陳明建，黃中瑞，龍國(guó)慶，韓 旭

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，合肥 安徽 230037)

0 引言

信源數(shù)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要內(nèi)容[1]。典型的信源數(shù)估計(jì)方法包括基于AIC準(zhǔn)則[2]和MDL準(zhǔn)則[3-4]的信息論方法。該方法假設(shè)噪聲為理想高斯白噪聲，而實(shí)際的噪聲模型可能是空間非平穩(wěn)色噪聲，此時(shí)該算法性能下降甚至失效。為了解決該問(wèn)題，近些年來(lái)針對(duì)色噪聲背景下的信源數(shù)估計(jì)方法相繼提出，如蓋氏圓盤法(GDE)[5]、K均值法[6]、修正的MDL算法[7]、基于對(duì)角加載的特征值校正方法[8]、SORTE法[9]以及基于重采樣的Bootstrap法[10]等。但上述算法均假定信源是不相關(guān)或者獨(dú)立的，若空間信源存在一定的相關(guān)性或者完全相干時(shí)，此時(shí)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣將會(huì)出現(xiàn)缺秩，導(dǎo)致算法性能下降甚至失效。

為了解決相干信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題，學(xué)者們提出了很多算法，一般可分為兩大類：一類是空間平滑類算法，主要包括前向空間平滑算法[11-12]、前后向空間平滑算法[13-14]以及空間差分平滑算法[15-16]?？臻g平滑算法是以犧牲有效的陣元來(lái)恢復(fù)相干信號(hào)協(xié)方差矩陣的秩，而且無(wú)法區(qū)分相干和非相干源數(shù)目，因此估計(jì)最大信源數(shù)不超過(guò)陣元數(shù)目?？臻g差分平滑算法將陣列協(xié)方差矩陣分為Toeplize部分和非Toeplize部分，利用差分運(yùn)算得只含相干信源的協(xié)方差矩陣，提高了算法對(duì)信源的過(guò)載能力，但文中沒(méi)有討論非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題。另一類是矩陣重構(gòu)法，包括Toeplize矩陣重構(gòu)算法[17]、ESPRIT-Like算法等[18]，均是利用矩陣重構(gòu)方式解相干。但該類方法需要犧牲一半的陣元恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩，估計(jì)信源數(shù)有限。針對(duì)空間非平穩(wěn)色噪聲背景下，傳統(tǒng)信源數(shù)估計(jì)算法性能下降，且估計(jì)信源數(shù)有限的問(wèn)題，本文提出了非平穩(wěn)色噪聲背景下非相關(guān)與相干信源數(shù)估計(jì)算法，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性。

全文中，符號(hào)(?)T、(?)*、(?)H和E{?}分別表示轉(zhuǎn)置、共軛、共軛轉(zhuǎn)置和求統(tǒng)計(jì)期望，diag{α1,α2,…,αk}代表由對(duì)角元素α1,α2,…,αk組成的對(duì)角矩陣，blkdiag{Z1,Z2}表示由矩陣Z1,Z2組成的塊對(duì)角矩陣，

1 信號(hào)模型

(1)

其中，a(θ)是均勻線陣陣列導(dǎo)向矢量，可表示為：

a(θ)=[1,μ1,,…,μM-1]T,μ=ejπsin(θ)

(2)

A=[Au,AcΓ]∈M×K為所有信源導(dǎo)向矢量矩陣，Au=[a(θ1),…,a(θKu)]為非相關(guān)信源導(dǎo)向矢量矩陣，Ac=[Ac,1,…,Ac,D]為相干信源導(dǎo)向矢量矩陣，Ac,d=[a(θd,Kd),…,a(θd,Kd)]，Γ=blkdiag{ρ1,…,ρD}，ρd=[ρd,1,…,ρd,Kd]T，其中ρd,k表示第d組的第k個(gè)相干信號(hào)相對(duì)于該組第1個(gè)信號(hào)的衰落系數(shù)，相干信號(hào)來(lái)波方向?yàn)镸×1維復(fù)圓零均值高斯噪聲，且與信號(hào)不相關(guān)，則x(t)的協(xié)方差矩陣表示為：

(3)

(4)

2 信源數(shù)估計(jì)算法

2.1 非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)

假定M-1≥Ku+D，若對(duì)矩陣R特征分解可得

(5)

式(5)中Us=[u1,…,uKu+D]、Σs=diag{λ1,…,

λKu+D}；Un=[uKu+D+1,…,uM]，Σn=diag{λKu+D+1,

…,λM}；λ1≥λ2…≥λKu+D≥λKu+D+1≥…≥λM。

記M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為(1,λ1)，(2,λ2)，…，(M,λM)，期望通過(guò)這M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合一條直線。假定直線方程為：

y=ax+b

(6)

則點(diǎn)(xi,yi)到直線的距離為：

(7)

所有觀測(cè)值到直線的距離平方和可表示為：

(8)

(9)

對(duì)于總體最小二乘的特征值擬合誤差可表示為：

(10)

式(10)中，ε(k)表示參與擬合的第M-k+1到第M個(gè)點(diǎn)到擬合直線的距離平方和。

由線性擬合可知ε(k)為單調(diào)遞減函數(shù)，且ε(1),…,ε(M-Ku-D)兩兩之間的差別要小于ε(M-Ku-D+1),…,ε(M-1)兩兩之間的差別。因此可以根據(jù)ε(k)的梯度信息估計(jì)信源數(shù)，即

(11)

當(dāng)k從小到大時(shí)，假定TLS(k)第一次出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)為k0，則信源數(shù)為k0-1，即為非相關(guān)信源個(gè)數(shù)與相干信號(hào)組數(shù)之和估計(jì)值。

|aH(θ)Un|2=0,θ=θi,i=1,…,Ku

(12)

|(Aiρi)HUn|2=0,i=1,…,D

(13)

2.2 相關(guān)信源數(shù)估計(jì)

假定將均勻線陣劃分為相互重疊的p個(gè)子陣，其中每個(gè)子陣包含有相同的陣元數(shù)M-p+1。則第k個(gè)子陣的陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為：

(14)

式(14)中，F(xiàn)k=[0(M-p+1)×(k-1)IM-p+10(M-p+1)×(p-k)]。

定義：對(duì)于M×M維矩陣R，空間差分平滑矩陣為：

(15)

式(15)中，矩陣JM為m×m階置換矩陣。

命題1：若非相關(guān)信源和相干信源同時(shí)入射ULA陣列，則Rsd不含有非相關(guān)信源信息。

證明：為了簡(jiǎn)化分析，只需考慮R中的非相關(guān)信源RN部分。即等價(jià)證明

(16)

(17)

式(17)中，Ω=diag{ejπsin(θ1),…,ejπsin(θKu)}。

由于均勻線陣的導(dǎo)向矢量矩陣A(θ)為范德蒙德矩陣，因此可得

(18)

(19)

由式(19)可知，Dk中不含有非相關(guān)信源信息，因此命題1成立。證畢。

命題2：若均勻線陣入射信源含有非相關(guān)信源和相干信源，其中有D組共Kc個(gè)相干信源，第d(d=1,2…,D)組相干信源包含了Pd個(gè)多徑信號(hào)，若將M元均勻線陣劃分為相互重疊的p個(gè)子陣，子陣陣元數(shù)為M-p+1，若p≥max{K1,…,KD}?Kmax，且Kc

證明：命題1已證明Rsd不含有非相關(guān)信源信息，因此Rsd可以等價(jià)表示為：

(20)

其中，

(21)

式(21)中，Ac1=F1Ac，B=blkdiag{γ1,…,γD}，γd=diag{ejπsin(θd,1),…,ejπsin(θd,Kd)}。

將式(21)代入到式(20)中可得

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)中，

(27)

(28)

當(dāng)p≥max{K1,…,KD}=Kmax，式(25)可表示為：

(29)

式(29)表明當(dāng)p≥Kmax,M-p+1>Kc時(shí)，Rsd恢復(fù)為滿秩矩陣，即rank(Rsd)=Kc。證畢。

由命題1、命題2可知，若p滿足Kmax≤p≤M-Kc+1，則Rsd只含有相干信源信息且是滿秩矩陣。對(duì)Rsd特征分解可得

(30)

同理，利用特征值的線性擬合誤差可實(shí)現(xiàn)相干信源數(shù)估計(jì)。

綜上所述，本文算法基本步驟可歸納如下：

3) 利用式(15)計(jì)算空間差分平滑矩陣Rsd；

2.3 最少陣元需求分析

假定有K個(gè)窄帶信號(hào)以平面波入射ULA，其中非相關(guān)信源數(shù)為Ku，D組相干信源總數(shù)為Kc。若要成功分辨所有入射信號(hào)，對(duì)于前向平滑F(xiàn)SS法、前后向平滑F(xiàn)BSS法、空間差分平滑SDS法需要陣元數(shù)至少分別為Ku+Kc+3Pmax/2、Ku+Kc+Pmax/2、max{(Ku+D+1),Pmax/2+Kc+1}，本文算法最少需要陣元數(shù)為max{(Ku+D+1),Kc+2}。

由上述分析可知FBSS算法由于采用了前后平滑處理，其陣列需求小于FSS算法，本文算法所需陣元數(shù)最少，SDS算法性能次之。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)分為兩部分。第一部分考察空間非平穩(wěn)色噪聲對(duì)非相關(guān)信源數(shù)估計(jì)的影響，主要對(duì)比常規(guī)MDL算法、文獻(xiàn)[7]的GMDL算法、文獻(xiàn)[10]Bootstrap算法以及本文算法的性能；第二部分驗(yàn)證一種新的空間差分平滑算法對(duì)相干信源數(shù)估計(jì)有效性，主要對(duì)比分析常規(guī)的FSS算法、FBSS算法、文獻(xiàn)[16]SDS法以及本文算法。

實(shí)驗(yàn)1信源數(shù)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

考慮陣元數(shù)M=10，3個(gè)非相關(guān)信號(hào)和2組4個(gè)相干窄帶信號(hào)同時(shí)入射到陣列上，非相關(guān)信號(hào)DOA分別為[-2° -13° 42°]，相干信號(hào)DOA分別為[-14° -5°]，[29° 65°]，噪聲的協(xié)方差矩陣Q=diag{3.3，2.6，5.2，1.2，4.1，5.0，3.2，6.0，3.0，3.5}。圖1、圖2分別是非相關(guān)信源數(shù)、所有信源數(shù)的檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線。

圖1 相關(guān)信源數(shù)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系Fig.1 Probability of correct detection for uncorrelated sources versus

由圖1可知，在空間非平穩(wěn)色噪聲條件下MDL算法將失效，其他三類算法均能實(shí)現(xiàn)信源數(shù)有效估計(jì)，GMDL算法對(duì)MDL算法的似然函數(shù)和罰函數(shù)均進(jìn)行了修正，因此提高了算法的性能；Bootstrap算法采用了重采樣技術(shù)，并結(jié)合GDE算法的思想，可以避免對(duì)數(shù)據(jù)分布做出假設(shè)，并適用于色噪聲模型。本文算法采用特征值總體最小二乘線性擬合，并利用擬合誤差的梯度信息，實(shí)現(xiàn)了空間非平穩(wěn)色噪聲背景下的信源數(shù)估計(jì)，本文算法性能要優(yōu)于其他三類算法，Bootstrap算法次之，GMDL性能介于本文算法與GMDL之間。

圖2 所有信源數(shù)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系Fig.2 Probability of correct detection for uncorrelated and coherent sources versus input SNR

圖2是針對(duì)非相關(guān)和相干信源共存時(shí)四類算法信源數(shù)估計(jì)性能。從圖2可知，F(xiàn)BSS算法性能優(yōu)于FSS算法。在低信噪比時(shí)SDS算法空間差分平滑技術(shù)能消除部分噪聲，相當(dāng)于提高了SNR，因此性能優(yōu)于傳統(tǒng)的空間平滑算法，但在信噪比大于5 dB時(shí)，F(xiàn)BSS性能要優(yōu)于SDS；而本文算法性能在任意信噪比條件下性能均優(yōu)于其他三類算法。

實(shí)驗(yàn)2角度相近時(shí)信源數(shù)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

考慮3個(gè)非相關(guān)信號(hào)和2組4個(gè)相干窄帶信同時(shí)入射到陣列上，非相關(guān)信號(hào)DOA分別為[-2° -13° 42°]，相干信號(hào)DOA分別為[-14° -3°]，[29° 43°]。圖3、圖4分別是非相關(guān)信源數(shù)、所有信源數(shù)的檢測(cè)概率與SNR關(guān)系。

圖3 角度相近時(shí)非相關(guān)信源數(shù)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系Fig.3 Probability of correct detection for closely spaced and uncorrelated sources versus input SNR

由圖3可知，由于非相關(guān)信源的來(lái)波方向均與相干信源來(lái)波方向相近，此時(shí)導(dǎo)向矢量矩陣列向量存在相關(guān)性，該相關(guān)性會(huì)影響數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值分布，Bootstrap算法與本文算法均是利用特征值信息實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)，因此算法性能均有一定程度下降。而GMDL算法是利用蓋世圓半徑求解信源數(shù)，因此導(dǎo)向矢量的相關(guān)性對(duì)其性能影響較小。

圖4 角度相近時(shí)所有信源數(shù)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系Fig.4 Probability of correct detection for closely spaced all sources versus input SNR

由圖4可知：傳統(tǒng)FSS、FBSS算法通過(guò)空間平滑后數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣仍然可能是缺秩，因此無(wú)法正確分辨角度相近的信源，而本文算法和SDS通過(guò)空間差分平滑，將非相關(guān)信源與相干信源分開(kāi)檢測(cè)，因此信源數(shù)檢測(cè)性能不受角度間隔的影響。

實(shí)驗(yàn)3信源數(shù)超過(guò)陣元數(shù)時(shí)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

假定M=8，陣列噪聲協(xié)方差矩陣Q=diag{10.0

2.0 1.5 2.5 5.0 1.0 1.5 3.0}。共有10個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，其中4個(gè)非相關(guān)信號(hào)DOA分別為[-40° -20° -10° 0°]，2組6個(gè)相干信號(hào)DOA分別為[-30° -10° 5°]，[20° 40° 60°]，其他仿真參數(shù)同實(shí)驗(yàn)3。圖5是信源數(shù)超過(guò)陣元數(shù)時(shí)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系。

圖5 信源數(shù)超過(guò)陣元數(shù)時(shí)檢測(cè)概率與SNR關(guān)系Fig.5 Probability of correct detection versus input SNR when the number of signals is more than the number of array element

當(dāng)Ku=4，Kc=6，D=2，Pmax=3時(shí)FSS、FBSS、SDS以及本文算法最少需要的陣元數(shù)分別為12，9，8，9。因此理論上FSS、FBSS、SDS算法均失效，只有本文算法能夠有效檢測(cè)10個(gè)入射信號(hào)，圖5的仿真結(jié)果與理論分析相一致。

實(shí)驗(yàn)4空間非平穩(wěn)色噪聲背景下算法檢測(cè)概率與WNPR關(guān)系

由圖6可知，MDL算法基本失效， GMDL算法、Bootstrap算法的檢測(cè)概率均隨著WNPR增大逐漸降低。只有本文算法對(duì)WNPR變化不敏感，即使在低SNR、高WNPR檢測(cè)概率接近1，因此本文方法對(duì)空間非平穩(wěn)色噪聲具有一定的穩(wěn)健性。

圖6 SNR為0 dB檢測(cè)概率與WNPR關(guān)系Fig.6 Probability of correct detection versus WNPR for SNR=0 dB

4 結(jié)論

本文提出了非平穩(wěn)色噪聲背景下非相關(guān)與相干信源數(shù)估計(jì)算法，該算法利用協(xié)方差矩陣特征值的總體最小二乘線性擬合，實(shí)現(xiàn)了非相關(guān)信源估計(jì)；然后通過(guò)空間差分平滑技術(shù)，剔除非相關(guān)信源和非平穩(wěn)空間色噪聲的影響；最后利用線性擬合算法實(shí)現(xiàn)相干信源數(shù)估計(jì)。仿真結(jié)果表明，該算法在空間非平穩(wěn)色噪聲背景下能實(shí)現(xiàn)非相關(guān)與相干信源數(shù)的有效估計(jì)，檢測(cè)信源數(shù)可以超過(guò)陣元數(shù)，尤其對(duì)于角度相近的信源，估計(jì)性能要優(yōu)于其他類信源數(shù)估計(jì)算法。