b.交通工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124)

0 引言

合理的路徑選擇行為假設(shè)，對準(zhǔn)確預(yù)測城市交通網(wǎng)絡(luò)流量分布具有重要作用.1952年，Wardrop[1]提出了遵循最短路徑擇路機(jī)制的用戶均衡(User Equilibrium,UE)模型.后來人們發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)該機(jī)制需要假設(shè)出行者是完全理性的，擁有完全的交通網(wǎng)絡(luò)信息，而且忽略出行者的偏好差異和認(rèn)知的有限性，這就有悖于現(xiàn)實(shí)生活中人們表現(xiàn)出的有限理性行為.因此，最短路徑機(jī)制受到了一些學(xué)者的質(zhì)疑[2-4].Daganzo等[5]針對出行者認(rèn)知能力的有限性，進(jìn)一步提出了隨機(jī)用戶均衡(Stochastic User Equilibrium,SUE)模型，隨后的路徑選擇研究大多都是在UE和SUE這兩種模型的基礎(chǔ)上展開的.

針對隨機(jī)效用最大化(Random Utility Maximization,RUM)方法的缺陷，如完全理性假設(shè)和IIA(Independence of Irrelevant Alternatives,IIA)特性等，Chorus[6]提出了隨機(jī)后悔最小化(Random Regret Minimization,RRM)模型.后悔被認(rèn)為是一種負(fù)面情緒，發(fā)生在決策者意識到其他備選方案比考慮方案表現(xiàn)得更好的情況下；反之，當(dāng)決策者發(fā)現(xiàn)考慮方案性能更好，決策者會產(chǎn)生欣喜的情緒.而后，Chorus[7]進(jìn)一步完善了RRM模型的構(gòu)建，提出了一個新的RRM模型，該模型隨后被當(dāng)作是經(jīng)典的RRM模型.經(jīng)典的RRM模型用一個對數(shù)和的方法替代兩個最大值運(yùn)算，這樣使得后悔函數(shù)成為一個光滑、關(guān)于屬性差單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù).RRM模型假定出行者在出行選擇決策中，總是傾向于選擇預(yù)期后悔最小的備選方案.隨后，Chorus等[8]和Chrous[9]繼續(xù)改進(jìn)了RRM模型，并分別提出了混合的RUM-RRM模型和一般化的隨機(jī)后悔最小化(Generalized Random Regret Minimization,GRRM)模型.Van Cranenburgh等[10]從新的視角對經(jīng)典的RRM模型展開分析，指出該模型中的偏好參數(shù)不僅反映了屬性的相對重要程度，而且確定了后悔函數(shù)的形狀，進(jìn)而確定了后悔和欣喜的相對重要性.李夢等[11]針對RRM模型不能刻畫出行者后悔程度的缺陷，通過引入后悔厭惡系數(shù)提出了基于后悔理論(Regret Theory,RT)的SUE模型.李夢甜等[12]將無差異曲線的概念內(nèi)化到RRM模型中，構(gòu)建了基于時間剩余的RRM模型.

此外，大量研究表明損失厭惡是人們重要的決策特征，并被相繼內(nèi)化到累積前景理論[13]、參考依賴?yán)碚揫14]等行為選擇模型中.然而，經(jīng)典的RRM模型忽略了決策者的損失厭惡特性，且獲益和損失產(chǎn)生的情緒差異僅是由偏好參數(shù)產(chǎn)生的附帶效應(yīng)所引起，并不能刻畫決策者的損失厭惡程度[10].

基于以上考慮，本文在經(jīng)典的RRM模型的基礎(chǔ)上內(nèi)化了出行者的損失厭惡特性，進(jìn)而提出了一個改進(jìn)的RRM模型.在改進(jìn)的RRM模型中，等量的獲益和損失所引起的欣喜和后悔程度的差異不僅源于偏好參數(shù)的尺度特征，而且也受到出行者損失厭惡的影響.

1 模型的建立

考慮1個道路交通網(wǎng)絡(luò)G(N,A)，N是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的集合，A是網(wǎng)絡(luò)中所有路段的集合.假設(shè)該網(wǎng)絡(luò)中共有W個OD對，Rw表示OD對w∈W的路徑集；ta、Ca分別表示網(wǎng)絡(luò)中路段a的走行時間和容量；xa表示路段a的交通流量；t0a表示路段a的自由流時間.類似地，Trw表示路徑r∈Rw的走行時間成本；frw為路徑流量，向量f=(frw,r∈Rw,w∈W)T為路徑流量向量.網(wǎng)絡(luò)中每個OD對w的交通需求固定為dw.

網(wǎng)絡(luò)中路段、路徑流量關(guān)系可表示為

路段的走行時間用BPR(The Bureau of Public Roads,BPR)函數(shù)表示為

1.1 經(jīng)典RRM模型

經(jīng)典RRM模型的核心是屬性水平的后悔函數(shù)，用來表征考慮備選方案的后悔，即

假定出行者的感知后悔Hˉrw由系統(tǒng)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)組成，那么感知后悔可表示為

假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)是獨(dú)立同分布的Gumbel變量，根據(jù)RUM原則，均衡時出行者路徑選擇概率及網(wǎng)絡(luò)流量模式為

式中：θ為一個離散參數(shù)，反映出行者的感知誤差程度.

1.2 改進(jìn)的RRM模型

為了能夠在后悔理論的基礎(chǔ)上內(nèi)化出行者的損失厭惡特性，本文提出了MRRM(Modified Random Regret Minimization Model,MRRM)模型.在MRRM模型中，出行者在考慮備選和選擇集中其他備選進(jìn)行比較時，被認(rèn)為可以分別感知屬性的獲益和損失.

1.2.1 基于損失厭惡的效用函數(shù)

為了體現(xiàn)出行者對獲益和損失的偏好不對稱性，我們首先提出了考慮損失厭惡的屬性水平的后悔函數(shù).假設(shè)u(r,d)為一個基于情景的二元效用函數(shù)，r和d分別為出行者的考慮備選和選擇集中任一其他備選.

假設(shè)1u(r,d)=u(r-d).

假設(shè)1表明出行者在決策過程中會將考慮備選與競爭備選進(jìn)行比較，同時也暗示該效用函數(shù)的結(jié)果僅依賴于考慮備選與競爭備選的差異.

假設(shè)2u(r-d)=u(Trw-Tdw).

假設(shè)2表明出行者在比較考慮備選與競爭備選時，將分別感知到考慮備選路徑走行時間的獲益和損失.

假設(shè) 3，η表示時間成本的系數(shù)，φ(φ≥1)表示時間成本的損失厭惡系數(shù).

假設(shè)3用來描述出行者對潛在獲益和損失的不對稱偏好，并且暗示出行者對損失比等量的獲益更加敏感.

1.2.2 考慮損失厭惡的RRM模型

為在RRM模型中體現(xiàn)出行者損失厭惡的影響，下面將帶有損失厭惡的效用函數(shù)內(nèi)化到RRM模型中，改進(jìn)的RRM模型的后悔函數(shù)可表示為

特別地，當(dāng)η=φ且為1時，MRRM模型退化為經(jīng)典RRM模型.在改進(jìn)的RRM模型框架下，假定出行者的感知后悔為，那么有

假定隨機(jī)誤差項(xiàng)是獨(dú)立同分布的Gumbel變量，則基于Logit的路徑選擇概率和網(wǎng)絡(luò)流量模式為

1.2.3 后悔函數(shù)的比較

圖1描述了2個后悔函數(shù)隨屬性差的變化情況.為便于分析，兩個后悔函數(shù)中偏好系數(shù)β均被設(shè)為1，走行時間的系數(shù)和損失厭惡系數(shù)分別定為1.0和1.8.這樣，討論就可以被限定在后悔域，進(jìn)而探究2個后悔函數(shù)所引起的后悔的差異.圖1中水平虛線表示屬性差為零時函數(shù)的后悔值，它和后悔函數(shù)曲線共同劃分出后悔和欣喜2個區(qū)域.在RRM模型中，等尺度的獲益和損失所引起的欣喜和后悔程度的差異，主要源于偏好參數(shù)的附帶效應(yīng).然而，MRRM模型認(rèn)為出行者的后悔由兩部分組成：①出行者的偏好系數(shù)產(chǎn)生的后悔h1，②出行者損失厭惡產(chǎn)生的后悔h2.

圖1 屬性水平后悔函數(shù)Fig.1 The attribute level regret function

為分析偏好參數(shù)對MRRM模型的影響，圖2刻畫了不同尺度偏好參數(shù)下后悔函數(shù)的形狀.由圖2可知，不同偏好參數(shù)影響下后悔函數(shù)的形狀完全不同.隨著偏好參數(shù)的逐漸減小，表示屬性為零的水平虛線不斷上移，使等尺度的獲益和損失產(chǎn)生的欣喜和后悔的差異逐漸變小.由圖2(a)可知，當(dāng)偏好參數(shù)較大時，水平虛線與水平軸非常接近，說明由損失產(chǎn)生的后悔是影響決策的重要因素.在RRM模型中，當(dāng)偏好參數(shù)為1個較小的數(shù)時，等尺度獲益和損失引起的欣喜和后悔的差異的顯著性將消失，詳細(xì)描述請見文獻(xiàn)[15].也就是說，差異的產(chǎn)生源于偏好系數(shù)，而不是出行者的損失厭惡.而在MRRM模型中，如圖2(d)所示，當(dāng)偏好參數(shù)為1個較小的數(shù)時，由于出行者的損失厭惡這樣的差異仍然存在.因此，在MRRM模型中，偏好參數(shù)反映的是后悔函數(shù)的形狀，即后悔和欣喜的相對重要程度.這樣，由等尺度獲益和損失所引起的欣喜和后悔的差異受到偏好參數(shù)和出行者損失厭惡的共同影響.

圖2 不同尺度偏好參數(shù)下改進(jìn)后悔函數(shù)的形狀Fig.2 The shapes of improved regret function for the taste parameter with different sizes

1.3 等價的變分不等式問題

MRRM模型可以表示為變分不等式問題，即

式中：Ω是1個閉凸集，表示路徑流量的可行域，即

定理1MRRM模型的均衡條件式(10)和式(11)與變分不等式問題式(12)是等價的.

證明由變分不等式問題式(12)的KKT條件得

式中：μw為式(2)的拉格朗日系數(shù).

變換式(14)為

結(jié)合式(2)和式(15)，可得

再將式(16)代入到式(14)中，均衡條件式(10)和式(11)可以被推出.因此，該變分不等式問題等價于基于Logit的網(wǎng)絡(luò)均衡條件式(10)和式(11).

定理2等價的變分不等式問題式(12)至少有1個解.

證明由于該變分問題的可行域是1個非空的、緊致的凸集，函數(shù)是關(guān)于frw連續(xù)，根據(jù)Brouwer不動點(diǎn)定理，該變分不等式問題至少存在1個解.但是，一般而言，prw的嚴(yán)格單調(diào)性不能保證，因此該變分不等式問題式(12)的解的唯一性不能確定.

2 求解算法

本文采用相繼平均法(Method of Successive Average,MSA)對模型進(jìn)行求解.算法的具體步驟如下：

Step 1初始化.置迭代次數(shù)n=0，迭代終止誤差ε=0.001.基于給定的OD交通需求，產(chǎn)生初始可行流量向量f(0).

Step 2計(jì)算.根據(jù)路徑的走行時間Trw，首先根據(jù)假設(shè)1～3計(jì)算考慮損失厭惡的效用函數(shù)，而后將結(jié)果代入后悔函數(shù)式(8)計(jì)算各考慮路徑的后悔值.

Step 3流量更新.設(shè)y為流量向量f的輔助流量向量，輔助流量由式(11)確定.用MSA算法更新路徑流量為

Step 4收斂性判斷.若ε，則輸出的解即是最優(yōu)解，計(jì)算結(jié)束；否則，令n=n+1，返回Step 2.

3 數(shù)值算例

考慮如圖3所示的路網(wǎng)，該路網(wǎng)由1個OD對、6個節(jié)點(diǎn)、5條路徑和8個路段組成.定義網(wǎng)絡(luò)總的交通需求為4 000，路段的自由流時間t0a和通行能力Ca如表1所示.

圖3 算例網(wǎng)絡(luò)Fig.3 The example network

表1 路段的自由流時間和通行能力Table 1 Link free-flow time and capacity

在數(shù)值案例中，本文假設(shè)離散參數(shù)θ為1，偏好系數(shù)為0.5，走行時間系數(shù)和損失厭惡系數(shù)分別為0.2和2.5.表2給出了不同隨機(jī)用戶均衡條件下的網(wǎng)絡(luò)均衡流量模型.

表2 不同SUE模型的流量模式Table 2 The equilibrium flow pattern of different SUE models

由表2可知，不同的SUE模型給出了不同的均衡流量模式.由RUM-SUE模型的均衡結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)OD對1→3的大部分出行者選擇了路徑2，OD對2→4的大多數(shù)出行者選擇了路徑3，而在2個后悔隨機(jī)用戶均衡模型中，2個OD對的出行者選擇OD對相關(guān)路徑的比例比較接近，路徑流量分布更加均衡.均衡結(jié)果的不同主要源于決策機(jī)制的差異，RUM-SUE模型假定出行者傾向于選擇感知走行時間最短的路徑，而RRM-SUE和MRRMSUE模型認(rèn)為出行者總是更傾向于選擇預(yù)期后悔最小的路徑，其路徑選擇行為與考慮路徑和備選路徑的屬性差有關(guān)，是一種基于情景的行為選擇機(jī)制.

圖4描述了偏好系數(shù)變化對出行者路徑選擇行為的影響.其中走行時間系數(shù)和損失厭惡系數(shù)分別為0.2和1.0，離散系數(shù)θ保持不變.如圖4所示，隨著偏好系數(shù)的增大，兩個OD對的出行者更傾向于選擇最短路徑(如路徑2和路徑4).由于較小的偏好系數(shù)暗示出行者對后悔和欣喜的重視程度差異較小，這樣就導(dǎo)致同一OD對的出行者選擇2條路徑的概率相差不大；此外，隨著偏好系數(shù)的逐漸增大，出行者越來越重視后悔，使得非最優(yōu)路徑的選擇概率逐漸減少(如路徑1和路徑3)，最優(yōu)路徑的選擇概率逐漸增大，最優(yōu)路徑和非最優(yōu)路徑選擇概率的差異不斷擴(kuò)大.

圖4 偏好系數(shù)對出行者路徑選擇行為的影響Fig.4 The effects of taste parameter on travelers’route choice behavior

離散參數(shù)θ也是影響出行者路徑選擇行為的重要因素.圖5通過以O(shè)D對1→3的路徑1為研究對象，刻畫了不同決策機(jī)制下離散系數(shù)對出行者路徑選擇行為的影響.由圖5可知，2個SUE模型所確定的路徑1的選擇概率均隨著離散系數(shù)的增大而減小.并且，可以發(fā)現(xiàn)RUM-SUE模型對離散參數(shù)的變化更敏感.

圖5 離散參數(shù)對出行者路徑選擇行為的影響Fig.5 The effects of discrete parameter on travelers’route choice behavior

圖6進(jìn)一步給出了損失厭惡對出行者路徑選擇行為的影響.其中，走行時間系數(shù)設(shè)為0.2，離散參數(shù)θ仍為1.0.由圖6可知，隨著偏好系數(shù)的增大，路徑1的選擇概率逐漸減少；同時，在相同偏好系數(shù)情況下，隨著出行者損失厭惡的增大，出行者選擇路徑1的概率降低.這樣的選擇行為變化的原因可解釋為：由于1個大的損失厭惡系數(shù)暗示出行者對走行時間的損失更加敏感，而路徑1非OD對1→3的最優(yōu)路徑，因此當(dāng)出行者選擇路徑1時，將產(chǎn)生更大的后悔，進(jìn)而使路徑1的選擇概率變小.由此可證明，出行者的損失厭惡對其路徑選擇行為有較大的影響.

圖6 損失厭惡對出行者路徑選擇行為的影響φFig.6 The effects of loss aversion on travelers’route choice behavior

4 結(jié)論

本文在經(jīng)典隨機(jī)后悔最小化模型的基礎(chǔ)上，通過引入出行者損失厭惡的決策特征，提出了改進(jìn)的隨機(jī)后悔最小化模型，進(jìn)而分析了出行者損失厭惡對其路徑選擇行為的影響.特別地，改進(jìn)的隨機(jī)后悔最小化模型可以退化為經(jīng)典的隨機(jī)后悔最小化模型.因此，改進(jìn)的隨機(jī)后悔最小化模型對于出行者路徑選擇行為模擬顯得更加靈活.為驗(yàn)證本文所提出的改進(jìn)的隨機(jī)最小化模型，一個算例網(wǎng)絡(luò)被設(shè)計(jì)對其進(jìn)行驗(yàn)證分析.研究結(jié)果表明，出行者對后悔和欣喜的重視程度及損失厭惡的水平確實(shí)會對其選擇行為產(chǎn)生比較大的影響，同時也暗示科學(xué)、合理的交通管理政策的制定要充分考慮出行者的決策特征.此外，本文并未考慮出行者偏好的異質(zhì)性和動態(tài)的學(xué)習(xí)過程，改進(jìn)的隨機(jī)后悔最小化模型仍有待進(jìn)一步研究.