梁 超，高宏力，彭志文，文 剛

（西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

目前，并聯(lián)機器人的機構(gòu)剛性、承載能力、運動控制性能均優(yōu)于串聯(lián)機器人，故其廣泛應(yīng)用于醫(yī)療器械、武器、并聯(lián)床等行業(yè)。因此，對并聯(lián)機器人的研究是很有必要的[1]。但并聯(lián)機器人具有較強的非線性及耦合性的特點，且機構(gòu)越復(fù)雜，自由度越高其耦合性越突出，對其實現(xiàn)高精度控制也越困難[2]。采用的3-RPS并聯(lián)機器人是在Stewart六自由度并聯(lián)機器人的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的[3]。具有三個自由度，故其機構(gòu)的耦合性弱于Stewart，可適用于某些對控制精度要求較高又不需要高自由度的場合[4]。涉及的3-RPS并聯(lián)機構(gòu)分別由三組轉(zhuǎn)動副、移動副、球面副并聯(lián)于上下平臺而構(gòu)成的[5]。通過改變?nèi)齻€移動副的位移使上平臺產(chǎn)生上下移動、左右搖擺、前后俯仰三個自由度。

并聯(lián)機器人具有復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算性，其機構(gòu)多為高自由度、高非線性、高度耦合的特點[6]。目前，主要應(yīng)用于并聯(lián)機器人的建模方法有Lagrange法、Newton-Euler法、Kane法、Gauss法及虛功原理法等[7]。采用Newton-Euler法建立機構(gòu)的逆動力學(xué)模型，并利用Simulink及Simmechanics對模型的準(zhǔn)確性進行了驗證。

由于并聯(lián)機器人具有很強的非線性及存在未建模誤差，故對其實現(xiàn)高精度控制較為困難。當(dāng)前廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機器人控制算法的有計算力矩控制等[8]，但由于沒有考慮到系統(tǒng)的未建模誤差導(dǎo)致系統(tǒng)的控制精度不高。基于Lyapunov理論采用不確定性魯棒控制方法，充分考慮系統(tǒng)的不確定性，基于系統(tǒng)定義的標(biāo)稱模型設(shè)計系統(tǒng)的計算力矩控制方法作為鎮(zhèn)定標(biāo)稱系統(tǒng)，基于Lyapunov函數(shù)設(shè)計系統(tǒng)的魯棒補償控制器以補償系統(tǒng)不確定性及為建模誤差引起的系統(tǒng)控制誤差。使用Matlab/Simulink軟件對所設(shè)計的魯棒控制系統(tǒng)進行仿真，并與傳統(tǒng)的計算力矩進行了對比試驗，結(jié)果證明魯棒控制的控制精度優(yōu)于計算力矩控制。

2 動力學(xué)分析

3-RPS的機構(gòu)簡圖，如圖1所示。其下平臺A1A2A3位于半徑為R的圓內(nèi)接等邊三角形的三個頂點，通過轉(zhuǎn)動副與移動副相連，且轉(zhuǎn)動副的軸線與圓相切。上平臺B1B2B3位于半徑為r的圓內(nèi)接等邊三角形的三個頂點，通過球面副與移動副相連。機構(gòu)動作時，通過驅(qū)動移動副的主驅(qū)動關(guān)節(jié)實現(xiàn)上平臺產(chǎn)生上下位移z、左右搖擺α、前后俯仰β三個自由度。

圖1 3-RPS機構(gòu)簡圖Fig.1 3-RPS Mechanism

2.1 動力學(xué)模型的建立

分別以上下平臺的圓心P，O為原點建立動坐標(biāo)系P-xyz和定坐標(biāo)系O-XYZ。以向量為Z軸的方向向量為X軸方向，Y軸由右手定則確定。同理確定動坐標(biāo)系P-xyz。以Ai為原點建支鏈坐標(biāo)系 A-xyz向量方向為zi軸方向，轉(zhuǎn)動副的軸線為yi軸。

iiii假設(shè)機構(gòu)的各個構(gòu)件為剛性體，且忽略各轉(zhuǎn)動副及移動副間的摩擦阻力。利用Newton-Euler方法構(gòu)建系統(tǒng)的逆動力學(xué)模型[9]；

聯(lián)立式（1）～式（3）代入式（4）可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

式中：mp、m2—上平臺及活塞桿的質(zhì)量和定坐標(biāo)系下的加速度，g=（0，0，-g）c為重力加速度；F、N—平臺載荷及合外力矩；θi—移動副與動坐標(biāo)系Z軸的夾角—直支鏈坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系、動坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣—各球面副中心在上平臺的位置向量—上平臺在動坐標(biāo)系下的合力矩；Ai—在支鏈坐標(biāo)系下的合力矩—支鏈 i關(guān)于 Ai的合角動量；M（q）—正定慣性矩陣柯氏及向心力矩陣的非線性耦合項；G（q）—重力矩陣，q=（z，α，β）T。

2.2 機構(gòu)逆動力學(xué)仿真模型

Simulink具有邏輯結(jié)構(gòu)清晰、仿真效率高、結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確且非常適合于動態(tài)系統(tǒng)的建模與分析。故通過使用Simulink來構(gòu)建系統(tǒng)的子函數(shù)模塊以及利用Simulink中便利的矩陣運算來實現(xiàn)系統(tǒng)逆動力學(xué)方程程序的編寫，方便實現(xiàn)系統(tǒng)仿真運行的高效性及準(zhǔn)確性，為進一步系統(tǒng)控制仿真奠定基礎(chǔ)。其逆動力學(xué)Simulink模型，如圖2所示。Simmechanics是基于Simulink的機械系統(tǒng)建模軟件，通過約束、驅(qū)動其中的關(guān)節(jié)及移動副等，可實現(xiàn)機構(gòu)按照預(yù)先設(shè)定的軌跡進行運動，且Simmechanics中提供了大量的傳感器模塊，為機構(gòu)的運行監(jiān)測及反饋控制提供了便利。系統(tǒng)Simmechanics建模示意圖，如圖3所示。

圖2 Simulink系統(tǒng)逆動力學(xué)模型Fig.2 Inverse Dynamics Model of Simulink System

圖3 系統(tǒng)Simmechanics建模Fig.3 System Simmechanics Modeling

3 魯棒控制器設(shè)計

由式（5）可知并聯(lián)機器人是一類具有高耦合性及非線性較強的系統(tǒng)，易受到環(huán)境因素及模型不準(zhǔn)確的影響。在傳統(tǒng)的計算力矩控制器中通過系統(tǒng)反饋的速度、加速度與輸入的理想速度、加速度之間的差值再基于系統(tǒng)的標(biāo)稱模型PD調(diào)節(jié)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣分項。其忽略了系統(tǒng)本身模型的不確定性及非線性因素?；贚yapunov函數(shù)設(shè)計了一種魯棒控制方法，通過在計算力矩控制的基礎(chǔ)上增加一項魯棒控制器，用以抵消由于系統(tǒng)模型的不確定性及非線性而引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，有效的改善了系統(tǒng)的控制精度，通過仿真結(jié)果證明了本系統(tǒng)的有效性。

由式（5）考慮具有外部干擾f∈Rn的的動力學(xué)方程：

具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1對于正定矩陣M（q）及其逆矩陣M-1（q）對?q∈Rn一致有界。

性質(zhì)2動力系統(tǒng)可通過如下方程表示：

式中：α—系統(tǒng)參數(shù)的一個 m 維向量，Y（q，q˙，q¨）—n×m 的矩陣。設(shè)計的魯棒控制律為[10]：

由式（8）可知，令：

將式（2）、式（7）、式（8）代入式（6）可得：

在常見的魯棒控制律被應(yīng)用于機器人控制的文獻中，廣義誤差項常被定義為x=［e，e˙］T，其所定義的誤差方程為2n階，而采用的魯棒控制律設(shè)計所定義的誤差方程γ~為n階。

由式（10），選取k2滿足Lyapunov方程

式中：P—正定矩陣，且Q=QT≥0。構(gòu)造系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為：

則對其時間求導(dǎo)，將（10）式代入可得：

設(shè)非線性控制律μ：

由式（11）及系統(tǒng)不確定項φ得：（φ+μ）＜0；

故：V˙（t，x）＜-xTQx＜0

若系統(tǒng)滿足Lyapunov方程，選取k1使得Re［λi（-k1）］＜0，i=1，2，…，n。

因此，由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知采用魯棒控制律（11）可使系統(tǒng)全局穩(wěn)定。

4 系統(tǒng)仿真算例

對3-RPS并聯(lián)機器人的跟蹤誤差進行測量，以檢驗所設(shè)計的基于計算力矩鎮(zhèn)定標(biāo)稱模型的魯棒控制算法的控制性能。因此，通過使用Matlab軟件對文中所設(shè)計的控制系統(tǒng)進行了動力學(xué)控制系統(tǒng)仿真。系統(tǒng)的物理參數(shù)，如表1所示。

表1 系統(tǒng)物理參數(shù)Tab.1 System Physical Parameters

根據(jù)系統(tǒng)物理參數(shù)模型，且符合一般性，設(shè)系統(tǒng)的輸入軌跡q 為：q=［0.6+0.1sin（2t），0.15sin（t），0.1sin（t）］T。

根據(jù)（6）式所建立的動力學(xué)模型，采用2.2節(jié)中所建立的Simulink及 Simmechanics系統(tǒng)仿真模型，采用式（8）、式（11）基于計算力矩鎮(zhèn)定控制的魯棒控制律，設(shè)計系統(tǒng)的控制算法。并設(shè)計了系統(tǒng)的計算力矩S控制器。對比了計算力矩和所設(shè)計的控制算法對理想軌跡的跟蹤精度。其仿真結(jié)果，如圖4所示。

圖4 Z方向的跟蹤軌跡Fig.4 Tracking Trajectory of Z Direction

由圖4可知，系統(tǒng)在采用計算力矩控制時，在Z方向的最大誤差精度為2.13%，在α及β角方向的跟蹤誤差分別為1.67%、1.15%；采用所設(shè)計的魯棒控制律，在Z方向的最大誤差精度為0.47%，在α及β角方向的跟蹤誤差分別為1.46%、0.92%，如圖5、圖6所示。因此基于計算力矩標(biāo)稱鎮(zhèn)定的魯棒性控制系統(tǒng)，在計算力矩的基礎(chǔ)上進一步提高了系統(tǒng)的控制精度。尤其是其在Z方向的跟蹤誤差具有較為顯著的改善，因為當(dāng)系統(tǒng)在Z方向移動時，通過直接檢測上平臺的位移信號值即可，對Z方向的誤差的敏感度較高故在較小位移誤差的條件下仍能達到較高的控制精度。而上平臺檢測到的角度是通過各個活塞桿間位移差來實現(xiàn)，其對角度誤差的敏感度較低。

圖5 α角跟蹤軌跡Fig.5 α Angular Tracking

圖6 β角跟蹤軌跡Fig.6 β Angular Tracking

5 結(jié)論

運用Newton-Euler方法構(gòu)建對3-RPS并聯(lián)機器人的逆動力學(xué)模型，并對其進行逆動力學(xué)控制，比較了當(dāng)前常用于并聯(lián)機器人的計算力矩控制策略與基于計算力矩標(biāo)稱鎮(zhèn)定的魯棒控制策略。經(jīng)仿真驗證得，所采用的基于計算力矩標(biāo)稱鎮(zhèn)定的魯棒控制策略，所設(shè)計的魯棒控制器對于控制3-RPS并聯(lián)機器人的穩(wěn)定誤差精度優(yōu)于計算力矩控制；基于計算力矩策略的魯棒控制模型充分考慮了系統(tǒng)動力學(xué)標(biāo)稱模型而引起的系統(tǒng)未建模誤差，優(yōu)化了系統(tǒng)動力學(xué)模型；在檢測上平臺的位姿時改進了檢測方法：通過對3-RPS并聯(lián)機器人上平臺位姿進行直接檢測，而非采用傳統(tǒng)的通過檢測移動副的位移換算而得到系統(tǒng)平臺的位姿，有利于對平臺的位姿進行監(jiān)測控制。