劉超 鄔云文

(吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院,吉首 416000)(2018年4月26日收到;2018年5月28日收到修改稿)

1 引 言

隨著人類社會(huì)的發(fā)展,人們對(duì)信息的處理和傳播提出了更高的要求,而傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)終將不能滿足需要,量子計(jì)算[1]和量子信息處理[2]能夠通過(guò)量子力學(xué)的基本原理解決經(jīng)典計(jì)算機(jī)難以甚至無(wú)法解決的算法問(wèn)題,近年來(lái)引起了廣泛關(guān)注.量子相位門是實(shí)現(xiàn)量子編碼和量子計(jì)算所必備的量子組件,具有幺正性和可逆性的特點(diǎn)[3].

人們對(duì)量子相位門系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究,相繼提出了各種理論方案[4?6],其中由微波諧振器和超導(dǎo)量子位組成的系統(tǒng)特別具有吸引力[7,8].超導(dǎo)量子比特(如磁通量子比特)具有相對(duì)長(zhǎng)的去相干時(shí)間[9],可以使用電磁脈沖來(lái)改變Josephson(無(wú)耗散非線性電感器件)上的磁通量、電荷或相位差來(lái)控制其量子態(tài)[10],并且具有狀態(tài)讀出的各種單量子和多量子位操作能力[11,12].另一方面,遠(yuǎn)距離的量子位之間的相互作用耦合難以實(shí)現(xiàn),而超導(dǎo)諧振器可以提供用作量子總線的量化腔場(chǎng),實(shí)現(xiàn)量子總線在量子位之間分配量子信息[13?15].此外,微波腔和超導(dǎo)電荷量子位[16]或磁通量子位[17]之間的強(qiáng)耦合早在理論上就被推測(cè)并且已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)證明[18,19].

文獻(xiàn)[20]提出了一種使用復(fù)雜的經(jīng)典微波脈沖來(lái)控制兩個(gè)超導(dǎo)諧振器的量子態(tài)方法,該方案需要提前準(zhǔn)備兩個(gè)初始態(tài)為Bell態(tài)的超導(dǎo)量子位,另外為了獲得純光子的任意量子狀態(tài),還需額外的技術(shù)將量子位與諧振器去耦合.而本文提出的由兩個(gè)諧振器通過(guò)電容與一個(gè)Λ型三能級(jí)原子相耦合的方案,實(shí)驗(yàn)裝置得到簡(jiǎn)化,這對(duì)減小器件之間的相干性很重要,另外,原則上我們的方案對(duì)于經(jīng)典脈沖的強(qiáng)度沒(méi)有限制,可以更快地進(jìn)行操作.總體而言,我們的方案更加簡(jiǎn)單,能夠有效提高相位門的保真度.

2 模型介紹

考慮由兩個(gè)高質(zhì)量超導(dǎo)諧振器和一個(gè)Λ型三能級(jí)原子耦合的量子系統(tǒng),如圖1所示.

圖1 (a)量子相位門系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖;(b)Λ型三能級(jí)原子能級(jí)結(jié)構(gòu)圖Fig.1.(a)Quantum phase gate system structure diagram;(b)Λ-type three-level atom energy level structure diagram.

在這個(gè)模型中,量子相位門系統(tǒng)由兩個(gè)高質(zhì)量超導(dǎo)諧振器(ra和rb)通過(guò)電容與一個(gè)Λ型三能級(jí)原子c相耦合.通過(guò)調(diào)整諧振器頻率,可以使諧振器與Λ型三能級(jí)原子c不同能級(jí)的相互作用,也可以通過(guò)改變施加到Λ型三能級(jí)原子c上的超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID)的磁通量,來(lái)調(diào)整Λ型三能級(jí)原子

圖1 (a)量子相位門系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖;(b)Λ型三能級(jí)原子能級(jí)結(jié)構(gòu)圖Fig.1.(a)Quantum phase gate system structure diagram;(b)Λ-type three-level atom energy level structure diagram.

在這個(gè)模型中,量子相位門系統(tǒng)由兩個(gè)高質(zhì)量超導(dǎo)諧振器(ra和rb)通過(guò)電容與一個(gè)Λ型三能級(jí)原子c相耦合.通過(guò)調(diào)整諧振器頻率,可以使諧振器與Λ型三能級(jí)原子c不同能級(jí)的相互作用,也可以通過(guò)改變施加到Λ型三能級(jí)原子c上的超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID)的磁通量,來(lái)調(diào)整Λ型三能級(jí)原子c能級(jí)間隔[21,22],使Λ型三能級(jí)原子c能級(jí)與不同諧振器的相互作用.圖1(b)是Λ型三能級(jí)原子c的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖,該Λ型三能級(jí)原子由基態(tài)|g〉c,第一激發(fā)態(tài)|e〉c和第二激發(fā)態(tài)|f〉c組成,是諧振器ra與Λ型三能級(jí)原子c的耦合強(qiáng)度,是諧振器rb與Λ型三能級(jí)原子c的耦合強(qiáng)度.在旋波近似下(?=1),系統(tǒng)哈密頓量為

假設(shè)系統(tǒng)的一般初始狀態(tài)為

其 中|0〉a,|0〉b分 別 表 示 諧 振 器ra,rb的 量 子態(tài);|g〉c表示Λ型三態(tài)粒子c的量子態(tài);α1=cosθ1cosθ2,α2=cosθ1sinθ2,α3=sinθ1cosθ2,α4=sinθ1sinθ2. 這樣無(wú)論θ1和θ2取任何值,都能保證系統(tǒng)的歸一化.本文將兩個(gè)歸一化角度直接取為θ1=π/3,θ2=π/6,來(lái)對(duì)實(shí)現(xiàn)量子相位門可行性進(jìn)行探討.

3 量子相位門的實(shí)現(xiàn)

量子相位門的實(shí)現(xiàn)主要涉及諧振器ra與rb的開(kāi)關(guān)和時(shí)間上的控制[23],以及調(diào)節(jié)SQUID的磁通量大小,使Λ型三能級(jí)原子c的某個(gè)確定躍遷能級(jí)與打開(kāi)的諧振器躍遷能級(jí)相等,使其能級(jí)之間產(chǎn)生相互作用.兩個(gè)量子相位門的實(shí)現(xiàn)詳細(xì)描述如下.

3.1 Controlled-Z量子相位門

實(shí)現(xiàn)Controlled-Z量子相位門的步驟如下:

第一步,關(guān)閉諧振器rb,通過(guò)調(diào)整諧振器ra開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為使三能級(jí)原子在能級(jí)|g〉c和|e〉c之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

第二步,關(guān)閉諧振器ra,通過(guò)調(diào)整諧振器rb開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為使三能級(jí)原子在能級(jí)之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

第三步,關(guān)閉諧振器rb,通過(guò)調(diào)整諧振器ra開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為使三能級(jí)原子在能級(jí)|g〉c和|e〉c之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

表1 實(shí)現(xiàn)Controlled-Z門的四種方法Table 1.Four ways to implement a Controlled-Z gate.

這只是我們所構(gòu)建的Controlled-Z門操作的一種結(jié)果,同樣,我們還有表1中的另外三種操作方法可以構(gòu)成Controlled-Z門,而這三種方法對(duì)器件的調(diào)整,除開(kāi)關(guān)時(shí)間外,都與Controlled-Z門方法的步驟相同.

3.2 Swap量子相位門

實(shí)現(xiàn)Swap量子相位門的步驟如下:

第一步,關(guān)閉諧振器rb,通過(guò)調(diào)整諧振器ra開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為使三能級(jí)原子在能級(jí)之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

第二步,關(guān)閉諧振器ra,通過(guò)調(diào)整諧振器rb開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為和ωb=ωg,e,使三能級(jí)原子在能級(jí)|g〉c和|e〉c之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

第三步,關(guān)閉諧振器ra,通過(guò)調(diào)整諧振器rb開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為和ωb=ωe,f,使三能級(jí)原子在能級(jí)|e〉c和|f〉c之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

第四步,關(guān)閉諧振器rb,通過(guò)調(diào)整諧振器ra開(kāi)關(guān)時(shí)間控制為和使三能級(jí)原子在能級(jí)|g〉c和|e〉c之間轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài)將演變成

這只是我們所構(gòu)建的Swap門操作的一種結(jié)果,同樣,我們還有表2中的另外一種操作方法可以構(gòu)成Swap門,而第二種方法對(duì)器件的調(diào)整,除開(kāi)關(guān)時(shí)間外,都與上述Swap門方法的步驟相同.

表2 實(shí)現(xiàn)Swap門的兩種方法Table 2.Two ways to implement a Swap gate.

4 保真度

系統(tǒng)保真度對(duì)研究系統(tǒng)的可行性而言是一個(gè)非常重要的參量,為了展示我們所構(gòu)建的兩個(gè)量子相位門的可行性,我們利用可行的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)和數(shù)值模擬的方法,來(lái)對(duì)其中Controlled-Z門中的第一種方法進(jìn)行保真度的計(jì)算和運(yùn)行時(shí)間的確定.由這兩個(gè)諧振器和Λ型三能級(jí)原子c組成的系統(tǒng)隨時(shí)間演變可以由如下Lindblad主方程描述[24,25]:

在這個(gè)Lindblad主方程中,L[Λ]=(2ΛρΛ+?Λ+Λρ ? ρΛ+Λ)/2,其中σee=|e〉c〈e|;σff=|f〉c〈f|. 方程第一項(xiàng)引用(1)式,?i[H,ρ]是密度算符ρ所遵循的基本運(yùn)動(dòng)方程項(xiàng);κa,κb分別是諧振器ra和rb的衰減率;rg,e,rf,e分別是關(guān)于Λ型三能級(jí)原子c能級(jí)變化的弛豫速率;r?,e和r?,f分別是Λ型三能級(jí)原子c能級(jí)|e〉和|f〉的移相比率.主方程后面的幾項(xiàng)組成了這個(gè)系統(tǒng)的衰減項(xiàng).

對(duì)于三能級(jí)原子,調(diào)節(jié)范圍在0.1—1.0 GHz之間的電荷耦合強(qiáng)度已在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)[26,27].這里通過(guò)調(diào)整SQUID的磁通量來(lái)改變?chǔ)腿芗?jí)原子c的能級(jí)差,使在第一步和第三步中ωa=ωg,e,達(dá)到諧振器ra與指定能級(jí)間|g〉c?|e〉c相互作用的目的,第二步中ωb=ωf,e,達(dá)到諧振器rb與能級(jí)|f〉c?|e〉c相互作用的目的.

通過(guò)對(duì)密度算符ρ所遵循的運(yùn)動(dòng)方程的計(jì)算,將量子相位門的保真度定義為如下方程:

這里[1/(2π)]2為歸一化系數(shù);|ψid〉是在不考慮任何衰減的情況下,從初始態(tài)|ψ0〉到最終實(shí)現(xiàn)量子相位門的理想態(tài),對(duì)于我們所討論的Controlled-Z門而言,即是(5)式的|ψ3〉;ρf是在含衰減的情況下,通過(guò)Controlled-Z門三個(gè)步驟的實(shí)際運(yùn)行操作后得到整個(gè)系統(tǒng)的最終密度算子.對(duì)Controlled-Z門方法一的仿真表明,通過(guò)總時(shí)間為20.83 ns的運(yùn)行操作,其保真度為96.67%,達(dá)到了實(shí)際可應(yīng)用的水平.

不同參數(shù)對(duì)量子相位門保真度的影響如圖2所示,改變衰減率κ,弛豫速率r,移相比率r?或耦合強(qiáng)度g其中一個(gè)參數(shù),其他參數(shù)固定為前文所使用的數(shù)值模擬參數(shù).由于圖2(a)—(c)的橫坐標(biāo)都為x?1,所以隨著衰減率、弛豫速率和移相比率的增加,保真度隨之降低,呈負(fù)相關(guān)性,但影響程度明顯不一樣;圖2(d)中,隨著耦合強(qiáng)度g的增加,保真度也隨之增加,這是由于增大的耦合強(qiáng)度會(huì)使作用時(shí)間縮短,從而減小衰減項(xiàng)的作用時(shí)間,使得保真度增加.

圖2 四個(gè)參數(shù)對(duì)實(shí)現(xiàn)方法一Controlled-Z門保真度的影響Fig.2.In fluence of four parameters on the fidelity of a controlled-Z gate:

5 結(jié) 論

通過(guò)構(gòu)建由兩個(gè)超導(dǎo)諧振器和一個(gè)Λ型三能級(jí)原子組成的量子相位門系統(tǒng),提出了用以實(shí)現(xiàn)Controlled-Z門和Swap門的簡(jiǎn)單操作方案,并利用數(shù)值模擬參數(shù)對(duì)實(shí)現(xiàn)Controlled-Z門的第一種方案進(jìn)行了仿真,探討了各參數(shù)對(duì)其保真度的影響.結(jié)果表明該方案是可行的.系統(tǒng)三個(gè)衰減參數(shù)衰減率κ、弛豫速率r、移相比率r?的增大會(huì)減小保真度,而耦合強(qiáng)度g的增大會(huì)縮短相位門的運(yùn)行時(shí)間,從而減小衰減參數(shù)的作用時(shí)間,使得保真度增加.我們希望在今后的研究中能夠找到更加有效簡(jiǎn)單的操作方法,同時(shí)也期待提出的方案能夠激勵(lì)這方面的實(shí)驗(yàn)研究,使更多的研究人員致力于量子相位門系統(tǒng)的研究.