，，，

(1.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島 266590；2.青島大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院，山東 青島 266071)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度質(zhì)量比大、精度高、承載能力強(qiáng)、易于實(shí)現(xiàn)高速等特點(diǎn)[1-3]。平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在芯片封裝及電路板精密切割等領(lǐng)域具有較廣的應(yīng)用，已逐漸成為國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn)。

目前國(guó)內(nèi)外在平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、優(yōu)化設(shè)計(jì)和剛度分析等方面做了一些研究工作[4-6]。張憲民等[7-9]研究了3-RRR和4-RRR機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。Mousavi等[10]研究了3-RPR機(jī)構(gòu)的最大奇異橢圓平面及優(yōu)化分析。Staicu[11]研究了3-PRR機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及運(yùn)動(dòng)控制。董倩文等[12]對(duì)3-PRP機(jī)構(gòu)做了運(yùn)動(dòng)學(xué)靈巧度和剛度分析。李樹軍等[13]分析了3-PRR機(jī)構(gòu)的剛度特性。韓霄等[14]對(duì)3-RRP機(jī)構(gòu)做了運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)及精度分析。王鑫輝等[15]對(duì)3-PRR機(jī)構(gòu)做了多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)及靈敏度分析。以上學(xué)者分別對(duì)不同構(gòu)型的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)做了研究，但是目前尚沒有對(duì)3-PRR機(jī)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)建模和運(yùn)動(dòng)特性分析，這是對(duì)此構(gòu)型機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制與優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。因此，本研究針對(duì)3-PRR平面并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解數(shù)學(xué)模型，分析不同姿態(tài)角對(duì)工作空間的影響。利用機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣條件數(shù)、最小奇異值、可操作性三個(gè)指標(biāo)對(duì)3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靈巧度分析。

1 3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

運(yùn)動(dòng)學(xué)反解建模分析是已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心Oa的位姿(x,y,φ)，求解出驅(qū)動(dòng)副的輸入li,li為驅(qū)動(dòng)桿AiBi的桿長(zhǎng)。

圖1 3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖(P:移動(dòng)副，R:轉(zhuǎn)動(dòng)副)Fig.1 Model diagram of 3-PRR parallel mechanism(P:Moving pair,R:Rotating pair)

3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型，見圖1。由圖1可知，3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、 動(dòng)平臺(tái)和三條對(duì)稱的支鏈組成，每個(gè)支鏈包括主動(dòng)桿和從動(dòng)桿，主動(dòng)桿通過(guò)移動(dòng)副與定平臺(tái)連接，隨著主動(dòng)桿的伸縮，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)三自由度運(yùn)動(dòng)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定坐標(biāo)系(定系)和動(dòng)坐標(biāo)系(動(dòng)系)的原點(diǎn)分別位于三角形A1A2A3和三角形a1a2a3的中心。

1.1.1 位置分析

每條支鏈驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度為li(i=1～3)，從動(dòng)桿長(zhǎng)度為Si，動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑為r，定平臺(tái)外接圓半徑為R，其中l(wèi)i和Si與定系的水平軸的夾角分別為αi和θi，ai與動(dòng)系的水平軸的夾角為βi。動(dòng)平臺(tái)中心坐標(biāo)Oa在定系下可表示為

Oa=x,y,φT。

其中：x和y為定系下動(dòng)平臺(tái)中心坐標(biāo)，姿態(tài)角φ為動(dòng)系相對(duì)于定系的轉(zhuǎn)角。

對(duì)于支鏈i，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下所示：

(1)

其中：

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(1)整理可得：

(2)

基于三角函數(shù)定理，消去從動(dòng)桿的轉(zhuǎn)角θi可得

(3)

求出驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度為：

(4)

1.1.2 速度分析

將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(2)對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，得到速度方程：

(5)

方程(5)寫成矩陣形式為：

(6)

簡(jiǎn)記為

(7)

1.1.3 加速度分析

公式(5)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得加速度反解方程為

(8)

其中：

1.1.4 算例分析

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心分別按照0°和30°姿態(tài)角沿一個(gè)半徑為30 mm的圓形軌跡運(yùn)行，以軌跡的圓心為坐標(biāo)系原點(diǎn)。基于機(jī)構(gòu)的反解方程，通過(guò)Matlab數(shù)值計(jì)算得到0°和30°姿態(tài)角下的桿長(zhǎng)、速度和加速度曲線，如圖2和圖4所示；Adams仿真曲線圖如圖3和圖5所示。

通過(guò)對(duì)比圖2和圖4可知，在改變動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角時(shí)，對(duì)驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)變化影響較大，但對(duì)驅(qū)動(dòng)桿的速度和加速度影響較小。通過(guò)對(duì)比圖2和圖3、圖4和圖5可知，各驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度、速度、加速度曲線變化平滑，Matlab計(jì)算結(jié)果與Adams仿真分析結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的正確性。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的坐標(biāo)系建立及符號(hào)參數(shù)表示與運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的相同，在此不再贅述，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程如下：

(9)

圖3 姿態(tài)角0° Adams仿真曲線圖Fig.3 The simulation curve of 0 degrees of attitude angle by Adams

圖4 姿態(tài)角30° Matlab計(jì)算曲線圖Fig.4 The calculation curve of 30 degrees of attitude angle by Matlab

圖5 姿態(tài)角30° Adams仿真曲線圖Fig.5 The simulation curve of 30 degrees of attitude angle by Adams

同理可得，速度正解矩陣方程為：

(10)

簡(jiǎn)記為

(11)

速度正解方程(10)對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，得到加速度正解矩陣方程如下：

(12)

其中：

2 3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

2.1 工作空間及面積求解

2.1.1 約束條件

在約束條件下，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是否存在實(shí)數(shù)解，可以求解出3-PRR機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，有實(shí)數(shù)解的點(diǎn)即為機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作點(diǎn)。已知3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)：S1=S2=S3=200 mm,r=50 mm，R=400 mm。求解本3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間：即在滿足以下約束條件下，計(jì)算求解動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)Oa可達(dá)工作點(diǎn)的集合。工作空間的約束條件：

1) 各驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度限制：并聯(lián)機(jī)器人由移動(dòng)副驅(qū)動(dòng),驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度變化須滿足

lmin

當(dāng)某一驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)達(dá)到其極限值時(shí)，并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)上的中心點(diǎn)也就達(dá)到了工作空間的邊界。各驅(qū)動(dòng)副行程li=lmax-lmin，其大小直接影響操作空間的大小。

2) 從動(dòng)桿的干涉：設(shè)各從動(dòng)桿截面都是邊長(zhǎng)為m的正方形，兩相鄰桿中心線間的最短距離為M，則兩桿之間不發(fā)生干涉的條件為

M>m。

3) 各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角限制。由于各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍有限，所以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角也限制了各支鏈從動(dòng)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)幅度：

θmin<θi<θmax

2.1.2 計(jì)算分析結(jié)果

基于MATLAB R2014a數(shù)值計(jì)算分析的工作空間，見圖6。由圖6可求出在動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為0度時(shí)的最大工作空間面積為39 885 mm2，工作空間最大內(nèi)切圓半徑為100 mm。

2.2 不同姿態(tài)角對(duì)工作空間的影響

不同姿態(tài)角下的工作空間對(duì)比如圖7所示。由圖7可知，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角為0度時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作空間最大；在改變動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角時(shí)，工作空間也會(huì)隨著旋轉(zhuǎn)一定的角度，并且工作空間的面積也會(huì)隨著減小。

圖6 動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角0°時(shí)的工作空間Fig.6 The working space of the moving platform at the attitude angle of 0 degrees

圖7 不同姿態(tài)角下的工作空間對(duì)比圖(0°，15°，30°，45°，60°)Fig.7 A work space contrast diagram with different attitude angles(0 degrees, 15 degrees, 30 degrees, 45 degrees, 60 degrees)

3 3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧度分析

3.1 不同姿態(tài)下的條件數(shù)的倒數(shù)值

3-PRR機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值越大，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能越好。3-PRR機(jī)構(gòu)雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值如圖8所示?？梢钥闯?，工作空間中心處機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能比邊緣處機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能要好。

3.2 不同姿態(tài)下的最小奇異值

最小奇異值越大，越有利于動(dòng)平臺(tái)的快速響應(yīng)，也越有利于控制操作的最大速度。動(dòng)平臺(tái)在不同姿態(tài)下的最小奇異值變化，如圖9所示。

圖8 不同姿態(tài)角時(shí)的條件數(shù)倒數(shù)Fig.8 The reciprocal of the condition number of different attitude angles

由圖9可以看出，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為0°時(shí)，機(jī)構(gòu)的最小奇異值較小，不利于動(dòng)平臺(tái)的快速響應(yīng)；當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為15°時(shí)，機(jī)構(gòu)的最小奇異值有明顯的增大，動(dòng)平臺(tái)易于快速響應(yīng)控制；當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角增大到30°、45°時(shí)，最小奇異值變化較小，機(jī)構(gòu)的快速響應(yīng)特性和姿態(tài)角為15°時(shí)無(wú)較大差異。

圖9 不同姿態(tài)角下的最小奇異值Fig.9 The minimum singular value of different attitude angles

3.3 不同姿態(tài)下的可操作性

可操作性的值越大，動(dòng)平臺(tái)的工作靈活程度越高。動(dòng)平臺(tái)在不同姿態(tài)下的可操作性變化圖，見圖10。

圖10 不同姿態(tài)角下的可操作性Fig.10 The maneuver ability of different attitude angles

從圖10可以看出，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為0°時(shí)，機(jī)構(gòu)的可操作性較小，動(dòng)平臺(tái)的靈活程度較低；當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為15°時(shí)，機(jī)構(gòu)的可操作性有明顯的增大，動(dòng)平臺(tái)靈活程度較高；當(dāng)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角增大到30°、45°時(shí)，可操作性也隨之增大，動(dòng)平臺(tái)靈活程度較好。

4 總結(jié)

本研究建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解和正解數(shù)學(xué)模型，并對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證，得出特定軌跡下桿長(zhǎng)、速度、加速度的變化曲線；根據(jù)約束條件，計(jì)算出不同姿態(tài)下動(dòng)平臺(tái)的工作空間，分析了動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角對(duì)工作空間的影響；并推導(dǎo)出速度雅克比矩陣，計(jì)算出在不同姿態(tài)下雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值、最小奇異值、可操作性在工作空間分布，分析了機(jī)構(gòu)的靈巧度特性。