潘昊 王升濤 吳子輝 胡曉棉

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100094)

1 引 言

鈹(Be)屬于輕稀有金屬,被廣泛用于各種核反應(yīng)堆的反射體材料、減速材料和中子源材料.同時(shí),Be又具有低密度、高強(qiáng)度和高熔點(diǎn)的特點(diǎn),Be及其合金材料也被越來(lái)越多地應(yīng)用于航空、航天領(lǐng)域.在異常工況下(爆炸、撞擊),Be受到?jīng)_擊載荷的作用[1],處于高壓及高應(yīng)變率狀態(tài)下,其力學(xué)特性與靜態(tài)加載下的力學(xué)特性存在顯著差別[2,3].因此,對(duì)Be材料在沖擊載荷作用下的動(dòng)力學(xué)性能研究對(duì)結(jié)構(gòu)防護(hù)等設(shè)計(jì)具有重要的應(yīng)用背景.

Be是典型的密排六方晶系(HCP)材料,晶體對(duì)稱(chēng)性和Al,Cu等面心立方晶系(FCC)材料相比較差.因此,Be材料的力學(xué)性能相比Al,Cu等存在明顯差異,變形機(jī)理也更為復(fù)雜,主要表現(xiàn)在:1)Be材料的力學(xué)性能與其自身織構(gòu)(晶體取向分布)密切相關(guān),存在明顯的各向異性特性;2)Be晶體的密排獨(dú)立滑移系的數(shù)量不滿足von Mises準(zhǔn)則(即要求具有5個(gè)獨(dú)立滑移系),在塑性變形過(guò)程中,Be材料通常會(huì)發(fā)生孿晶變形以彌補(bǔ)滑移系數(shù)量的不足;Be材料靜態(tài)加載的原位中子衍射實(shí)驗(yàn)[4]已經(jīng)發(fā)現(xiàn),當(dāng)變形超過(guò)一定值時(shí),Be材料就會(huì)發(fā)生孿晶變形;3)Be材料在靜態(tài)加載下,承受塑性變形的能力較差,而在動(dòng)態(tài)加載下,Be材料能夠發(fā)生較大塑性應(yīng)變,這表明材料的塑性變形機(jī)理發(fā)生了改變.

針對(duì)Be材料在沖擊加載下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能,已開(kāi)展了廣泛的研究工作.比如:Chapman等[5]通過(guò)沖擊加載-卸載實(shí)驗(yàn)獲得了Be材料沖擊加載下(<30 GPa)的強(qiáng)度.Steinberg等[6]發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)加載下Be材料存在較強(qiáng)的加工硬化行為.Brown等[7]基于磁流體動(dòng)力加載技術(shù)獲得了Be材料在20—110 GPa加載壓力下的屈服強(qiáng)度,發(fā)現(xiàn)Be材料在高壓下的屈服強(qiáng)度比SG模型的預(yù)測(cè)值高約20%,這表明Be材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性,超出了傳統(tǒng)模型的預(yù)測(cè)能力.Frahan等[8]采用爆轟、激光加載等方式對(duì)Be材料進(jìn)行了擾動(dòng)增長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)(加載壓力60 GPa,應(yīng)變率約106s?1),并用實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)了常用的SG,PTW等強(qiáng)度模型,結(jié)果表明這些模型無(wú)法準(zhǔn)確地模擬Be材料擾動(dòng)增長(zhǎng)過(guò)程.

由于Be材料微觀變形機(jī)理的復(fù)雜性,以往經(jīng)典的宏觀本構(gòu)模型難以準(zhǔn)確描述其動(dòng)態(tài)力學(xué)性能.近年來(lái),研究者基于晶體塑性理論,從材料塑性變形的微觀機(jī)理出發(fā),特別是重點(diǎn)考慮孿晶過(guò)程,建立了更適于描述Be材料力學(xué)性能的模型.晶體塑性理論是一種介于宏觀與微觀尺度的描述材料塑性變形的研究方法,能夠描述金屬材料靜態(tài)和中低應(yīng)變率下的由位錯(cuò)滑移主導(dǎo)的塑性變形過(guò)程.在晶體塑性的基礎(chǔ)上,研究者發(fā)展了多種孿晶變形近似描述方法,對(duì)低層錯(cuò)能金屬Cu,Ti和Be材料在靜態(tài)加載下的孿晶演化及應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行了模擬,取得了較好的效果[9?12].在動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)方面,研究者通過(guò)改進(jìn)晶體塑性理論中的位錯(cuò)演化方程和彈性變形方程,已經(jīng)能夠描述Al材料在沖擊加載下的動(dòng)力學(xué)行為[12],但只有少數(shù)研究關(guān)注了包含孿晶變形的材料的沖擊響應(yīng).Winey和Gupta[13]考慮了滑移、孿晶和剪切破裂,對(duì)不同晶向的單晶Be材料低壓沖擊加載過(guò)程進(jìn)行了模擬.但他們對(duì)Be晶體彈性變形考慮得不夠充分,模擬的加載壓力小于7 GPa,并且沒(méi)有對(duì)沖擊后Be材料的卸載行為進(jìn)行研究.

為了研究更高沖擊壓力下Be材料的孿晶變形和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)過(guò)程,本文在熱彈-黏塑性晶體塑性模型的基礎(chǔ)上,考慮孿晶對(duì)塑性變形的貢獻(xiàn),并合理考量孿晶增長(zhǎng)過(guò)程,建立了適于描述HCP材料動(dòng)態(tài)力學(xué)行為的理論模型.在該模型的基礎(chǔ)上,對(duì)Be材料在100 GPa以內(nèi)沖擊加載下的強(qiáng)度變化情況及其與孿晶變形的關(guān)系進(jìn)行了模擬與分析.另外,模擬了Be材料在沖擊-卸載過(guò)程中孿晶的演化過(guò)程.

2 含孿晶的熱彈-黏塑性晶體塑性模型

晶體塑性理論已經(jīng)有了多種研究框架,潘昊[14]在Kalidindi的晶體塑性模型[12]的基礎(chǔ)上,針對(duì)高壓、高應(yīng)變率的加載條件,對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)、應(yīng)變硬化和晶體彈性變形方程進(jìn)行了修正,發(fā)展了熱彈-黏塑性晶體塑性模型.在此基礎(chǔ)上,本文考慮孿晶對(duì)塑性變形的貢獻(xiàn),發(fā)展考慮孿晶變形的熱彈-黏塑性晶體塑性模型.

根據(jù)晶體塑性理論,晶體的變形梯度張量可以分解為彈性和塑性變形兩部分,即

其中,Fe和Fp分別表示彈性和塑性部分的變形梯度張量.塑性變形梯度的演化可以表示為

其中,Lp為塑性速度梯度張量.動(dòng)態(tài)加載下材料的回收實(shí)驗(yàn)[15,16]表明FCC,BCC材料即使發(fā)生孿晶,其孿晶的體積份額也較少,并且孿晶帶多呈現(xiàn)窄帶狀,其內(nèi)部的滑移較為困難.但對(duì)于HCP材料,當(dāng)孿晶體積較大時(shí),內(nèi)部的滑移不能忽略.根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果[17],當(dāng)孿晶體積份額較小時(shí),可忽略孿晶內(nèi)部的滑移過(guò)程;而當(dāng)孿晶體積份額較大時(shí),可采用晶粒碎化法,計(jì)算孿晶內(nèi)的滑移變形過(guò)程.對(duì)于含孿晶變形的材料,塑性變形取決于位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)和孿晶,其速度梯度張量可以寫(xiě)為

其中n表示孿生面法向. 子晶的彈性常數(shù)、Grüneisen系數(shù)等也需要根據(jù)新的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換.臨界孿晶份額fc來(lái)自于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果,與材料相關(guān),對(duì)于Be材料,尚未見(jiàn)臨界孿晶份額fc的相關(guān)結(jié)果,本文取同為HCP材料Ti的結(jié)果,即fc=0.4[17,18].設(shè)子晶個(gè)數(shù)n 6 4,當(dāng)啟動(dòng)的孿晶系超過(guò)4個(gè)時(shí),只考慮孿晶體積份額fβ前4的孿晶系,剩余體積份額較小的孿晶系都合并至最大體積份額的孿晶系.

方程(3)的重點(diǎn)在于孿晶演化過(guò)程˙fβ的描述.與位錯(cuò)演化一樣,˙fβ也會(huì)經(jīng)歷多個(gè)過(guò)程,目前已經(jīng)有分子動(dòng)力學(xué)等方法對(duì)其成核、增殖和退化過(guò)程進(jìn)行了模擬[19,20].一般認(rèn)為,孿晶的增值過(guò)程主要由分切應(yīng)力控制,簡(jiǎn)化起見(jiàn),我們只考慮分切應(yīng)力τβ對(duì)孿晶增長(zhǎng)過(guò)程的影響.Kalidindi[21]給出了孿晶增長(zhǎng)方程為

其中τtw為孿晶的臨界分切應(yīng)力,n是常數(shù).根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)[22]給出的信息,假設(shè)孿晶的形狀為圓片狀,則孿晶體積可以表示為

其中N表示孿晶的數(shù)目;htw,rtw分別表示孿晶的厚度及半徑.這里認(rèn)為孿晶總數(shù)為常數(shù),孿晶的增長(zhǎng)存在三種模式,即m=1表示厚度增長(zhǎng),m=2表示半徑增長(zhǎng),m=3表示兩者都增長(zhǎng).則可以推導(dǎo)得到孿晶厚度與體積的關(guān)系[22]為

其中h0,f0分別表示初始孿晶厚度和體積.我們?cè)O(shè)孿晶厚度增長(zhǎng)與剪應(yīng)力成線性關(guān)系,則可以推導(dǎo)出不同的增長(zhǎng)模式下,孿晶體積變化與分切應(yīng)力的關(guān)系為

其中τtw為孿晶的臨界分切應(yīng)力,tc為特征時(shí)間.平均孿晶寬度?與孿晶體積、厚度的關(guān)系為

由(8)式可得不同的增長(zhǎng)模式下,平均孿晶寬度與體積的關(guān)系為

其中?0為初始平均孿晶寬度.需要指出的是,在孿晶變形中也有可能出現(xiàn)退孿晶現(xiàn)象,并且已有大量研究工作[23,24]關(guān)注退孿晶對(duì)材料織構(gòu)演化、塑性變形行為的影響.本文主要關(guān)注孿晶變形存在條件下Be材料的沖擊動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題,因此暫時(shí)不考慮退孿晶的影響.

一般情況下,大多數(shù)晶體材料的屈服強(qiáng)度由晶格臨界位錯(cuò)滑動(dòng)時(shí)的應(yīng)力勢(shì)壘決定,孿晶晶界能抑制位錯(cuò)運(yùn)動(dòng),因此具有強(qiáng)化作用[25].除此之外,不可動(dòng)位錯(cuò)和晶界也都能阻礙可動(dòng)位錯(cuò)的滑移,引起的強(qiáng)化作用分別用Taylor關(guān)系和Hall-Petch關(guān)系描述.因此,在考慮孿晶變形的條件下,Be材料的硬化公式可以表述為[25]

其中τα是α-滑移系上的分切應(yīng)力,G是材料剪切模量,ρI是非可動(dòng)位錯(cuò)密度,kHP是Hall-Petch常數(shù),d表示材料的平均晶粒尺寸,ktw則表示孿晶對(duì)材料硬化的影響.該硬化公式考慮了不可動(dòng)位錯(cuò)強(qiáng)化、晶粒尺寸對(duì)強(qiáng)度的影響以及孿晶的強(qiáng)化作用,前人的研究工作[25]表明該硬化公式能夠比較準(zhǔn)確地描述存在孿晶變形條件下材料的硬化規(guī)律.

3 多晶Be材料的強(qiáng)度及織構(gòu)演化

研究表明,Be材料在加載和卸載過(guò)程中都會(huì)產(chǎn)生孿晶變形.本文考慮孿晶變形,分別針對(duì)Be材料在加載和卸載過(guò)程中的屈服強(qiáng)度、織構(gòu)演化等力學(xué)特性進(jìn)行了研究.

3.1 Be材料動(dòng)態(tài)加載下的強(qiáng)度隨壓力的變化

在動(dòng)態(tài)加載下Be材料屈服強(qiáng)度和壓力的關(guān)系如圖1所示,圖中給出了本文模型的計(jì)算結(jié)果、SG模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果.圖1表明,相比于不考慮孿晶和只考慮孿晶而不考慮晶粒碎化的模型,同時(shí)考慮孿晶和晶粒碎化的晶體塑性模型的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[26,27]符合得更好;另外,當(dāng)壓力大于42 GPa,本文模型對(duì)Be材料屈服強(qiáng)度的預(yù)測(cè)結(jié)果明顯好于SG模型.HCP材料對(duì)稱(chēng)性差,滑移系少,對(duì)于Be材料而言,其晶格結(jié)構(gòu)c/a值較小,這些特點(diǎn)導(dǎo)致Be材料的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)能力較弱,孿晶變形在其塑性變形中起著重要的作用.特別是在高壓、高應(yīng)變率下,材料內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生大量的孿晶變形,導(dǎo)致材料的塑性變形能力明顯增強(qiáng).因此,本文發(fā)展的同時(shí)考慮孿晶變形和晶粒碎化的晶體塑性模型能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)Be材料在動(dòng)態(tài)載荷作用下的屈服強(qiáng)度.

圖1 動(dòng)態(tài)加載下Be材料屈服強(qiáng)度和壓力的關(guān)系Fig.1.The relationship between yield strength of Be materials and the pressure under dynamic loading.

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,Be材料孿晶的起始剪應(yīng)力為0.68 GPa[19,20],在此剪應(yīng)力之前,材料內(nèi)部不產(chǎn)生孿晶變形,Be材料的塑性變形以位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)為主,屈服強(qiáng)度隨著壓力的增大迅速增大,體現(xiàn)出顯著的壓力硬化特點(diǎn).根據(jù)本文模型的計(jì)算結(jié)果,Be材料強(qiáng)度隨壓力的變化可以分為三個(gè)階段.第一階段,材料內(nèi)部沒(méi)有發(fā)生孿晶變形,對(duì)于Be而言,此時(shí)的壓力范圍較窄,小于3 GPa,如圖1中區(qū)域I所示.第二階段,材料內(nèi)部發(fā)生孿晶變形,由于發(fā)生孿晶變形,材料強(qiáng)度隨壓力的上升斜率明顯變緩,如圖1中區(qū)域II所示.Be材料的強(qiáng)度對(duì)孿晶變形較為敏感,當(dāng)孿晶體積大于5%,強(qiáng)度上升斜率明顯變緩,這表明孿晶對(duì)HCP材料塑性變形過(guò)程有顯著的影響,明顯減弱了材料的壓力硬化速率.第三階段,晶粒碎化,當(dāng)孿晶體積大于閾值(本文根據(jù)對(duì)Ti的研究結(jié)果[17,18],設(shè)為0.4),晶粒發(fā)生碎化,孿晶內(nèi)部產(chǎn)生滑移,此時(shí)強(qiáng)度上升的斜率與不發(fā)生孿晶的情況一致,如圖1中區(qū)域III所示.

3.2 Be材料在沖擊載荷下的準(zhǔn)彈性卸載行為

金屬材料在沖擊-卸載過(guò)程中往往會(huì)發(fā)生準(zhǔn)彈性卸載現(xiàn)象,即彈性卸載段是光滑下降的,而通常的宏觀模型,包括彈性-理想、SG等均難以準(zhǔn)確描述這一過(guò)程.采用本文發(fā)展的含孿晶的熱彈-黏塑性晶體塑性模型,我們對(duì)Be材料的準(zhǔn)彈性卸載行為進(jìn)行了模擬,模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[5]的對(duì)比如圖2所示.圖2表明本文發(fā)展的晶體塑性模型計(jì)算得到的速度剖面結(jié)果都與實(shí)驗(yàn)較為接近.本文模擬得到的速度平臺(tái)值、體波卸載速度剖面均與實(shí)驗(yàn)基本相符,表明本文發(fā)展的晶體塑性模型能比較準(zhǔn)確地描述材料沖擊加載基本過(guò)程,包括材料的Hugoniot關(guān)系及壓縮特性.另外,本文的模擬得到的彈性卸載段速度剖面都是光滑下降的,也十分接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖2 Be材料界面速度剖面的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2.Computational results and experiment results for the speed pro file of the interface of Be materials.

另外,圖2中的速度剖面曲線表明本文模型可以很好地預(yù)測(cè)材料的準(zhǔn)彈性卸載行為.本文所用模型由于考慮了晶體的非線性彈性變形過(guò)程,獲得的卸載中的剪切模量并不是恒定值,而是隨著剪應(yīng)力的降低而下降,如圖3所示,其中材料的有效剪切模量定義為

Steinberg等[28]認(rèn)為加載和卸載中剪切模量有差別(Bauschinger效應(yīng))導(dǎo)致了準(zhǔn)彈性卸載過(guò)程,進(jìn)一步,本文的模擬結(jié)果表明材料的非彈性變形過(guò)程是材料準(zhǔn)彈性卸載行為的主要原因.另外,這也說(shuō)明以往在宏觀流體建模中,對(duì)于準(zhǔn)彈性卸載過(guò)程常采用的令剪切模量隨剪應(yīng)力變化的人為處理具有一定的合理性.

圖3 Be材料卸載過(guò)程中剪切模量變化結(jié)果Fig.3.Variation of the shear modulus of Be materials in the unloading.

3.3 Be材料卸載下的孿晶演化

計(jì)算結(jié)果表明塑性變形在卸載過(guò)程中依然不斷累積,使得Be材料的孿晶繼續(xù)發(fā)展.圖4給出了Be材料(初始隨機(jī)織構(gòu))在沖擊加載36 GPa和卸載過(guò)程的孿晶體積分布情況.可見(jiàn),在沖擊加載的平臺(tái)區(qū)域,孿晶的體積分?jǐn)?shù)相對(duì)較小,約10%,且成零散分布的狀況;而當(dāng)卸載完成時(shí),Be材料內(nèi)部會(huì)形成了大量的整塊的孿晶,孿晶的體積分?jǐn)?shù)普遍在25%以上,個(gè)別的晶粒中孿晶體積超過(guò)臨界值0.4,發(fā)生晶粒碎化.

圖4 Be材料沖擊加-卸載下的孿晶體積份額分布Fig.4.Fraction of twinning in Be materials in the impact loading and unloading.

4 結(jié) 論

本文在熱彈-黏塑性晶體塑性模型的基礎(chǔ)上,考慮孿晶增長(zhǎng)與晶粒碎化過(guò)程,針對(duì)Be材料建立了含孿晶的熱彈-黏塑性晶體塑性模型.進(jìn)一步,采用該理論模型模擬了Be材料在動(dòng)態(tài)加載下的強(qiáng)度隨壓力的變化情況,結(jié)果表明本模型能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)Be材料在高壓力加載下的屈服強(qiáng)度.本文發(fā)展的模型能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)材料的準(zhǔn)彈性卸載行為,分析表明非線彈性變形過(guò)程是導(dǎo)致材料準(zhǔn)彈性卸載的主要原因.最后,研究了Be材料沖擊加載和卸載過(guò)程中孿晶份額的變化,發(fā)現(xiàn)卸載過(guò)程也能導(dǎo)致孿晶份額的增長(zhǎng).