黃 麗 華＊， 施 清 泉

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

混凝土是一種抗拉強(qiáng)度較低的材料，通常受到較小的拉應(yīng)力就會(huì)開裂.纖維布（FRP）是一種復(fù)合材料，沿纖維方向具有較高的抗拉強(qiáng)度.由于施工及運(yùn)輸過(guò)程簡(jiǎn)單，利用FRP對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行加固修復(fù)的方法在工程中已被廣泛采用［1］.

大量研究表明，F(xiàn)RP對(duì)混凝土受彎構(gòu)件的加固修復(fù)效果，與FRP和混凝土界面的黏結(jié)性能有關(guān)，界面剝離是主要的失效形式［2］.其中，混凝土開裂使裂縫附近的界面材料產(chǎn)生滑移是導(dǎo)致界面剝離的主要因素之一［3］.易富民等［4－5］通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了FRP加固普通混凝土梁裂縫張開量與界面應(yīng)力分布之間的關(guān)系；黃麗華等［6］對(duì)FRP加固的普通混凝土梁開展了詳細(xì)的數(shù)值分析，揭示了混凝土I型裂縫擴(kuò)展對(duì)界面應(yīng)力重分布的影響.在鋼筋混凝土構(gòu)件中，由于鋼筋對(duì)混凝土的約束作用，混凝土宏觀裂縫不明顯，使得混凝土裂縫擴(kuò)展及其對(duì)界面影響的實(shí)驗(yàn)研究復(fù)雜化，只能通過(guò)加載與混凝土裂縫高度定性地判斷加固梁的失效原因［7－8］.

混凝土裂縫的數(shù)值模擬主要有離散裂縫模型和彌散裂縫模型.離散裂縫模型需要對(duì)裂縫擴(kuò)展路徑有較好的預(yù)測(cè)，并且需要隨著計(jì)算不斷重新劃分網(wǎng)格以適應(yīng)裂尖的不連續(xù)界面.彌散裂縫模型適用于模擬開裂結(jié)構(gòu)的整體反應(yīng)，但在裂縫附近的應(yīng)力情況卻難以得到.擴(kuò)展有限元通過(guò)改進(jìn)單元的形函數(shù)，克服了常規(guī)有限元需要將裂紋面作為單元邊，裂縫尖端作為單元節(jié)點(diǎn)并不斷重新高密度劃分裂尖網(wǎng)格的問(wèn)題，極大地減少了單元數(shù)量，使其在模擬裂紋擴(kuò)展問(wèn)題時(shí)具有較大的優(yōu)勢(shì)，被廣泛認(rèn)為是求解裂縫等強(qiáng)不連續(xù)問(wèn)題最有效的數(shù)值方法［9］.本文采用擴(kuò)展有限元法模擬鋼筋混凝土試驗(yàn)梁裂縫擴(kuò)展的全過(guò)程，并用于分析玄武巖纖維布（BFRP）加固有初始損傷的鋼筋混凝土梁的界面應(yīng)力，研究混凝土裂縫擴(kuò)展對(duì)界面應(yīng)力分布的影響，從而揭示FRP加固鋼筋混凝土梁的失效機(jī)理.

1 擴(kuò)展有限元法的基本原理

擴(kuò) 展 有 限 元 法 （extended finite element method，XFEM）是由美國(guó)西北大學(xué)Belytschko等［10］提出的一種求解不連續(xù)力學(xué)問(wèn)題的有效數(shù)值方法，其基本思想是在裂縫面和裂縫尖端單元內(nèi)增加附加自由度，改進(jìn)有限元單元的形函數(shù)，允許單元內(nèi)部開裂.在影響區(qū)域內(nèi)單元的形函數(shù)如下式所示：

式中：NI為節(jié)點(diǎn)I的插值形函數(shù)矩陣，uI為常規(guī)連續(xù)的節(jié)點(diǎn)位移向量，H（x）為表征裂縫的不連續(xù)階躍函數(shù)，aI為被裂紋貫穿單元的附加自由度，F(xiàn)α（x）為裂縫尖端附加的位移場(chǎng)函數(shù)，bαI為裂尖所在單元節(jié)點(diǎn)的附加自由度.由于引進(jìn)了非連續(xù)位移模式，對(duì)不連續(xù)位移場(chǎng)的描述不再依賴于單元邊界.與常規(guī)有限元相比，在模擬裂縫擴(kuò)展時(shí)不需要重新劃分網(wǎng)格，且不需要預(yù)設(shè)裂縫擴(kuò)展路徑.

2 裂縫擴(kuò)展計(jì)算實(shí)例

本文計(jì)算分析模型選自本課題組試驗(yàn)研究中的未加固控制梁及BFRP加固的預(yù)損傷鋼筋混凝土梁，根據(jù)控制梁確定計(jì)算參數(shù)，進(jìn)而分析預(yù)損傷BFRP加固梁的裂縫擴(kuò)展，并與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比.

2.1 試驗(yàn)梁模型及參數(shù)

試驗(yàn)梁均為矩形截面鋼筋混凝土適筋梁，梁的尺寸及配筋如圖1所示，其中混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C40，鋼筋全部采用HRB335.由于簡(jiǎn)化的計(jì)算模型與試驗(yàn)梁存在差異，在確保試驗(yàn)和計(jì)算得到的荷載-位移曲線一致情況下，根據(jù)試驗(yàn)梁的實(shí)測(cè)荷載-位移曲線，確定數(shù)值計(jì)算所采用的相關(guān)參數(shù)如下：混凝土彈性模量為33.3GPa，單軸抗拉強(qiáng)度為2.71MPa，單軸抗壓強(qiáng)度為30.5MPa，泊松比為0.2；鋼筋彈性模量取為200GPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為450MPa.

圖1 試驗(yàn)梁的尺寸、配筋及加載位置Fig.1 Size，reinforcement and loading position of the experimental beam

由此利用ABAQUS計(jì)算得到的鋼筋混凝土梁的屈服荷載為120.4kN，與試驗(yàn)值124kN相比，誤差為2.9%.荷載-位移曲線對(duì)比如圖2所示.由于試驗(yàn)缺乏混凝土立方體抗拉強(qiáng)度及抗壓強(qiáng)度的數(shù)據(jù)，故參數(shù)取值均參考規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)值，而試驗(yàn)中控制梁的破壞形式為混凝土壓碎破壞，故在屈服后的荷載-位移曲線與計(jì)算值相差較大.在下面混凝土裂縫擴(kuò)展分析中，施加荷載遠(yuǎn)低于屈服荷載，因此該取值并不影響計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比.

圖2 荷載-位移曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of load-displacement curves

2.2 裂縫擴(kuò)展計(jì)算

試驗(yàn)過(guò)程中分兩次加載，第一次未加固梁加載至屈服荷載的50%，卸載后灌膠修復(fù)，并在梁的底面粘貼BFRP進(jìn)行加固，再重新加載至極限狀態(tài).第一次加載后混凝土內(nèi)已經(jīng)存在初始裂縫，如圖3（a）所示；當(dāng)二次加載時(shí)，觀察到混凝土裂縫沿著原裂縫位置開裂并擴(kuò)展，直至貫穿整個(gè)梁截面，如圖3（b）所示.

圖3 試驗(yàn)梁的裂縫形態(tài)Fig.3 Crack pattern of the experimental beam

由于試驗(yàn)梁采用兩點(diǎn)加載，在計(jì)算時(shí)可利用對(duì)稱性取四分之一模型簡(jiǎn)化計(jì)算.為防止在加載過(guò)程中加載面與支座處出現(xiàn)應(yīng)力集中，在支座和加載處分別設(shè)置墊塊，且在加載處采用耦合點(diǎn)位移加載，耦合點(diǎn)位于加載墊塊的中心點(diǎn).分別采用C3D8R和T3D2單元模擬混凝土和鋼筋，忽略鋼筋與混凝土間的黏結(jié)滑移.

采用擴(kuò)展有限元模型在與試驗(yàn)梁裂縫相同位置上預(yù)設(shè)初始裂縫，計(jì)算模型如圖4所示.考慮到在本試驗(yàn)中荷載遠(yuǎn)未達(dá)到屈服荷載，混凝土主要為受拉破壞，故假定混凝土單元最大主應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度時(shí)出現(xiàn)虛擬裂縫，采用Reinhardt等［11］提出的指數(shù)型混凝土虛擬裂縫模型，混凝土單元的裂縫張開量δ與拉應(yīng)力f（δ）之間的關(guān)系式如式（2）所示，黏聚力減小為零時(shí)裂縫張開量δf＝0.16mm，其中ft為混凝土抗拉強(qiáng)度，α為線型控制系數(shù)，Ec為混凝土單軸抗拉彈性模量，δ0為混凝土達(dá)到抗拉強(qiáng)度時(shí)的裂縫張開量.

圖4 擴(kuò)展有限元模型Fig.4 Extended finite element model

2.3 裂縫擴(kuò)展結(jié)果分析

依據(jù)上述擴(kuò)展有限元模型，計(jì)算得到外荷載分別為47.5、57.5、67.9、77.5kN 時(shí)，鋼筋混凝土梁裂縫的擴(kuò)展情況如圖5（a）～（d）所示，隨著荷載的增加，裂縫高度不斷增大，在跨中純彎段裂縫幾乎垂直向上擴(kuò)展，在彎剪段裂縫沿著與主拉應(yīng)力垂直的方向擴(kuò)展，這與四點(diǎn)加載鋼筋混凝土梁的裂縫擴(kuò)展規(guī)律相吻合.圖6為試驗(yàn)梁在不同荷載下裂縫高度的放大圖形.對(duì)比圖5和圖6中A、B、C 3條主裂縫可見(jiàn)，利用擴(kuò)展有限元模型計(jì)算得到的裂縫形態(tài)與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，說(shuō)明擴(kuò)展有限元在計(jì)算鋼筋混凝土梁裂縫擴(kuò)展時(shí)的有效性和可行性.利用擴(kuò)展有限元計(jì)算過(guò)程無(wú)須重新劃分網(wǎng)格，也不需要預(yù)設(shè)裂縫擴(kuò)展路徑，裂縫擴(kuò)展方向取決于計(jì)算解的狀態(tài)，使計(jì)算過(guò)程易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果也更真實(shí).

基于圖6中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，鋼筋混凝土梁在47.5、57.5以及77.5kN 荷載下，A、B、C 3條裂縫高度h的計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比結(jié)果如圖7（a）～（c）所示，圖中3條主裂縫的裂縫高度計(jì)算值與對(duì)應(yīng)荷載下的試驗(yàn)值相差不大，最大誤差12.6%發(fā)生在裂縫A處，產(chǎn)生誤差的主要原因是擴(kuò)展有限元計(jì)算裂縫每次擴(kuò)展均貫穿一整個(gè)單元，由于網(wǎng)格尺寸為20mm，故裂縫高度均為20mm的倍數(shù)，與實(shí)際裂縫擴(kuò)展存在差別.此外，考慮到混凝土骨料分布的離散性，混凝土裂縫擴(kuò)展也有一定的離散性，故計(jì)算結(jié)果存在誤差，但對(duì)于混凝土材料而言，該誤差在可接受的范圍內(nèi).

圖5 不同荷載下裂縫擴(kuò)展云圖Fig.5 Crack progressing contour under different loads

圖6 試驗(yàn)梁在不同荷載下的裂縫高度Fig.6 Crack height of the experimental beam under different loads

圖7 裂縫高度XFEM計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.7 Comparisons of crack heights from XFEM and experiment

3 裂縫擴(kuò)展對(duì)界面應(yīng)力的影響

第一次加載開裂后的鋼筋混凝土梁經(jīng)過(guò)灌膠修復(fù)后，在梁底面粘貼BFRP進(jìn)行加固，進(jìn)行二次加載，在超過(guò)起裂荷載后，混凝土沿原裂縫位置開裂，并迅速擴(kuò)展.BFRP材料參數(shù)見(jiàn)表1，取線彈性本構(gòu)關(guān)系.

表1 BFRP力學(xué)指標(biāo)Tab.1 Mechanical properties of BFRP

將2.2節(jié)中的鋼筋混凝土梁有限元模型底端粘貼兩層BFRP，采用殼單元S4R模擬，混凝土與BFRP之間采用COH3D8界面單元連接，取陸新征雙線性本構(gòu)模型［12］，計(jì)算得到試驗(yàn)梁界面剪切強(qiáng)度τu＝3.69MPa，界面斷裂能Gf＝0.418N／mm.

采用XFEM模擬加載過(guò)程中混凝土的二次開裂及裂縫擴(kuò)展，得到裂縫擴(kuò)展過(guò)程中界面應(yīng)力及BFRP上的應(yīng)力分布如下.

3.1 二次加載裂縫擴(kuò)展分析

BFRP加固梁二次加載時(shí)混凝土梁裂縫仍沿原先裂縫位置開裂，外荷載達(dá)到77.5kN時(shí)混凝土裂縫擴(kuò)展形態(tài)如圖8所示.對(duì)比圖8與圖5（d）可以發(fā)現(xiàn)，在同樣荷載下，靠近跨中和加載點(diǎn)的裂縫A與裂縫B的高度明顯小于第一次加載時(shí)的高度，而裂縫C的開裂高度沒(méi)有明顯變化，可見(jiàn)梁底面的BFRP對(duì)裂縫擴(kuò)展起到了一定的抑制作用，且BFRP對(duì)于接近跨中位置的裂縫抑制效果較好，相應(yīng)地，BFRP的應(yīng)力在裂縫A與裂縫B處也較大，接下來(lái)的分析也印證了這點(diǎn).

3.2 混凝土開裂過(guò)程中界面應(yīng)力分析

不同荷載下界面單元的黏結(jié)應(yīng)力分布如圖9所示.與試驗(yàn)現(xiàn)象一致，在外荷載達(dá)到屈服荷載112.4kN前，BFRP與混凝土界面黏結(jié)應(yīng)力處在較低水平，3條裂縫附近的界面黏結(jié)應(yīng)力水平幾乎一致，如圖中荷載為80kN時(shí)，界面黏結(jié)應(yīng)力均為1.5MPa左右.當(dāng)鋼筋屈服后，由于梁變形的迅速增大，首先最靠近跨中的混凝土裂縫A迅速擴(kuò)展，而BFRP對(duì)混凝土裂縫起到約束作用，導(dǎo)致混凝土裂縫周圍的界面黏結(jié)應(yīng)力迅速上升，當(dāng)外荷載為118.6kN時(shí)，跨中裂縫附近的界面黏結(jié)應(yīng)力達(dá)到峰值3.53MPa（值得指出的是，該峰值應(yīng)力未達(dá)到界面的剪切強(qiáng)度τu，這是由于ABAQUS節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值為積分點(diǎn)應(yīng)力值外推以后平均得到的，所以其得出的峰值應(yīng)力并不準(zhǔn)確，若查看積分點(diǎn)處應(yīng)力值，其應(yīng)力值則為設(shè)置的τu＝3.69MPa），界面開始出現(xiàn)損傷.之后繼續(xù)增加荷載，界面黏結(jié)應(yīng)力開始下降，在外荷載達(dá)到124.4kN時(shí)，裂縫A處BFRP與混凝土完全剝離，黏結(jié)應(yīng)力降至0.隨著荷載繼續(xù)增大到129.3 kN時(shí)，裂縫A處界面黏結(jié)應(yīng)力峰值開始向裂縫兩側(cè)移動(dòng)，而裂縫B、C處的界面黏結(jié)應(yīng)力明顯上升，并與裂縫A處的界面黏結(jié)應(yīng)力變化過(guò)程相同.

圖8 二次加載裂縫擴(kuò)展云圖Fig.8 Crack progressing contour under second load

圖9 不同荷載下界面黏結(jié)應(yīng)力Fig.9 Interfacial cohesive stresses under different loads

可以看出，裂縫A處的界面單元應(yīng)力水平明顯高于其他兩處，裂縫A處的界面單元黏結(jié)應(yīng)力隨外荷載的變化如圖10所示.在外荷載未達(dá)到屈服荷載112.4kN時(shí)，界面黏結(jié)應(yīng)力以較低的速度幾乎線性增長(zhǎng).而在鋼筋屈服后，界面黏結(jié)應(yīng)力迅速增大，當(dāng)荷載達(dá)到118.6kN時(shí)，界面黏結(jié)應(yīng)力達(dá)到峰值τu.隨著荷載的繼續(xù)增大，界面黏結(jié)應(yīng)力迅速降低，幾乎垂直下降.在外荷載達(dá)到124.4kN時(shí)，該處界面單元應(yīng)力降為0，剪切裂縫已經(jīng)形成，BFRP與混凝土剝離，界面黏結(jié)應(yīng)力開始向兩側(cè)傳遞.

圖10 跨中裂縫界面單元黏結(jié)應(yīng)力隨外荷載變化Fig.10 Interfacial cohesive stress near mid span crack under different loads

3.3 混凝土開裂過(guò)程中BFRP應(yīng)力

圖11 不同荷載下BFRP的拉應(yīng)力分布Fig.11 Tensile stress distribution of BFRP under different loads

在不同荷載下的BFRP拉應(yīng)力分布如圖11所示，在裂縫附近位置出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中，且在鋼筋屈服前，試件整體變形較小，BFRP的應(yīng)力處在較低水平.在外荷載達(dá)到112.4kN后，鋼筋應(yīng)力達(dá)到屈服強(qiáng)度，BFRP應(yīng)力為200MPa，隨后整根梁變形迅速增大，對(duì)應(yīng)的BFRP應(yīng)力也迅速增大，到500MPa，此時(shí)裂縫A處應(yīng)力高于其他兩條裂縫，外荷載達(dá)到124.4kN，裂縫A處界面失效，該處BFRP與混凝土剝離.隨著荷載繼續(xù)增大到129.3kN，BFRP應(yīng)力增大到660MPa，并且隨著界面滑移開始向裂縫兩側(cè)傳遞，而裂縫B處BFRP應(yīng)力也有明顯的增長(zhǎng)，裂縫C處應(yīng)力則依然保持在較低的水平.

界面單元的應(yīng)力隨外荷載的變化規(guī)律再次驗(yàn)證了以上對(duì)BFRP應(yīng)力分布的分析，即在鋼筋屈服前，3處裂縫應(yīng)力水平較低，鋼筋屈服后，撓度的迅速增大導(dǎo)致跨中裂縫A處的應(yīng)力迅速增大，并且界面也隨之失效，而其他兩處裂縫界面并未失效.

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于鋼筋混凝土梁，采用基于最大主拉應(yīng)力的牽引分離準(zhǔn)則及基于能量的指數(shù)型軟化損傷模型，利用擴(kuò)展有限元計(jì)算得到的混凝土裂縫形態(tài)及不同荷載下裂縫高度與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，且不用預(yù)設(shè)開裂路徑，不需重新劃分網(wǎng)格，說(shuō)明擴(kuò)展有限元方法能有效求解鋼筋混凝土梁的裂縫擴(kuò)展問(wèn)題.

利用擴(kuò)展有限元模擬混凝土開裂的數(shù)值算法，用于分析BFRP加固鋼筋混凝土梁的界面剝離問(wèn)題，可較好地反映混凝土裂縫擴(kuò)展對(duì)界面黏結(jié)性能的影響.研究表明，二次受力的BFRP加固梁裂縫沿原裂縫位置開裂并擴(kuò)展，鋼筋屈服時(shí)，裂縫周圍的BFRP與混凝土界面應(yīng)力以及BFRP拉應(yīng)力迅速增加，隨著荷載的繼續(xù)增大，混凝土裂縫周圍的界面應(yīng)力達(dá)到黏結(jié)強(qiáng)度后迅速降低為零，即在混凝土裂縫處界面發(fā)生剝離破壞，而BFRP應(yīng)力在裂縫附近隨著外荷載的增加迅速增大.界面剝離均發(fā)生在混凝土開裂位置，并由跨中向兩端擴(kuò)展.