單世鐸張華海李世金

（1.江蘇建筑職業(yè)技術學院，江蘇 徐州221008;2.中國礦業(yè)大學環(huán)境與測繪學院，江蘇 徐州221116）

0 引 言

井下煤礦開采是一項高風險的工作，而對井下采礦工程進行測量則能幫助礦產(chǎn)企業(yè)準確預測風險，進而規(guī)避風險，同時還能為井下采礦作業(yè)人員的人身安全提供可靠保障[1]。但是，井下測量作業(yè)條件非常艱苦，如何準確、高效地完成井下工程測量則對于礦產(chǎn)企業(yè)及作業(yè)人員都有非常重要的意義。對于井下水準測量[2-3]，其數(shù)據(jù)處理中常用的方法有條件平差法[4-8]和間接平差法[9-11]，由于其計算復雜度較高，在實際井下測量過程中往往會帶來不可避免的麻煩。因此，本文引入一種高效、準確的具有迭代性質的分配閉合差法，并選擇井下工程測量中經(jīng)常遇到的水準測量網(wǎng)進行實際數(shù)據(jù)案例計算。計算結果表明，在一定精度要求情況下，有限次數(shù)的分配閉合差法能夠達到條件平差法的效果;且分配閉合差法計算簡單易學，特別適合在井下作業(yè)中應用。

1 水準測量中條件平差基本原理

水準測量條件平差法以高差觀測值L的改正數(shù)V與閉合環(huán)高差閉合差（或已知點間附合高差閉合差）W之間的關系為條件，依據(jù)最小二乘法原理進行平差，具體計算過程[12]如下:

（1）條件方程為:

式（1）—（2）中，W表示條件方程式的閉合差向量，L為觀測值向量，A為系數(shù)矩陣，A0為常數(shù)向量，V為改正數(shù)向量，設條件方程式的系數(shù)為a ij，寫成純量形式為:

（2）法方程:

（3）計算改正數(shù)V i和平差后值

（4）評定精度——單位權中誤差

式（7）中，r為條件方程式個數(shù)（多余觀測個數(shù)）。

（5）條件平差中的注意事項

①計算前應繪制水準網(wǎng)平差略圖:在圖上標明各已知點、待定點的點名與編號，高差觀測值及路線長等信息;② 確定條件方程個數(shù)。條件方程式要互相獨立（線性無關）且足數(shù)（等于多余觀測個數(shù)）。

2 條件平差與分配高差閉合差法在簡易水準路線中的對比

對單一閉合或附合水準路線的條件平差，其實際上是將閉合差對高差進行權分配，即按各高差路線長成正比分配閉合差，然后計算各個待定點的高程。而對于兩個或三個以上的閉合環(huán)，其條件平差與逐環(huán)分配閉合差法的對比如下。

（1）按條件平差法進行平差計算

如圖1所示，1為已知高程點，2、3、4、5、6分別為待定高程點。為了簡化計算，設各測段路線長均為1 km，各高差單位為m，高差閉合差單位為mm。高差閉合差W1=―8.9 mm，W2=6.5 mm，列出兩個改正數(shù)條件方程式后，組成法方程，解算兩個聯(lián)系數(shù):

K1=―4W1/15+W2/15=2.806 67

K2=―4W2/15+W1/15=―2.326 67。

圖1 兩個閉合環(huán)水準網(wǎng)

依據(jù)式（6）計算各高差改正數(shù)，計算改正后的高差以及各點高程（表1）。

表1 逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法結果比較

（2）按逐環(huán)分配閉合差法進行平差計算

如圖1所示，逐環(huán)分配閉合差計算過程如表2所示。表2中各高差單位為m，高差閉合差單位為mm。

計算步驟如下。

① 首先計算第一環(huán)閉合差（-8.9 mm）并進行分配。公共邊3→4分配后的高差為9.255 225 m，參與第二環(huán)閉合差的計算。

② 計算第二環(huán)閉合差（8.725 mm）并進行分配。公共邊3→4分配后的高差為9.253 044 m，參與第一環(huán)計算二次閉合差。

重復上述步驟，分別進行三次分配閉合差迭代處理。

三次分配計算后的高差與條件平差值之差小于0.01 mm（表2）。

表2 兩個閉合環(huán)逐環(huán)分配閉合差計算法

三個閉合環(huán)用逐環(huán)分配閉合差法進行平差計算，其計算方法與上述數(shù)據(jù)例類同。通過數(shù)據(jù)例計算，三次閉合差分配后，其高差值與條件平差值相差小于0.01 mm。因篇幅所限，文中不再列出。

兩個或三個以上閉合環(huán)的水準網(wǎng)是井下工程測量中常用的網(wǎng)型。通過對比可知，對于兩個或三個以上閉合環(huán)的水準網(wǎng)，逐環(huán)分配閉合差3次后，所得結果與條件平差法比較，其差值小于0.01 mm。

3 田字型水準網(wǎng)按逐環(huán)分配閉合差法計算案例

如圖2所示，由于井下巷道的開鑿，其伴隨著巷道的田字型水準網(wǎng)測量是常用的井下高程測量方格網(wǎng)，圖2中，1為已知高程點，2—9為待定高程點。從已知點開始，閉合環(huán)高差指向分別為順時針、逆時針、順時針、逆時針方向，相鄰閉合環(huán)之間的公共高差箭頭指向一致。設各測段路線長均為0.50 km，各測段高差值如下所示（表3），各高差單位為m，高差閉合差單位為mm。其相對應的計算步驟依次為:

（1）計算第1環(huán)的閉合差并進行分配

因設各段路線長均為0.50 km，且其閉合差為W1=4.0，故各高差改正數(shù)為:V1=V2=V3=V4=-W1/4=-4.0/4=-1.0（mm）

（2）計算第2環(huán)的閉合差并進行分配

在第1環(huán)閉合差分配后，相鄰高差得到改正，再計算第2環(huán)的閉合差，其數(shù)值為W2=5.0。

同樣，設各段路線長均為0.50 km，故各高差改正數(shù)為:V5=V6=V7=V8=-W2/4=-5.0/4=-1.25（mm）

（3）對第3環(huán)的閉合差進行分配

第3環(huán)的閉合差也是在第1環(huán)相鄰高差改正后計算的閉合差，其數(shù)值為:W3=6.0。

同樣，設各段路線長均為0.50 km，故各高差改正數(shù)為:V2=V8=V9=V10=-W3/4=-6.0/4=-1.5（mm）

（4）對第4環(huán)的閉合差進行分配

第4環(huán)的閉合差是在第2環(huán)、第3環(huán)相鄰兩個高差改正后計算的閉合差，其數(shù)值W4=0.25。

同樣，因設各段路線長均為0.50 km，故各高差改正數(shù)為:V7=V8=V11=V12=-W4/4=-0.25/4=-0.062 5（mm）

（5）重復1—4步驟，逐環(huán)逐次分配各環(huán)閉合差。

經(jīng)3次分配閉合差后，高差改正數(shù)之和與條件平差法改正數(shù)值之差小于0.02 mm。如以h1為例，3次改正數(shù)之和為-0.234 5，條件平差結果為-0.22。公共邊高差改正數(shù)取相鄰環(huán)高差改正數(shù)之和，如以h3為例，3次改正數(shù)之和為-0.234 5-1.445 0=-1.679 5，條件平差結果為-1.67，其差值小于0.01 mm。當經(jīng)過4次閉合差分配迭代處理后，其結果精度更高。

圖2 田字型水準網(wǎng)

表3 田字型水準網(wǎng)逐環(huán)分配閉合差法計算表（僅列出3次分配）

若有兩個已知高程點，以三個閉合環(huán)兩端各有一個已知高程點的水準網(wǎng)為例，按條件平差法，需要列出4個改正數(shù)條件方程式，組成法方程后解算4個聯(lián)系數(shù)，計算高差改正數(shù)。而逐環(huán)（包括兩個已知點間的附合條件閉合差）分配閉合差，經(jīng)4次分配后，高差改正數(shù)與平差計算結果比較，同樣能滿足精度要求。

4 逐環(huán)分配高差閉合差法理論分析

單一閉合環(huán)分配閉合差法與條件平差法的處理結果是一致的，在第2節(jié)中已得到闡述。下面針對含有兩個或三個以上閉合環(huán)的復雜水準網(wǎng)測量數(shù)據(jù)在處理過程中，采用逐環(huán)分配閉合差法與條件平差的數(shù)據(jù)結果進行理論分析。

4.1 兩個閉合環(huán)逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法

（1）采用條件平差法

對于圖1所示的兩個閉合環(huán)條件平差，列出高差改正數(shù)條件方程后，組成法方程，解算聯(lián)系數(shù)，計算高差改正數(shù)。在本文第2節(jié)中已經(jīng)給出:K1=―4W1/15+W2/15=2.806 67，K2=―4W2/15+W1/15=―2.326 67。高差改正數(shù)按式（6）計算，因為各高差的權皆為1，所以h1、h2、h3的改正數(shù)結果就是K1，h5、h6、h7的改正數(shù)就是K2，公共邊高差h4的改正數(shù)則是K1+K2=0.48。

（2）采用逐環(huán)分配閉合差法

①h1（h2、h3類同）的改正數(shù)3次累計為:V1=―4W1/15.003 66+W2/15.058 82

將W1、W2數(shù)據(jù)代入后得:V1=2.804 394 5;

②h5（h6、h7類同）的改正數(shù)3次累計為:V5=―4W2/15.003 663+W1/15.003 663

將W1、W2數(shù)據(jù)代入后，V5=―2.326 099;h4的改正數(shù)是V1+V5:V4=0.478 3，與條件平差結果之差小于0.002。

③h1、h2、h3的 改 正 數(shù) 4 次 累計為:V1=―4W1/15.00 366+W2/15.058 82=2.806 62

④h5、h6、h7的改正數(shù)4次累計為:V5=―4W2/15.000 228 89+W1/15.003 66=―2.326 50

h4的改正數(shù)是V1+V5:V4=0.480 1，與條件平差結果之差小于0.000 1。

對于兩個閉合環(huán)的水準網(wǎng)，在環(huán)閉合差滿足規(guī)范要求條件下，逐環(huán)3次分配閉合差已能夠滿足精度要求。從改正數(shù)的累計計算公式也可以看出，計算公式實際上是一種迭代計算式，按照其規(guī)律，不難寫出4次、5次閉合差分配計算公式，其對應的結果精度也更高。

4.2 多個閉合環(huán)逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法

以井下田字型水準網(wǎng)為例，對多個閉合環(huán)采用逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法的比較進行理論分析。

（1）田字型水準網(wǎng)采用條件平差法

以上述圖2田字型水準網(wǎng)為例，列出高差改正數(shù)4個條件方程后，組成法方程，解算4個聯(lián)系數(shù)，計算高差改正數(shù)。聯(lián)系數(shù)計算公式如下:

從聯(lián)系數(shù)計算公式的規(guī)律可以看出，每個閉合環(huán)對應的聯(lián)系數(shù)計算式右邊第一項為該環(huán)閉合差的約1/4，相鄰環(huán)閉合差的1/12，對角環(huán)閉合差的1/24。

（2）田字型水準網(wǎng)采用逐環(huán)分配閉合差法

僅以h1為例，分別計算第1、2、3、4次改正數(shù)，然后相加，與條件平差結果比較:

四次改正數(shù)之和:

與條件平差K1比較，公式右邊各項符號一致，系數(shù)值相近:

K1=―0.291 67W1+0.083 33W2+0.083 3W3―0.041 67W4=―0.208 333

兩者相差小于0.01 mm。

5 結 語

（1）本文對井下工程測量中經(jīng)常遇到的水準測量網(wǎng)，采用逐環(huán)分配閉合差的方法進行數(shù)據(jù)處理，并與條件平差法進行對比，通過大量實例計算驗證及理論分析，表明逐環(huán)分配閉合差法對水準網(wǎng)進行數(shù)據(jù)處理是一種簡便、實用和行之有效的數(shù)據(jù)處理方法。

（2）實際應用中需要注意的是:① 分配閉合差計算之前，應先計算水準網(wǎng)中各個環(huán)的高差閉合差，在符合水準測量規(guī)范規(guī)定的要求下再采用逐環(huán)按權倒數(shù)（或路線長）進行分配閉合差的計算;② 注意相鄰閉合環(huán)的閉合差計算方向與公共高差指向一致，且前一環(huán)閉合差分配后的公共邊高差用于后一環(huán)的閉合差計算;③ 一般經(jīng)3—4次分配后達到預期的效果;④ 對各次改正數(shù)求和作為最后的改正數(shù)，繼續(xù)計算單位權中誤差，計算改正后的高差和各待定點高程;⑤對于一條水準路線上有多個水準點的水準網(wǎng)，可以合并為一條單一的水準路線，多條水準路線構成僅含有結點的水準網(wǎng)，按上述方法最后求出各結點的高程后，各單一水準路線再進行分配閉合差計算。