苑新喜

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

引 言

衍射光柵光譜儀和法布里-珀羅(F-P)干涉儀是兩類常見的光譜儀器。借助于光的相干疊加效應(yīng),這兩類光譜儀器比棱鏡光譜儀有著更高的分辨率,因而在光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)研究中,衍射光柵光譜儀和F-P干涉儀這兩類光譜儀器通常占據(jù)著非常重要的地位[1]。

光的相干長度是光波的一項重要特征參數(shù)。光的相干長度必定會對波列的疊加效果在某些方面產(chǎn)生一定的影響。但我們注意到,現(xiàn)有理論[1-7]在分析光柵光譜儀和F-P干涉儀的色分辨率時,完全忽略了光的相干長度對相干疊加效果的可能的影響。本文因此探討了光的相干長度對這兩類光譜儀器分辨本領(lǐng)的影響。

1 相干長度

在光譜儀的譜線圖中,如果波長λ與其相鄰波長λ+Δλ的同一級次的條紋(或主極大)恰好(或剛好)被區(qū)分開來,則該光譜儀的色分辨率RP=λ/Δλ。在討論光譜儀的分辨率時,本文已假定光譜儀是無像差的理想光學(xué)系統(tǒng)[2]。

光的相干長度源自于對光源發(fā)光過程和干涉條件的認(rèn)識。從波動的角度看,光源內(nèi)每個原子的每一次發(fā)光只能發(fā)出一段長度有限的波列。在普通的光源內(nèi),各個原子的發(fā)光完全是自發(fā)的,各原子的各次發(fā)光是相互獨立,互不相關(guān)。為了獲得相干光,將普通的光源內(nèi)同一原子的同一次發(fā)出的光分成兩部分或更多,也就是把同一個原初波列分成兩個或兩個以上的子波列。從同一個原初波列分出的這些子波列如果能在空間某點相遇從而相互疊加,就會產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。因此,這些子波列到達(dá)該點時的光程差必須小于波列的長度,否則彼此錯開地通過該點而無法相遇和疊加。所以,波列的長度L就是產(chǎn)生干涉時光程差的極大值,這一極值長度稱為相干長度,不少文獻(xiàn)[8-9]對此都有著直觀生動的示意圖。光的相干長度表現(xiàn)了光的時間相干性,與光的相干長度等效的另外兩個概念分別是相干時間[1,3-7]和光譜寬度[4-7],在此不再贅述。

普通光源的相干長度通常在毫米級到幾十厘米之間[2-3, 6],跟激光光源相比這是很有限的。我們認(rèn)為,只要涉及到光的相干疊加,特別是在使用普通光源的場合,就不能不考慮相干長度的有限性對干涉效果的影響。

2 光的相干長度對光柵分辨本領(lǐng)的影響

文獻(xiàn)[1]給出了一維透射光柵色分辨本領(lǐng)的通用表達(dá)式:

(1)

式中:N為光柵的總的透光狹縫數(shù);d為光柵常數(shù);θ為衍射角;θ0為入射平行光與光柵平面法向的夾角;k為光的衍射(極大)級次。如圖1所示,透光狹縫的長度方向垂直于紙面。Nd|sinθ-sinθ0|表示從光柵兩端(相距Nd)衍射到θ方向的兩條光線之間的光程差。從表面看,似乎N越大,光柵的色分辨本領(lǐng)越高。這個結(jié)論值得商榷,因為推導(dǎo)出RP=Nk的前提是從這N條透光狹縫衍射出的光線同時經(jīng)過觀察點而沒出現(xiàn)相互錯開現(xiàn)象,并沒有考慮到光的相干長度的有限性。

圖1 一維透射光柵示意圖Fig.1 Illustration of one-dimensional transmission grating

若考慮光的相干長度L,定義

N(L,θ)=[L/(d|sinθ-sinθ0|)]

(2)

即N(L,θ)取小于或等于L/(d|sinθ-sinθ0|)的那個最大整數(shù),N(L,θ)隨著不同的光線的相干長度L與衍射方向θ的改變而改變。由于衍射光柵相鄰?fù)腹猹M縫的光程差d|sinθ-sinθ0|很小,N(L,θ)往往很大,常以百或千計。我們認(rèn)為,當(dāng)N>N(L,θ)時,光柵的分辨本領(lǐng)RP=N(L,θ)k

根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理,光柵的每個透光狹縫都可以看成是發(fā)射子波的次波源,從每個透光狹縫出來的衍射光(子波列)因為光程不同,都會依次到達(dá)并通過觀測點,不妨稱該點為P點。相鄰狹縫出來的衍射光(子波列)到達(dá)P點的間隔是d|sinθ-sinθ0|/c(c為光速)。第一個狹縫出來的衍射光(子波列)最先到達(dá)P點,但是波列長度有限(即光的相干長度L有限);當(dāng)從第一個狹縫出來的衍射光(子波列)離開P點時,第N(L,θ)+1個狹縫出來的衍射光(子波列)才到達(dá)P點;當(dāng)?shù)诙€狹縫出來的衍射光(波列)離開P點時,第N(L,θ)+2狹縫出來的衍射光(波列)才到達(dá),依次類推。當(dāng)?shù)箶?shù)第N-N(L,θ)個子波列到達(dá)P點時,倒數(shù)第N-2N(L,θ)-1個子波列已離開P點,…,當(dāng)最后一個狹縫出來的子波列到達(dá)P點時,倒數(shù)第N-N(L,θ)-1子波列已離開P點。同一時刻參與P點相干疊加的衍射光(子波列)的個數(shù)最多是N(L,θ)個,有N(L,θ)個衍射光(子波列)同時參與P點相干疊加的這種狀態(tài)最長持續(xù)時間為(N-N(L,θ)+1)d|sinθ-sinθ0|/c。當(dāng)N>N(L,θ)時,N再怎么增加,同時參與疊加的子波列數(shù)依然是N(L,θ),對應(yīng)的分辨本領(lǐng)Rp=N(L,θ)k,也不會隨著N的增加而提高,只會延長單個入射波列透射過光柵后在該處的所形成的最大光強(qiáng)的持續(xù)時間。

這里需要說明兩點:一是光柵衍射可看成是等振幅、等相位差的相干疊加,這才使得上述公式Rp=N(L,θ)k直接套用了現(xiàn)有文獻(xiàn)[1-7,9]推導(dǎo)出的公式Rp=Nk,推導(dǎo)過程因此從略;二是考慮了相干長度后,光柵色分辨本領(lǐng)Rp由Nk改寫成N(L,θ)k,實際上是入射波列的單色性的一種體現(xiàn)。也就是說入射波列的自身單色性限制了光柵色分辨本領(lǐng)的充分發(fā)揮。這一點可理解為,如果入射波列的自身單色性很差,怎么能期望光柵將其與相近波長的其他波列分辨出來?

因此,定義N(L,θ)為給定相干長度L時在衍射角θ方向上的有效透光狹縫數(shù)。由于衍射角θ與衍射級次k有對應(yīng)關(guān)系d|sinθ-sinθ0|=kλ,也可從另外一個角度將N(L,k)=L/(kλ)定義為第k級衍射的有效透光狹縫數(shù)。

總之,一般文獻(xiàn)[1-7,9]所給出的衍射光柵的色分辨率Rp=Nk是有條件的,在光柵的透光狹縫總數(shù)小于或等于有效透光狹縫數(shù)(即N≤N(L,θ))時才能成立。

3 光的相干長度對F-P干涉儀分辨本領(lǐng)的影響

F-P干涉儀經(jīng)常用來研究光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。F-P干涉儀采用平行平面板產(chǎn)生多光束干涉條紋。構(gòu)成干涉儀的兩塊平面玻璃板或石英板的內(nèi)表面各鍍有高反射率的部分透射膜,且相互平行,因而當(dāng)中形成一個平行平面空氣層。不妨設(shè)兩內(nèi)表面間距為h,光在兩內(nèi)表面之間來回反射時的反射角為θ,如圖2所示。

圖2 F-P干涉儀示意圖Fig.2 Illustration of F-P interferometer

光的照射在正入射附近,因此θ趨于0。如果板面足夠長,光在兩個內(nèi)表面之間反射的次數(shù)就會很大,透射出的光束數(shù)目N也就很大。不同于衍射光柵,這N條透射光束相干疊加不是等振幅、等位相差的相干疊加,而是振幅等比率衰減、等位相差的相干疊加[1-7],疊加后的合(復(fù))振幅為[1,6]

(3)

式中:r′為光每次在內(nèi)表面的振幅反射系數(shù);t與t′分別是光在內(nèi)表面的第一次入射時與最后出射時振幅透射系數(shù);A(i)為入射光束的復(fù)振幅;δ為相繼光束的位相差。易知,δ=4πn′hcosθ/λ,n′為平行平面之間空氣(介質(zhì))層的折射率,λ為相應(yīng)的波長。

常常為簡化計算,取N→∞,r′2N=0。在這種情況下,這N條透射光束相干疊加后合振幅簡化為[1,5-6]

(4)

完全與N無關(guān)。此時,相應(yīng)的總透射光強(qiáng)[1-7]

(5)

該式就是平行平面板多光束干涉中的關(guān)于透射光的愛里公式,其中I(i)為入射光強(qiáng),R=r′2為光每次在內(nèi)表面的反射率,相關(guān)的透射率T=tt′=1-R[1]。

ε=2.07π/(S/0.97)=2π/S

(6)

I(t,N→∞)/I(i)隨位相差δ變化的曲線如圖3所示,在許多文獻(xiàn)[1-7]中均有類似的圖示。圖3也給出了判據(jù)ε的示意圖。

圖3 I(t,N→∞)/I(i)隨位相差δ變化的示意圖Fig.3 I(t,N→∞)/I(i) as a function of phase difference δ

若R≈0.9,由mS所算出的F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)高于一般的光柵光譜儀和棱鏡光譜儀,但實際上F-P干涉儀不會達(dá)到這樣高的分辨本領(lǐng),文獻(xiàn)[5]明確而簡單地將之歸因于譜線自身的寬度。從本文的觀點看,實際上就是光的相干長度影響了F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)的充分發(fā)揮。有限的光的相干長度意味著不是所有的透射光束能同時經(jīng)過觀測點而參與相干疊加,上面的推導(dǎo)中N→∞的取設(shè)應(yīng)是有條件的。下面對此具體分析。

若考慮相干長度,同一時刻參與疊加的透射光光束數(shù)N(L,θ)依然是相干長度除以相繼光束的光程差2n′hcosθ,即N(L,θ)=[L/(2n′hcosθ)],理由同前面衍射光柵的分析一樣。同衍射光柵不同,F-P干涉儀中參數(shù)h較大(h甚至可高達(dá)10 mm[3],與一些普通光源的相干長度相當(dāng)),導(dǎo)致相繼光束的光程差較大。在這種情況下,可知N(L,θ)一般不是很大,有時甚至N(L,θ)<5,N(L,θ)的數(shù)值往往在十幾到二十幾之間。這時就不能輕易地取設(shè)N(L,θ)→∞,因此上述平行平面板多光束干涉中的關(guān)于透射光的愛里公式要相應(yīng)地修改為

(7)

相比于原先的愛里公式,I(t,N=N(L,θ))比I(t,N→∞)多了一個因子式ξ=1+R2N(L,θ)-2RN(L,θ)cos(N(L,θ)δ),即I(t,N=N(Lθ))=ξI(t,N→∞)=ξζI(i)。易知,在反射率及相干長度給定的情況下,ξ也是位相差δ的單值函數(shù),具有一定的周期性,但ξ的周期是ζ周期的1/N(L,θ)(注意,通常情況下F-P干涉級次m很高,級次變化不大時,如從m-1級變化到m級,對應(yīng)光程差的變化相對很小,N(L,θ)可視為常數(shù))。更為重要的是當(dāng)ζ出現(xiàn)極大值時,ξ卻出現(xiàn)極小值。不僅如此,若取R=0.87,N(L,θ)=16,則ξmin=0.796,ξmax≈1.23,(ξmax-ξmin)/ξmin>50%,(ξmax-ξmin)/(ξmax+ξmin)≈21%。這時,ξ因子對疊加后總透射光強(qiáng)分布的影響不可小覷,從而可明顯影響干涉儀的分辨本領(lǐng)。I(t,N→∞)/I(i)(即ζ)與ξ均無量綱,且取值范圍相近,為便于對比,本文將I(t,N→∞)/I(i)與ξ的隨位相差δ變化的曲線畫在一張示意圖上,如圖4所示,其中圖中的ξ曲線取N(L,θ)=16。

圖4 I(t,N→∞)/I(i)和ξ隨位相差δ變化的示意圖Fig.4 I(t,N→∞)/I(i) and ξ as a function of phase difference δ

如果仿照現(xiàn)有文獻(xiàn)的方法[1,3-7],由上述I(t,N=N(L,θ))表達(dá)式去求解F-P干涉儀色分辨本領(lǐng),由于I(t,N=N(L,θ))形式上遠(yuǎn)比I(t,N→∞)復(fù)雜,在數(shù)學(xué)上不太可能象I(t,N→∞)那樣有單一而確定的代數(shù)表達(dá)式解。經(jīng)過一些簡單的數(shù)值估算后,對比ξ和ζ的二者關(guān)系,可得到如下幾條定性結(jié)論:

(1) 反射率R越高,同時N(L,θ)越大,光的相干長度對F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)影響越小。比如當(dāng)R≥85%,N(L,θ)≥32時,其影響可以忽略不計,等同于現(xiàn)有文獻(xiàn)中N→∞的結(jié)果,即Rp=mS。

(2) 反射率R不足夠高,或N(L,θ)不足夠大,相干長度對F-P干涉儀分辨本領(lǐng)將會有顯著的影響。以位相差δ為自變量的I(t,N=N(L,θ))/I(i)函數(shù)曲線在峰值附近不再象I(t,N→∞)/I(i)那么尖銳,而會被ξ大大拉寬或拉平。同時,I(t,N=N(L,θ))/I(i)在其峰值附近劇烈變化,此時極有可能導(dǎo)致出現(xiàn)偽線。

(3) 反射率R不夠高,同時N(L,θ)也不足夠大,相干長度對F-P干涉儀分辨本領(lǐng)將會有很大的影響。

(4) 當(dāng)N(L,θ)(ε/2)=π,即N(L,θ)=S時,以位相差δ為自變量的ξ函數(shù)曲線的極大值出現(xiàn)在ζ(即I(t,N→∞)/I(i))的半值附近,F-P干涉儀分辨效果大大降低,極有可能無法分辨。

(5) 當(dāng)N(L,θ)(ε/2)=2π,即N(L,θ)=2S時,ξ函數(shù)曲線的極小值出現(xiàn)在ζ的半值附近,F-P干涉儀分辨效果大大提高,分辨效果最佳。

在實際工作中就要全面考慮具體的光源特性、F-P干涉儀的具體參數(shù)和實際看到的光譜線等情況進(jìn)行綜合分析和判斷,以得到優(yōu)良和可靠的測量數(shù)據(jù)。

由以上論述可以看出,N(L,θ)在分析F-P干涉儀的分辨本領(lǐng)時顯得比較重要。將N(L,θ)定義為有效透射光光束數(shù),此N(L,θ)與前面所述及的有效光束數(shù)S[1-2,5]有著本質(zhì)的區(qū)別,前者由相干長度與對應(yīng)的光程差決定,后者只由反射率R決定。

4 結(jié) 論

相干長度是光的一種本質(zhì)屬性。通過以上的分析可以看出,光的相干長度限制了同時參與相干疊加的光束數(shù)目,因此在一定條件下,光的相干長度對衍射光柵光譜儀和F-P干涉儀這兩類光譜儀器的分辨率是有明顯影響的,是不能完全忽視的。本文通過對衍射光柵光譜儀和F-P干涉儀這兩類光譜儀器工作原理的進(jìn)一步研究,彌補了現(xiàn)有理論中的一點不足,為這兩類光譜儀器更好地在實際工作中應(yīng)用提供了參考。