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(山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 山東 青島 266590)

近年來, 非線性系統(tǒng)的控制問題廣泛存在于物理設備的研究中, 如生物光學、機械執(zhí)行器等, 因此對于非線性系統(tǒng)的控制方案已有很多研究成果[1-4]。 特別的, 一些以線性逼近為基礎的自適應控制方案已經(jīng)從確定非線性系統(tǒng)[5-7]擴展到隨機非線性系統(tǒng)[8-11]。 文獻[8]研究了具有未知時間延遲的單輸入單輸出嚴格反饋非線性隨機系統(tǒng), 提出了一種自適應模糊控制方案。文獻[9]針對一類不確定隨機非線性嚴格反饋系統(tǒng)提出了兩種自適應模糊輸出反饋控制方法。 文獻[10]設計了一個模糊狀態(tài)觀測器來估計未測量的狀態(tài), 研究一類具有不可估量狀態(tài)的不確定隨機純反饋非線性系統(tǒng)的自適應模糊輸出反饋問題。 此外, 通過結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)的逼近能力和反推技術(shù),非線性系統(tǒng)已經(jīng)成為研究模糊控制問題的重要工具。 文獻[11]考察了非嚴格反饋形式的單輸入單輸出非線性隨機系統(tǒng)的自適應模糊控制問題, 其中用模糊邏輯系統(tǒng)來逼近不確定非線性函數(shù), 并采用反推技術(shù)構(gòu)建了自適應模糊控制器。 文獻[12]針對一類具有非嚴格反饋形式和未知非線性死區(qū)的非線性系統(tǒng)的自適應模糊跟蹤控制問題, 基于模糊邏輯系統(tǒng)的逼近能力和反推技術(shù), 提出了自適應模糊控制方案。 然而, 上述結(jié)果中的未知函數(shù)都是仿射形式的, 即輸出的狀態(tài)方程是線性形式。

純反饋非線性系統(tǒng)中的未知函數(shù)是無仿射形式。 對于純反饋非線性系統(tǒng), 基于中值定理,先后提出了一些自適應模糊控制方案[13-15]。 文獻[13]針對一類具有時變延遲的不確定隨機純反饋系統(tǒng), 提出了自適應神經(jīng)控制方案。 文獻[14]提出了一類具有未知滯后的隨機純反饋非線性系統(tǒng)的自適應模糊控制方案。 文獻[15]對于隨機純反饋非線性系統(tǒng), 提出了一類自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制方案。 然而, 這些研究忽略了外部擾動的影響。 在實踐中, 外部擾動時常是系統(tǒng)不穩(wěn)定的來源, 帶有外部擾動的系統(tǒng)對于自適應率和虛擬控制信號的設計有著更高的要求, 帶有外部擾動的系統(tǒng)比一般系統(tǒng)的研究更加困難。 近年來, 對于帶有外部擾動的系統(tǒng)研究有了一些結(jié)果[16-19]。 而對于帶有外部擾動的隨機純反饋非線性系統(tǒng)的研究成果較少。

不同于文獻[20]研究的是確定系統(tǒng), 也不同于文獻[21]中忽略了外部擾動，本文研究的是有外部擾動的隨機純反饋非線性系統(tǒng)的自適應模糊控制問題。 利用中值定理, 結(jié)合反推方法, 提出了一種新的自適應模糊控制方案。

1 準備工作和問題陳述

先介紹以下隨機非線性系統(tǒng):

dx=f(x,t)dt+h(x,t)dw,

(1)

其中,x∈Rn是狀態(tài)變量,f:Rn×R+→Rn,h:Rn×R+→Rn×r是連續(xù)函數(shù)。w是定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的r維獨立標準布朗運動, 其中Ω是樣本空間,F表示σ域, {Ft}t≥0表示范圍,P是概率測度。

定義1[22]對于二次連續(xù)可微函數(shù)V(x,t), 定義一個微分運算符L, 則:

(2)

其中,Tr是矩陣的跡。

考慮以下帶有外部擾動的隨機非線性系統(tǒng):

(3)

對于系統(tǒng)(3), 定義:

(4)

其中xn+1=u。

(5)

使用模糊邏輯控制系統(tǒng)來逼近定義在完備集Ω上的一個連續(xù)函數(shù)f(x)。 采用單點模糊化和中心平均模糊化推論得到以下模糊規(guī)則[14]:

thenyisGl,l=1,2,…,N。

(6)

其中

令

模糊邏輯系統(tǒng)(6)可以重新寫為

y(x)=φTξ(x)。

(7)

引理1[14]設f(x)是定義在完備集Ω上的連續(xù)函數(shù)。 對?ε>0, 存在一個模糊邏輯系統(tǒng)(7), 使得

(8)

則存在系統(tǒng)(1)的一個特解, 對每一個x0∈Rn, 滿足:

(9)

并且V(x,t)是有界的。

引理3[24]對?(x,y)∈R2, 以下不等式成立:

其中ε>0,p>1,q>1,(p-1)(q-1)=1。

引理4[24]考慮以下動態(tài)形式:

f(x,τ*)=0。

(10)

控制目標是: 設計一個自適應模糊控制方案, 使得系統(tǒng)輸出y跟蹤到參考信號yd, 并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是有界的。

假設2參考信號yd(t)以及它的n階導數(shù), 都是連續(xù)有界的。

2 設計自適應控制器

現(xiàn)在利用反推方法, 設計非線性系統(tǒng)(3)的自適應控制方案。 定義以下坐標變換:

(11)

其中αi-1是一個中間控制函數(shù)。

第1步考慮系統(tǒng)(3), 由z1=y-yd, 知動態(tài)誤差滿足

(12)

選擇以下Lyapunov函數(shù)

(13)

其中r1是正常數(shù)。 由式(2)和式(11)、(12), 知

(14)

根據(jù)引理3, 以下不等式成立

(15)

其中l(wèi)1是正常數(shù)。 將(15)代入(14)式, 有

(16)

(17)

根據(jù)中值定理, 存在μ1(0<μ1<1), 使得

(18)

(19)

(20)

(21)

其中a1是正常數(shù)。 選擇虛擬控制信號和自適應率分別為

(22)

(23)

其中k1和γ1是正常數(shù)。 由(25)和假設1知

(24)

再由引理2及假設1, 得

(25)

把式(21)～(25)代入式(19), 得

(26)

又

(27)

所以式(26)可以化為

(28)

(29)

其中

(30)

選擇以下Lyapunov函數(shù)

(31)

其中r2是正常數(shù)。 由式(2)和式(29), 有

(32)

由引理3, 得

(33)

其中l(wèi)2是正常數(shù)。 將式(28)、(33)代入式(32), 有

(34)

(35)

根據(jù)中值定理, 存在μ2(0<μ2<1), 使得

(36)

(37)

(38)

(39)

其中a2是正常數(shù)。 選擇虛擬控制信號和自適應率分別為

(40)

(41)

其中k2和γ2是正常數(shù)。 由式(40)和假設1知

(42)

再由引理2及假設1, 得

(43)

注意到

(44)

把式(39)～(44)代入式(37), 得

(45)

(46)

其中

(47)

選擇以下Lyapunov函數(shù)：

(48)

其中ri是正常數(shù)。 由(2)和(46), 有

(49)

由引理3, 得

(50)

其中l(wèi)i是正常數(shù)。 將(50)代入(49)式, 有

(51)

(52)

根據(jù)中值定理, 存在μi(0<μi<1), 使得

(53)

(54)

(55)

(56)

其中ai是正常數(shù)。 選擇虛擬控制信號和自適應率分別為

(57)

(58)

其中ki和γi是正常數(shù)。 由(57)和假設1知

(59)

再由引理2及假設1, 得

(60)

注意到

(61)

把式(56)～(61)代入式(54), 得

(62)

(63)

其中Lαn-1是(47)式取i=n。 選擇以下Lyapunov函數(shù)

(64)

(65)

由引理3, 得

(66)

其中l(wèi)n是正常數(shù)。 將(66)代入(65)式, 有

(67)

(68)

根據(jù)中值定理, 存在μn(0<μn<1), 使得

(69)

(70)

(71)

其中an是正常數(shù)。 選擇虛擬控制信號和自適應率分別為

(72)

(73)

(74)

其中kn、γn和σΔ是正常數(shù)。 把式(71)～(74)代入式(70), 得

(75)

又

式(75)可以重新寫為

(76)

(77)

(78)

故

(79)

從而

(80)

因此,zj收斂到完備集ΩZ, 其中

(81)

基于反推技術(shù), 自適應模糊控制器設計完成, 有如下結(jié)論。

定理1在假設1和2及初始條件下, 對于隨機純反饋非線性系統(tǒng)(3), 通過設計虛擬控制信號(57)和(72), 以及自適應率(58)和(73)～(74), 保證了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號一致有界, 并且跟蹤誤差收斂到原點的小領域。

3 仿真算例

為了說明所提出方案的有效性, 考慮以下二階隨機純反饋非線性系統(tǒng):

(82)

控制目標是設計一個自適應模糊控制器, 使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是有界的, 并且系統(tǒng)輸出y跟蹤到參考信號yd=0.5cost+sin(0.5t)。 根據(jù)定理1, 選擇以下的虛擬控制信號和自適應率:

圖1 系統(tǒng)輸出y和參考信號ydFig.1 System output yand reference signalyd

圖2 狀態(tài)變量x2Fig.2 State variable x2

圖3 系統(tǒng)輸入uFig.3 System output u

圖4 有界外部擾動的估計

圖5 自適應率和Fig.

仿真結(jié)果表明了所提出方案的有效性, 保證了系統(tǒng)輸出跟蹤到參考信號, 并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是有界的。

4 總結(jié)

針對一類具有外部擾動的隨機純反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題, 利用中值定理結(jié)合反推技術(shù), 設計了一個新的自適應模糊控制方案。 該控制方案保證了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是有界的, 并且跟蹤誤差收斂到原點的小領域。